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人教A版（2019）必修第二册期中考试测试(基础)(原卷版+解析)
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这是一份人教A版（2019）必修第二册期中考试测试(基础)(原卷版+解析)，共21页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·陕西咸阳）复数 满足(为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西安康·）如图，在矩形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2023安徽芜湖）在△ABC中，，，，则（ ）
A．B．C．D．或
4．（2023陕西）已知向量，，若向量，则实数的值是（ ）.
A．B．C．D．2
5．（2023春·安徽合肥）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2022秋·广西）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023春·湖南长沙）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·安徽马鞍山）如图，在正方体中，直线与所成的角是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·山东济南）若，，则（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点在第二象限D．是实数
10．（2023春·安徽铜陵）下列四式可以化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
12．（2022秋·河北沧州）如图所示，已知几何体是正方体，则（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成的角为60°
D．异面直线与所成的角为90°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023上海）如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______．
14．（江西省赣州市2023届）已知向量，.若，则实数的值为______.
15．（2022·四川成都·高一统考期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m
16．（2023春·河南）在中，角，，的对边分别为，，，，，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·高一课时练习）（10分）已知复数．
(1)若复数z是实数，求实数a的值；
(2)若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
(3)复数z是不是纯虚数？若是纯虚数，求出实数a的值；若不是纯虚数，请说明理由．
18．（2023春·河北）（12分）已知的三个内角所对的边分别是，且.
(1)求的周长；
(2)求边上的高.
19．（2023春·湖南岳阳）（12分）在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角的值;
(2)若,求的面积.
20．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）（12分）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐标；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
21．（2023·江西南昌·）（12分）已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
22．（2023·云南昆明）如图①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图②），且∠PEB＝60°.
(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线l（不需要说明理由）
(2)证明；平面PBC⊥平面PBE；
(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
期中考试测试（基础）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·陕西咸阳）复数 满足(为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，则复数的虚部为. 故选：D
2．（2023·陕西安康·）如图，在矩形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】，∴，，∴，故选：C．
3．（2023安徽芜湖）在△ABC中，，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】由正弦定理得，所以，
由于，所以为锐角，所以.故选：B
4．（2023陕西）已知向量，，若向量，则实数的值是（ ）.
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】，解得.故选：B
5．（2023春·安徽合肥）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】如图，连接AC，由，得.
因为为半圆上的点，所以，所以．
故选：A.
6．（2022秋·广西）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱.故选：C.
7．（2023春·湖南长沙）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求得直径为，半径为，圆台的下底面半径为，所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.故选：A
8．（2023春·安徽马鞍山）如图，在正方体中，直线与所成的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，，在正方体中，
因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形，所以，则直线与所成的角是，
故选：.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·山东济南）若，，则（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点在第二象限D．是实数
【答案】ABD
【解析】因为，所以A正确；
因为，，所以B正确；
因为，它在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，所以C错误；
因为，所以是实数，所以D正确．
故选：ABD.
10．（2023春·安徽铜陵）下列四式可以化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误．
故选：ABC
11．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
【答案】ABC
【解析】对于A，，，由正弦定理得
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为有两个解，
所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C对；
对于D，由得,
故
由于，
无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：ABC
12．（2022秋·河北沧州）如图所示，已知几何体是正方体，则（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成的角为60°
D．异面直线与所成的角为90°
【答案】BC
【解析】对于A，由几何体是正方体可知，而平面,
故平面相交，故A错误；
对于B，平面平面，且平面，
所以平面，故B正确；
对于C，，与均为正方体面对角线，故，
三角形是等边三角形，
则直线与所成的角为60°，故C正确；
对于D，,
同理，三角形是等边三角形，
直线与所成的角为60°，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023上海）如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______．
【答案】
【解析】由的斜二测直观图还原得的直观图如下，
因为在中，，，，所以，
则在中，，，，
所以的面积为.
故答案为：.
14．（江西省赣州市2023届）已知向量，.若，则实数的值为______.
【答案】
【解析】因为，,所以，
又因为,所以，
所以.故答案为: .
15．（2022·四川成都·高一统考期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m
【答案】
【解析】由题，作出空间图形如下，
则有,
因为到达B处仰角为45°，所以，
在中，，
由正弦定理可得解得m，
所以m，
故答案为: .
16．（2023春·河南）在中，角，，的对边分别为，，，，，则__________.
