还剩22页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第10练平面向量的应用(原卷版+解析)
展开
这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第10练平面向量的应用(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了已知D是△ABC内部等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 m/sB．226m/sC．46m/sD．12 m/s
2．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为（ ）
A．103NB．0NC．56ND．562N
3．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，AD→=xAB→+yAC→，则x+y＝（ ）
A．23B．34C．712D．1
4．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且AP→=λ(AB→+12BC→)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．已知O为三角形ABC所在平面内一点，OA→+OB→+OC→=0→，则S△OBC：S△ABC＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
6．平面内△ABC及一点O满足AO→⋅AB→|AB→|=AO→⋅AC→|AC→|，CO→⋅CA→|CA→|=CO→⋅CB→|CB→|，则点O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
7．在△ABC内使AP2+BP2+CP2的值最小的点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
8．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，AP→=xAB→+yAC→，则3x﹣y的取值范围是（ ）
A．[−3，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，4]D．[−23，4]
9．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|＝1，且对任意实数x，不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，设a→与b→的夹角为θ，则tan2θ＝（ ）
A．2B．−2C．﹣22D．22
10．若a→，b→，c→均为单位向量，且a→•b→=−12，c→=xa→+yb→（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ）
A．2B．3C．2D．1
11．已知向量OP1，→OP2→，OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0→，|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1．则△P1P2P3的形状为（ ）
A．正三角形B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形D．直角三角形
12．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且OA→⋅OB→=0，则|AC→+BD→|的最大值为（ ）
A．22B．2+2C．1+2D．4
13．已知平面上的两个单位向量a→，b→满足a→⋅b→=45，若m∈R，则|a→+mb→|的最小值为（ ）
A．52B．25C．53D．35
14．已知点G是△ABC的重心，AG→=λAB+μAC→（λ，μ∈R），若∠A＝120°，AB⋅AC→=−2，则|AG→|的最小值是（ ）
A．33B．22C．23D．34
15．在△ABC中，AB→•AC→=7，|AB→−AC→|＝6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．24B．16C．12D．8
二．填空题
16．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|→=|F2→|=102N，则物体的重力大小为 ．
17．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1→，F2→，且F1→，F2→与水平夹角均为45°，|F1→|＝|F2→|＝42N，则物体的重力大小为 N．
18．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距53海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是 海里/小时．
19．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 km/h．
20．设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则S△AOB：S△BOC：S△COA＝ ．
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，重心为G，若2aGA→+3bGB→+3cGC→=0→，则csB＝ ．
