人教A版（2019）必修第二册期中考试测试(提升)(原卷版+解析)

这是一份人教A版（2019）必修第二册期中考试测试(提升)(原卷版+解析)，共26页。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·全国·高一专题练习）若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（ ）
A．B．3C．D．4
3．（2023云南·高一云南师大附中校考期末）设向量，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
4．（2023·全国·高一专题练习）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（ ）
A．①④B．②③
C．①③D．②④
5．（2023吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．（2023·高一课时练习）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（2023·高一单元测试）已知中，，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．//平面
C．D．//平面
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高一专题练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）
A．在方向上的投影向量为
B．若，则
C．
D．的最小值是
11．（2023·全国·高一专题练习）下列关于复数的四个命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的共轭复数的虚部为1
C．若，则的最大值为3
D．若复数，满足，，，则
12．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，，E为棱的中点，则（ ）
A．面B．
C．平面截该长方体所得截面面积为D．三棱锥的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023·全国·高一专题练习）若四面体中，，，，则四面体的体积是________.
14．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为______．
15．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．
16．（2023·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·全国·高一专题练习）（10分）如图，在△ABC中，，，，，．
(1)设，求x，y的值，并求；
(2)求的值．
.
18．（2023·全国·高一专题练习）（12分）已知复数，，其中为虚数单位，．
(1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值．
(2)求的值域．
19．（2023四川成都·高一统考期中）（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角B的大小．
(2)若，求周长的取值范围．
20．（2023·全国·高一专题练习）（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
21．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）（12分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积．
(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
22．（2023·全国·高一专题练习）（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
期中考试测试（提升）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·全国·高一专题练习）若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
因为为纯虚数，所以所以，，因为，所以，
解得，则，即z的虚部为.
故选：A.
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【解析】方法1：在平行四边形中，因为，所以，
所以，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，（平面向量基本定理的应用）
又∵，
∴，解得，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，
∵ 则 ，
又∵，设，则
即：
∴，，，
又∵，
∴
∴
∴
由②得，将其代入①得，
故选：B.
3．（2023云南·高一云南师大附中校考期末）设向量，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】或或，故选：B．
4．（2023·全国·高一专题练习）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（ ）
A．①④B．②③
C．①③D．②④
【答案】C
【解析】若，，则根据面面平行的性质定理和判定定理可得，故①正确；
若，，则或与相交或在平面内，故②不正确；
因为，所以内有一直线与平行，而，则，根据面面垂直的判定定理可知：，故③正确；
若，，则或，故④不正确，
故选：.
5．（2023吉林白城·高一校考阶段练习）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由，得，
化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
因为，
所以由正余弦定理角化边得，化简得，
所以，
所以为等边三角形，
故选：B
6．（2023·高一课时练习）空间四边形的两对边，、分别是、上的点，且，，则与所成角大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】
作交于，如图，连接，
则，又，所以，所以，
所以是与所成的角或其补角，
，，所以，，
，所以，
中，，
是三角形内角，所以，
所以与所成的角是，
故选：C．
7．（2023·高一单元测试）已知中，，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以A为坐标原点，以两条直角边为坐标轴建立直角坐标系如图所示，
∵，∴，
设点的坐标为，则，，
∵|CP|＝1，∴，
令，
∴
，其中，
故当时，取最小值为7．
故选：A．
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．//平面
C．D．//平面
【答案】B
【解析】不妨设棱柱的高为，.
B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；
A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确；
C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确；
D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
对于A，，，与不垂直，A不正确；
对于B，，有，B正确；
对于C，，有，C不正确；
对于D，，由选项C知，，D正确.
故选：BD
10．（2023·全国·高一专题练习）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）
A．在方向上的投影向量为
B．若，则
C．
D．的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由题意可知，
所以，在方向上的投影向量为，A对；
对于B选项，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，设点，其中，
由可得，
所以，，所以，，
所以，，
，则，所以，，
所以，，B对；
对于C选项，，所以，
，C错；
对于D选项，，其中，、，
，，
所以，，
因为，则，
所以，故当时，取最小值为，D对.