【答案】
【解析】∵，∴由正弦定理，得；
又∵，
∴由正弦定理，得，
将代入上式，化简整理得，
两边同除以，得，
解得或（舍）.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·高一课时练习）（10分）已知复数．
(1)若复数z是实数，求实数a的值；
(2)若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
(3)复数z是不是纯虚数？若是纯虚数，求出实数a的值；若不是纯虚数，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不是，理由见解析.
【解析】（1）若复数z是实数，则，即，所以；
（2）若复数z是虚数，则，即，所以实数a的取值范围为；
（3）复数z不是纯虚数．理由如下：若复数z是纯虚数，
则，即，此时无解，故复数z不是纯虚数.
18．（2023春·河北）（12分）已知的三个内角所对的边分别是，且.
(1)求的周长；
(2)求边上的高.
【答案】(1)9
(2)
【解析】（1）在△中，，
由余弦定理得，
解得，
∴△的周长为.
（2）∵，∴.
设边上的高为，则，即，
解得.
所以AB边上的高为.
19．（2023春·湖南岳阳）（12分）在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角的值;
(2)若,求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）解:由题意知,
在中,将正弦定理代入有,
所以,
即,即,
即,
因为,所以,所以,
因为,
所以；
（2）由(1)知,在中,由余弦定理可知,
即,
解得或（舍）,
所以.
20．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）（12分）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐标；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【解析】（1）设，
由，且，得
，解得或
或
（2），
，解得
（3）由已知，
又，
，
解得
21．（2023·江西南昌·）（12分）已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【解析】（1）连接AC交BD于点，连接，
在直四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因为上底面为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，，
且点为BD的中点，所以，即，
所以．
22．（2023·云南昆明）如图①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图②），且∠PEB＝60°.
(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线l（不需要说明理由）
(2)证明；平面PBC⊥平面PBE；
(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）因为，平面，平面，
所以平面，且平面，平面平面，
所以，
则过点作直线，使；
（2）因为，，且，
所以，且，且平面，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
（3）由（2）可知平面平面，
且平面平面，
所以直线在平面内的射影就是，则直线PE与平面PBC所成角为或其补角，
因为是等腰直角三角形，且，
所以也是等腰直角三角形，,，，
种，根据余弦定理，，
则，所以，
,
则，
所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·陕西咸阳）复数 满足(为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西安康·）如图，在矩形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2023安徽芜湖）在△ABC中，，，，则（ ）
A．B．C．D．或
4．（2023陕西）已知向量，，若向量，则实数的值是（ ）.
A．B．C．D．2
5．（2023春·安徽合肥）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2022秋·广西）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023春·湖南长沙）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·安徽马鞍山）如图，在正方体中，直线与所成的角是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·山东济南）若，，则（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点在第二象限D．是实数
10．（2023春·安徽铜陵）下列四式可以化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
12．（2022秋·河北沧州）如图所示，已知几何体是正方体，则（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成的角为60°
D．异面直线与所成的角为90°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023上海）如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______．
14．（江西省赣州市2023届）已知向量，.若，则实数的值为______.
15．（2022·四川成都·高一统考期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m
16．（2023春·河南）在中，角，，的对边分别为，，，，，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·高一课时练习）（10分）已知复数．
(1)若复数z是实数，求实数a的值；
(2)若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
(3)复数z是不是纯虚数？若是纯虚数，求出实数a的值；若不是纯虚数，请说明理由．
18．（2023春·河北）（12分）已知的三个内角所对的边分别是，且.
(1)求的周长；
(2)求边上的高.
19．（2023春·湖南岳阳）（12分）在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角的值;
(2)若,求的面积.
20．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）（12分）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐标；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
21．（2023·江西南昌·）（12分）已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
22．（2023·云南昆明）如图①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图②），且∠PEB＝60°.
(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线l（不需要说明理由）
(2)证明；平面PBC⊥平面PBE；
(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
期中考试测试（基础）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·陕西咸阳）复数 满足(为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，则复数的虚部为. 故选：D
2．（2023·陕西安康·）如图，在矩形中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】，∴，，∴，故选：C．
3．（2023安徽芜湖）在△ABC中，，，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】由正弦定理得，所以，
由于，所以为锐角，所以.故选：B
4．（2023陕西）已知向量，，若向量，则实数的值是（ ）.
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】，解得.故选：B
5．（2023春·安徽合肥）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】如图，连接AC，由，得.
因为为半圆上的点，所以，所以．
故选：A.
6．（2022秋·广西）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱.故选：C.