22．在边长为1的正三角形ABC中，向量BD→=xBA→，CE→=yCA→，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则CD→•BE→的最大值为 ．
23．向量|a→|＝8，|b→|＝12，则|a→−b→|的最大值是 ，最小值是 ．
24．已知a→，b→是两个平面向量，|b→|=22，且对任意t∈R，恒有|b→−ta→|≥|b→−a→|，则|a→−b→|+|a→|的最大值是 ．
25．已知向量OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），OC→=mOA→+nOB→（m，n＞0）．若m+2n＝7，则|OC→|的最小值为 ．
26．已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(1，3)，则|2a→+b→|的最小值为 ．
27．如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是 ．
28．定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示a→=（f（x），0），b→=（csx，0），那么不等式a→•b→＜0的解集是 ．
三．解答题
29．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
30．在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝60°，点O为△ABC所在平面上一点，满足OC→=mOA→+nOB→（m，n∈R且m+n≠1）．
（1）证明：CO→=mm+n−1CA→+nm+n−1CB→；
（2）若点O为△ABC的重心，求m、n的值；
（3）若点O为△ABC的外心，求m、n的值．
31．在△ABC中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，DF→=4FE→，设AB→=m→，BC→=n→．
（1）用m→，n→表示AF→；
（2）设G是线段BC上一点，且使EG∥AF，求|CG→||CB→|的值．
32．已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°．
（1）求a→+b→与a→的夹角的余弦值；
（2）当|a→+tb→|取得最小值时，试判断a→+tb→与b→的位置关系，并说明理由．
33．已知向量OA→=（2，2），OB→=（﹣4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当PA→•PB→取得最小值时，求OP→的坐标；
（2）设∠APB＝θ，当点P满足（1）时，求csθ的值．
34．已知平面向量a→=（3，﹣1），b→=（12，32）．
（1）若存在实数k和t，满足x→=（t+2）a→+（t2﹣t﹣5）b→，y→=−ka→+4b→，且x→⊥y→，求出k关于t的关系式k＝f（t）；
（2）根据（1）的结论，试求出函数k＝f（t）在t∈（﹣2，2）上的最小值．
35．在平面直角坐标系中，已知三点A（﹣1，0），B（t，2），C（2，t），t∈R，O为坐标原点．
（Ⅰ）若△ABC是∠B为直角的直角三角形，求t的值；
（Ⅱ）若四边形ABCD是平行四边形，求|OD→|的最小值．
第10练 平面向量的应用
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 m/sB．226m/sC．46m/sD．12 m/s
【解析】根据题意，设河水的流速为V1，则|V1|＝2m/s，小船的静水速度为V2，合速度为V，|V|＝10，且V⊥V1，
有V＝V1+V2，则V2＝V﹣V1，
则有|V2|=V2−2V⋅V1+V12=4+100=226，
故选：B．
2．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为（ ）
A．103NB．0NC．56ND．562N
【解析】根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
F=F12+F22=(53)2+(53)2=56N，
故选：C．
3．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，AD→=xAB→+yAC→，则x+y＝（ ）
A．23B．34C．712D．1
【解析】根据题意，如图：设AD与BC交于点E，设BE＝xBC，则有BE→=xBC→，
若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，则有S△BCD：S△ABC=45+4+3=13，
则DE=13AE，则有AD=23AE，即AD→=23AE→，
故S△ABD=23S△ABE=2x3S△ABC，
又由S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，即S△ABD：S△ABC＝5：（5+4+3）＝5：12，
则有2x3=512，解可得x=58，即BE→=58BC→，
故AD→=23AE→=23（AB→+BE→）=23AB→+23×58BC→=23AB→+512BC→=23AB→+512（AC→−AB→）=312AB→+512AC→，
又由AD→=xAB→+yAC→，则x=312，y=512，故x+y=312+512=23，
故选：A．
4．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且AP→=λ(AB→+12BC→)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解析】根据题意，如图，设BC的中点为D，