故选：ABD.
11．（2023·全国·高一专题练习）下列关于复数的四个命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的共轭复数的虚部为1
C．若，则的最大值为3
D．若复数，满足，，，则
【答案】ACD
【解析】设，
对A，，，故正确；
对B，，所以，
，其虚部为，故错误；
对C，由的几何意义，知复数对应的动点 到定点的距离为1，
即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示动点到定点的距离，由圆的性质知，，故正确；
对D，设，因为，，
所以，又，所以，
所以，所以
，故正确.
故选：ACD
12．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，，E为棱的中点，则（ ）
A．面B．
C．平面截该长方体所得截面面积为D．三棱锥的体积为
【答案】ABD
【解析】对于选项A：连接，
为长方体，，，∴四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
面，故选项A正确；
对于选项B：
，
，
平面，
在平面上的投影为，
，故选项B正确；
对于选项C：
根据长方体对称性易知平面截该长方体所得截面面积为，
，，
，，，
，
由，可得，
则，故C错误；
对于选项D：
三棱锥的底面积，高为，
则三棱锥的体积为，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2023·全国·高一专题练习）若四面体中，，，，则四面体的体积是________.
【答案】2
【解析】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如图所示，
设，
则，解得，
．
故答案为：2．
14．（2023·高一课时练习）若，，和的夹角为30°，则在方向上的投影为______．
【答案】
【解析】在方向上的投影为．
故答案为：．
15．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．
【答案】8
【解析】因为且，
所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，
所以，表示圆上的点和点的距离，
因为圆心到点的距离为，
，
故答案为：
16．（2023·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______．
【答案】
【解析】由正弦定理及，
得，
∵，∴,
∵，∴．
由余弦定理，∴，
即 ，当且仅当 时取等号，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的面积的最大值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023·全国·高一专题练习）（10分）如图，在△ABC中，，，，，．
(1)设，求x，y的值，并求；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】（1），，
，
，
.
（2）
.
18．（2023·全国·高一专题练习）（12分）已知复数，，其中为虚数单位，．
(1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值．
(2)求的值域．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】（1）复数，，
是实系数一元二次方程的两个虚根，
所以，即，
所以，所以，
，
.
（2）
.
，，
即.
19．（2023四川成都·高一统考期中）（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角B的大小．
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由于（2a﹣c）csB＝bcsC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）csB＝sinBcsC，
即2sinAcsB＝sinCcsB+sinBcsC，即2sinAcsB＝sin（B+C），可得：2sinAcsB＝sinA，
因为sinA≠0，所以，因为，所以．
（2）因为，，由正弦定理可得，
于是，＝＝，
因为△ABC为锐角三角形，且，
所以，，
所以，可得：，
所以△ABC周长的取值范围为：．
20．（2023·全国·高一专题练习）（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【解析】（1）证明：如图，取的中点为，连接.
因为分别是的中点，四边形是矩形，
所以，且，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为，的中点为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为底面是矩形，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为由（1）知，
所以平面.
（3）解：因为平面平面ABCD，
所以，
又，所以，
因为平面平面，
所以，
又E是PB的中点，
所以，
所以直角梯形的面积.
因为点到平面的距离，
所以.
21．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）（12分）如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积．
(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)45°
【解析】（1）如图所示，设点是棱的中点，连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，
又因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
（2）若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，
所以．
（3）设点是与的交点，由（1）可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以，
所以，
因为，所以为等边三角形．
不妨设菱形的边长为，．
则在直角中，，， ，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成的角．
则，
所以直线与平面所成的角为45°
22．（2023·全国·高一专题练习）（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【解析】（1）在中，，
则
整理得，则
又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则
由
可得，解之得
又，则，
由，可得
则