7．（2023春·湖南长沙）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求得直径为，半径为，圆台的下底面半径为，所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.故选：A
8．（2023春·安徽马鞍山）如图，在正方体中，直线与所成的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，，在正方体中，
因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形，所以，则直线与所成的角是，
故选：.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·山东济南）若，，则（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点在第二象限D．是实数
【答案】ABD
【解析】因为，所以A正确；
因为，，所以B正确；
因为，它在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，所以C错误；
因为，所以是实数，所以D正确．
故选：ABD.
10．（2023春·安徽铜陵）下列四式可以化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误．
故选：ABC
11．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
【答案】ABC
【解析】对于A，，，由正弦定理得
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为有两个解，
所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C对；
对于D，由得,
故
由于，
无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：ABC
12．（2022秋·河北沧州）如图所示，已知几何体是正方体，则（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成的角为60°
D．异面直线与所成的角为90°
【答案】BC
【解析】对于A，由几何体是正方体可知，而平面,
故平面相交，故A错误；
对于B，平面平面，且平面，
所以平面，故B正确；
对于C，，与均为正方体面对角线，故，
三角形是等边三角形，
则直线与所成的角为60°，故C正确；
对于D，,
同理，三角形是等边三角形，
直线与所成的角为60°，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023上海）如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______．
【答案】
【解析】由的斜二测直观图还原得的直观图如下，
因为在中，，，，所以，
则在中，，，，
所以的面积为.
故答案为：.
14．（江西省赣州市2023届）已知向量，.若，则实数的值为______.
【答案】
【解析】因为，,所以，
又因为,所以，
所以.故答案为: .
15．（2022·四川成都·高一统考期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m
【答案】
【解析】由题，作出空间图形如下，
则有,
因为到达B处仰角为45°，所以，
在中，，
由正弦定理可得解得m，
所以m，
故答案为: .
16．（2023春·河南）在中，角，，的对边分别为，，，，，则__________.
【答案】
【解析】∵，∴由正弦定理，得；
又∵，
∴由正弦定理，得，
将代入上式，化简整理得，
两边同除以，得，
解得或（舍）.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·高一课时练习）（10分）已知复数．
(1)若复数z是实数，求实数a的值；
(2)若复数z是虚数，求实数a的取值范围；
(3)复数z是不是纯虚数？若是纯虚数，求出实数a的值；若不是纯虚数，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不是，理由见解析.
【解析】（1）若复数z是实数，则，即，所以；
（2）若复数z是虚数，则，即，所以实数a的取值范围为；
（3）复数z不是纯虚数．理由如下：若复数z是纯虚数，
则，即，此时无解，故复数z不是纯虚数.
18．（2023春·河北）（12分）已知的三个内角所对的边分别是，且.
(1)求的周长；
(2)求边上的高.
【答案】(1)9
(2)
【解析】（1）在△中，，
由余弦定理得，
解得，
∴△的周长为.
（2）∵，∴.
设边上的高为，则，即，
解得.
所以AB边上的高为.
19．（2023春·湖南岳阳）（12分）在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角的值;
(2)若,求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）解:由题意知,
在中,将正弦定理代入有,
所以,
即,即,
即,
因为,所以,所以,
因为,
所以；
（2）由(1)知,在中,由余弦定理可知,
即,
解得或（舍）,
所以.
20．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考期末）（12分）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐标；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【解析】（1）设，
由，且，得
，解得或
或
（2），
，解得
（3）由已知，
又，
，
解得
21．（2023·江西南昌·）（12分）已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【解析】（1）连接AC交BD于点，连接，
在直四棱柱中，，
所以四边形为平行四边形，即，，
又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，
点为的中点，即点为的中点，所以，，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，，所以平面；
（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因为上底面为菱形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为在中，，
且点为BD的中点，所以，即，
所以．
22．（2023·云南昆明）如图①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图②），且∠PEB＝60°.
(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线l（不需要说明理由）
(2)证明；平面PBC⊥平面PBE；
(3)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）因为，平面，平面，
所以平面，且平面，平面平面，
所以，
则过点作直线，使；
（2）因为，，且，
所以，且，且平面，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
（3）由（2）可知平面平面，
且平面平面，
所以直线在平面内的射影就是，则直线PE与平面PBC所成角为或其补角，
因为是等腰直角三角形，且，
所以也是等腰直角三角形，,，，
种，根据余弦定理，，
则，所以，
,
则，
所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为.
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