则BD→=12BC→，则AP→=λ（AB→+12BC→）＝λ（AB→+BD→）＝λAD→，
即点P在BC边的中线AD上，
则点P的轨迹一定通过△ABC的重心，
故选：C．
5．已知O为三角形ABC所在平面内一点，OA→+OB→+OC→=0→，则S△OBC：S△ABC＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
【解析】根据题意，O为三角形ABC所在平面内一点，
若OA→+OB→+OC→=0→，则O是△ABC的重心，如图：
设直线AO与BC交于点D，则有|AD|＝3|OD|，
设O到BC的距离为d，则A到BC的距离为3d，
故S△OBC：S△ABC=12×d×|BC|：12×3d×|BC|＝1：3；
故选：B．
6．平面内△ABC及一点O满足AO→⋅AB→|AB→|=AO→⋅AC→|AC→|，CO→⋅CA→|CA→|=CO→⋅CB→|CB→|，则点O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
【解析】平面内△ABC及一点O满足AO→⋅AB→|AB→|=AO→⋅AC→|AC→|，可得AO→•(AB→|AB→|−AC→|AC→|)=0，所以O在∠CAB的平分线上，
CO→⋅CA→|CA→|=CO→⋅CB→|CB→|，可得：CO→•(CA→|CA→|−CB→|CB→|)=0，所以O在∠ACB的平分线上，
则点O是△ABC的内心．
故选：C．
7．在△ABC内使AP2+BP2+CP2的值最小的点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【解析】令CA→=a→，CB→=b→，设CP→=m→，则AP→=m→−a→，BP→=m→−b→，
于是AP2+BP2+CP2＝3m→2−2（a→+b→）⋅m→+a→2+b→2=3[m→−13（a→+b→）]2−13（a→+b→）2+a→2+b→2．
所以当m→=13（a→+b→）时，AP2+BP2+CP2最小，
此时OP→=OC→+CP→=OC→+13CA→+13CB→=13（OA→+OB→+OC→），
则点P为△ABC的重心．
故选：D．
8．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，AP→=xAB→+yAC→，则3x﹣y的取值范围是（ ）
A．[−3，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，4]D．[−23，4]
【解析】根据题意，以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，
如图：P（2csθ，2sinθ），0°≤θ≤150°，
则A（0，0），B（2，0），C（−3，1），
AP→=xAB→+yAC→，
则有（2csθ，2sinθ）＝x（2，0）+y（−3，1）＝（x−3y，y）
变形可得：csθ＝x−32y，sinθ=y2；
则有x＝csθ+3sinθ，y＝2sinθ，
3x﹣y=3csθ+3sinθ﹣2sinθ=3csθ+sinθ＝2sin（θ+60°），
又由0°≤θ≤150°，则60°≤θ+60°≤210°，
则有﹣1≤3x﹣y＝2sin（θ+60°）≤2，
故3x﹣y的取值范围是[﹣1，2]；
故选：B．
9．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|＝1，且对任意实数x，不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，设a→与b→的夹角为θ，则tan2θ＝（ ）
A．2B．−2C．﹣22D．22
【解析】当a→，b→如图所示
（a→+b→）⊥b→时，对于任意实数x，
a→+xb→=OA→或a→+xb→=OB→，
斜边大于直角边恒成立，
不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，
∵(a→+b→)⊥b→，
向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|＝1
∴tanα=2，tanθ=−2，
∴tan2θ=2×(−2)1−(−2)2=22．故选：D．
10．若a→，b→，c→均为单位向量，且a→•b→=−12，c→=xa→+yb→（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ）
A．2B．3C．2D．1
【解析】∵a→，b→，c→均为单位向量，
且a→•b→=−12，c→=xa→+yb→（x，y∈R），
∴c→2=(xa→+yb→)2=x2+y2+2xya→⋅b→=x2+y2﹣xy＝1，
设x+y＝t，y＝t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1＝0，
∴3x2﹣3tx+t2﹣1＝0，
∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1＝0有解，
∴Δ＝9t2﹣12（t2﹣1）≥0，
﹣3t2+12≥0，
∴﹣2≤t≤2
∴x+y的最大值为2．
故选：A．
11．已知向量OP1，→OP2→，OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0→，|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1．则△P1P2P3的形状为（ ）
A．正三角形B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形D．直角三角形
【解析】OP1→+OP2→+OP3→=0→可得OP1→+OP2→=−OP3→，
两边同时平方可得OP1→2+OP2→2+2OP1→⋅OP2→=OP3→2
∵|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1
∴OP1→⋅OP2→=−12
由向量的数量积的定义可得，∠P1OP2＝120°
同理可得∠P1OP2＝∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°
∵|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1
∴可得∠P1P2P3＝∠P1P3P2＝∠P2P1P3＝60°
则三角形为等边三角形
故选：A．
12．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且OA→⋅OB→=0，则|AC→+BD→|的最大值为（ ）
A．22B．2+2C．1+2D．4
【解析】∵OA→⋅OB→=0，∴OA→⊥OB→，又∵|OA|＝|OB|＝1，∴|OA→+OB→|=2．
|AC→+BD→|＝|OC→−OA→+OD→−OB→|＝|OC→+OD→−（OA→+OB→）|，
当OC→、OD→与OA→+OB→反向时，|AC→+BD→|取得最大值2+2，
故选：B．
13．已知平面上的两个单位向量a→，b→满足a→⋅b→=45，若m∈R，则|a→+mb→|的最小值为（ ）
A．52B．25C．53D．35
【解析】∵|a→|=|b→|=1，a→⋅b→=45，
∴|a→+mb→|=(a→+mb→)2=a→2+2ma→⋅b→+m2b→2=m2+85m+1=(m+45)2+925，
∴m=−45时，|a→+mb→|取最小值35．
故选：D．
14．已知点G是△ABC的重心，AG→=λAB+μAC→（λ，μ∈R），若∠A＝120°，AB⋅AC→=−2，则|AG→|的最小值是（ ）
A．33B．22C．23D．34
【解析】由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，AG→=23AD→=13(AB→+AC→)
∵∠A＝120°，AB⋅AC→=−2，则根据向量的数量积的定义可得，AB→⋅AC→=|AB→||AC→|cs120°=−2
设|AB→|=x，|AC→|=y
∴|AB→||AC→|=4 即xy＝4
|AG→|=13|AB→+AC→|=13(AB→+AC→)2=13AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→=13x2+y2−4
x2+y2≥2xy＝8（当且仅当x＝y取等号）
∴|AG→|≥23即|AG→|的最小值为23
故选：C．
15．在△ABC中，AB→•AC→=7，|AB→−AC→|＝6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．24B．16C．12D．8
【解析】设A、B、C所对边分别为a，b，c，
由AB→•AC→=7，|AB→−AC→|＝6，得bccsA＝7，a＝6①，
S△ABC=12bcsinA=12bc1−cs2A=12bc1−49b2c2=12b2c2−49，
由余弦定理可得b2+c2﹣2bccsA＝36②，
由①②消掉csA得b2+c2＝50，所以b2+c2≥2bc，
所以bc≤25，当且仅当b＝c＝5时取等号，
所以S△ABC=12b2c2−49≤12，
故△ABC的面积的最大值为12，
故选：C．
二．填空题
16．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|→=|F2→|=102N，则物体的重力大小为 ．
【解析】如图，∵|F1→|=|F2→|=102N，
∴|F1→+F2→|=102×2N=20N，
∴物体的重力大小为20N．
故答案为：20N．
17．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1→，F2→，且F1→，F2→与水平夹角均为45°，|F1→|＝|F2→|＝42N，则物体的重力大小为 N．
【解析】设F1→，F2→的合力为F→，则F→=F1→+F2→，
∵F1→，F2→的夹角为90°，
∴F→2=（F1→+F2→ ）2=F1→2+F2→2+2F1→•F2→=32+32＝64，
∴|F→|＝8，
∵物体平衡状态．∴物体的重力大小为8．
故答案为：8．
18．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距53海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是 海里/小时．
【解析】根据题意得：AB＝53海里，∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，DC⊥AC，
∴∠DBC＝60°，∠BDA＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝53海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝53×32=152，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为152÷12=10海里/小时
故答案为：15．
19．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 km/h．
【解析】由题意，如图，OA→表示水流速度，OB→表示船在静水中的速度，
则 OC→表示船的实际速度．
则 |OA→|=2，|OB→|=23，∠AOB＝90°
∴|OC→|=4
∴实际速度为4km/h．
故答案为：4
20．设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则S△AOB：S△BOC：S△COA＝ ．
【解析】由题可得，OA→+2OB→+3OC→=3(OB→−OA→)+2(OC→−OB→)+(OA→−OC→)，则3OA→+OB→+2OC→=0→，即(OA→+OB→)+2(OA→+OC→)=0→，
设M，N分别为AB、AC的中点，则OM→=−2ON→，设S△ABC＝S，
∵MN为△ABC的中位线，
∴S△BOC=12S，
∵M是AB的中点，
∴S△CAM=12S，
又ON：OM＝1：2，
∴S△COA=13S△CAM=16S，
∵N是AC的中点，
∴S△ANB=12S，
又ON：OM＝1：2，
∴S△AOB=23S△ANB=13S，
故S△AOB：S△BOC：S△COA＝2：3：1．
故答案为：2：3：1．
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，重心为G，若2aGA→+3bGB→+3cGC→=0→，则csB＝ ．
【解析】∵重心为G，2aGA→+3bGB→+3cGC→=0→，
∴2a=3b＝3c，
不妨设2a=3b＝3c＝1，则csB=14+19−132⋅12⋅13=112．
故答案为：112．
22．在边长为1的正三角形ABC中，向量BD→=xBA→，CE→=yCA→，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则CD→•BE→的最大值为 ．
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点A（−12，0），B（12，0），C（0，32）；
设点D（x1，0），E（x2，y2），∵BD→=xBA→，∴（x1−12，0）＝x（﹣1，0），∴x1＝﹣x+12；
∵CE→=yCA→，∴（x2，y2−32）＝y（−12，−32），∴x2=−12y，y2=32−32y；
∴CD→•BE→=（x1，−32）•（x2−12，y2）＝x1（x2−12）−32y2＝（﹣x+12）•（−12y−12）−32（32−32y）
=12xy+12（x+y）﹣1≤12•(x+y2)2−12=−38，当且仅当x＝y=12时取“＝”；
故答案为：−38．
23．向量|a→|＝8，|b→|＝12，则|a→−b→|的最大值是 ，最小值是 ．
【解析】根据题意，当a→、b→反向时，|a→−b→|取得最大值，其最大值为12+8＝20，
当a→、b→同向时，|a→−b→|取得最小值，其最小值为12﹣8＝4，
故答案为：20，4．
24．已知a→，b→是两个平面向量，|b→|=22，且对任意t∈R，恒有|b→−ta→|≥|b→−a→|，则|a→−b→|+|a→|的最大值是 ．
【解析】∵对任意t∈R，恒有|b→−ta→|≥|b→−a→|，∴向量b→的终点到向量a→所在直线的距离最短．∴a→⊥（b→−a→）．
设|a→|＝x，|b→−a→|＝y，则x2+y2＝（22）2＝8，
∴|a→−b→|+|a→|=x+y=(x+y)2=x2+y2+2xy=8+2xy≤8+x2+y2=4，
当且仅当“x＝y”时“＝”成立．∴最大值为4．
故答案为：4．
25．已知向量OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），OC→=mOA→+nOB→（m，n＞0）．若m+2n＝7，则|OC→|的最小值为 ．
【解析】∵OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），
∴OC→=mOA→+nOB→=(2m−n，m+2n)，则|OC→|=5(m2+n2)，
∵m+2n＝7，∴由柯西不等式得，（12+22）（m2+n2）≥（m+2n）2＝49，当m1=n2，即m=75，n=145时，等号成立，
∴|OC→|的最小值为：7．
26．已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(1，3)，则|2a→+b→|的最小值为 ．
【解析】|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+b→2+4a→⋅b→=4+4+4(csθ+3sinθ)=8+8sin(θ+π6)，
∴sin(θ+π6)=−1时，|2a→+b→|取最小值0．
故答案为：0．
27．如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是 72 ．
【解析】由图象，得EF→=EA→+AB→+BF→，EF→=ED→+DC→+CF→．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴2EF→=(EA→+ED→)+(AB→+DC→)+(BF→+CF→)=AB→+DC→．
∵∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，∴＜AB→，DC→＞=60°，
∴|EF|→=12(AB→+DC→)2=12AB→2+DC→2+2|AB|→⋅|DC|→cs＜AB→，DC→＞
=1212+22+2×1×2×12=72．
∴EF的长为：72．
故答案为：72．
28．定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示a→=（f（x），0），b→=（csx，0），那么不等式a→•b→＜0的解集是 ．
【解析】∵（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示，
a→=（f（x），0），b→=（csx，0），
∴x∈（0，1）时f（x）＜0，csx＞0；
x∈[1，π2]时，csx≥0，f（x）≥0；
x∈（π2，3）时，f（x）＞0，csx＜0，
∴a→⋅b→=f（x）csx＜0的解集是（0，1）∪（π2，3）．
故答案为：（0，1）∪（π2，3）．
三．解答题
29．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
【解析】设OA→=v0，OB→=v1→，OC→=v2→，
则由题意知v2→=v0→+v1→，|OA→|＝1，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．
（1）由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|OB→|＝AC=3，如下图所示，
则在直角△OAC中，|v2→|＝OC=OA2+AC2=2，
tan∠AOC=31=3，又α＝∠AOC∈（0，π2），所以α=π3；
（2）由题意知α＝∠OCB=π2，且|v2→|＝|OC|=3，BC＝1，如下图所示，
则在直角△OBC中，|v1→|＝OB=OC2+BC2=2，
tan∠BOC=13=33，
又∠AOC∈（0，π2），所以∠BOC=π6，
则β=π2+π6=2π3，
答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；
（2）他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．
30．在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝60°，点O为△ABC所在平面上一点，满足OC→=mOA→+nOB→（m，n∈R且m+n≠1）．
（1）证明：CO→=mm+n−1CA→+nm+n−1CB→；
（2）若点O为△ABC的重心，求m、n的值；
（3）若点O为△ABC的外心，求m、n的值．
【解析】（1）OC→=mOA→+nOB→=m（OC→+CA→）+n（OC→+CB→），
∴CO→=mm+n−1CA→+nn+m−1CB→，
（2）点O为△ABC的重心，
∴OA→+OB→+OC→=0→，
∴m＝﹣1，n＝﹣1；
（3）点O为△ABC的外心，
∴CO→⋅CB→=12|CB→|2=18，CO→⋅CA→=12|CA→|2=2，CA→⋅CB→=2×6×12=6，
∵CO→⋅CB→=mm+n−1CA→⋅CB→+nn+m−1CB→⋅CB→，CO→⋅CA→=mm+n−1CA→⋅CA→+nn+m−1CA→⋅CB→，
∴2m−3n=3m+2n=−1，
∴m=37n=−57．
31．在△ABC中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，DF→=4FE→，设AB→=m→，BC→=n→．
（1）用m→，n→表示AF→；
（2）设G是线段BC上一点，且使EG∥AF，求|CG→||CB→|的值．
【解析】（1）因为D是线段AB上靠近B的一个三等分点，所以AD→=23AB→．
因为E是线段AC上靠近A的一个四等分点，所以AE→=14AC→，
所以DE→=AE→−AD→=14AC→−23AB→．
因为DF→=4FE→，所以DF→=54DE→=15AC→−815AB→，
则AF→=AD→+DF→=23AB→+15AC→+815AB→=215AB→+15(AB→+BC→)=13AB→+15BC→．
又AB→=m→，BC→=n→，
所以AF→=13AB→+15BC→=13m→+15n→．
（2）因为G是线段BC上一点，所以存在实数λ，
使得CG→=λCB→(0＜λ＜1)，
则EG→=EC→+CG→=34AC→+λCB→=34(AB→+BC→)−λBC→=34AB→+(34−λ)BC→=34m→+(34−λ)n→，
因为EG∥AF，所以存在实数μ，
使AF→=μEG→，即13m→+15n→=μ[34m→+(34−λ)n→]，
整理得34μ=13，μ(34−λ)=15，解得λ=310，
故|CG→||CB→|=310．
32．已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°．
（1）求a→+b→与a→的夹角的余弦值；
（2）当|a→+tb→|取得最小值时，试判断a→+tb→与b→的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°．
则：a→⋅b→=|a→||b→|cs60°=1．
所以：|a→+b→|=(a→+b→)2=7，
设a→+b→与a→的夹角为θ，
则csθ=(a→+b→)⋅a→|a→+b→||a→|=a→2+b→⋅a→|a→+b→||a→|=277，
所以a→+b→与a→的夹角的余弦值为277．
（2）位置关系为：a→−14b→与b→的位置关系为垂直．
理由是：|a→+tb→|2，
=a→2+2ta→⋅b→+t2b→2，
＝4t2+2t+1，
=4(t+14)2+34，
当|a→+tb→|取得最小值时，
解得：t=−14
则：（a→−14b→）•b→=a→⋅b→−14b→2=0，
所以：a→−14b→与b→垂直．
33．已知向量OA→=（2，2），OB→=（﹣4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当PA→•PB→取得最小值时，求OP→的坐标；
（2）设∠APB＝θ，当点P满足（1）时，求csθ的值．
【解析】（1）设OP→=（x，0）（x≥0），
则PA→=（2﹣x，2），PB→=（﹣4﹣x，1）．
∴PA→•PB→=x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7
∴当x＝0时，PA→•PB→取得最小值﹣6，此时，OP→=（0，0）．
（2）由（1）知OP→=（0，0），PA→•PB→=−6，
PA→=OA→，PB→=OB→，
∴csθ=PA→⋅PB→|PA→||PB→|=−622⋅17=−33434．
34．已知平面向量a→=（3，﹣1），b→=（12，32）．
（1）若存在实数k和t，满足x→=（t+2）a→+（t2﹣t﹣5）b→，y→=−ka→+4b→，且x→⊥y→，求出k关于t的关系式k＝f（t）；
（2）根据（1）的结论，试求出函数k＝f（t）在t∈（﹣2，2）上的最小值．
【解析】（1）∵a→=（3，﹣1），b→=（12，32），
∴a→⋅b→=0，且|a→|=2，|b→|=1
∵x→⊥y→
∴x→⋅y→=−（t+2）×4k+4（t2﹣t﹣5）＝0
∴k＝f（t）=t2−t−5t+2（t≠﹣2）；
（2）k＝f（t）=t2−t−5t+2=t+2+1t+2−5
∵t∈（﹣2，2），
∴t+2＞0，∴k＝t+2+1t+2−5≥﹣3，当且仅当t+2=1t+2，即t＝﹣1时取等号，
∴k的最小值为﹣3．
35．在平面直角坐标系中，已知三点A（﹣1，0），B（t，2），C（2，t），t∈R，O为坐标原点．
（Ⅰ）若△ABC是∠B为直角的直角三角形，求t的值；
（Ⅱ）若四边形ABCD是平行四边形，求|OD→|的最小值．
【解析】（I）AB→=(t+1，2)，BC→=(2−t，t−2)；
∵∠B＝90°，则AB→⊥BC→；
∴AB→⋅BC→=0，即（t+1）（2﹣t）+2（t﹣2）＝0；
解得t＝1或2；
若t＝2，则BC→=0→，这时△ABC不存在；
∴t＝1．
（II）若四边形ABCD是平行四边形，则AD→=BC→，设点D的坐标为（x，y）；
则AD→=(x+1，y)；
∴（x+1，y）＝（2﹣t，t﹣2）；
∴x+1=2−ty=t−2；
∴x=1−ty=t−2；
即D（1﹣t，t﹣2）；
∴OD→=(1−t，t−2)；
∴|OD→|=(1−t)2+(t−2)2=2t2−6t+5=2(t−32)2+12；
∴当t=32时，|OD→|取得最小值22．
9476148
一．选择题
1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 m/sB．226m/sC．46m/sD．12 m/s
2．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为（ ）
A．103NB．0NC．56ND．562N
3．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，AD→=xAB→+yAC→，则x+y＝（ ）
A．23B．34C．712D．1
4．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且AP→=λ(AB→+12BC→)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．已知O为三角形ABC所在平面内一点，OA→+OB→+OC→=0→，则S△OBC：S△ABC＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
6．平面内△ABC及一点O满足AO→⋅AB→|AB→|=AO→⋅AC→|AC→|，CO→⋅CA→|CA→|=CO→⋅CB→|CB→|，则点O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
7．在△ABC内使AP2+BP2+CP2的值最小的点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
8．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，AP→=xAB→+yAC→，则3x﹣y的取值范围是（ ）
A．[−3，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，4]D．[−23，4]
9．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|＝1，且对任意实数x，不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，设a→与b→的夹角为θ，则tan2θ＝（ ）
A．2B．−2C．﹣22D．22
10．若a→，b→，c→均为单位向量，且a→•b→=−12，c→=xa→+yb→（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ）
A．2B．3C．2D．1
11．已知向量OP1，→OP2→，OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0→，|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1．则△P1P2P3的形状为（ ）
A．正三角形B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形D．直角三角形
12．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且OA→⋅OB→=0，则|AC→+BD→|的最大值为（ ）
A．22B．2+2C．1+2D．4
13．已知平面上的两个单位向量a→，b→满足a→⋅b→=45，若m∈R，则|a→+mb→|的最小值为（ ）
A．52B．25C．53D．35
14．已知点G是△ABC的重心，AG→=λAB+μAC→（λ，μ∈R），若∠A＝120°，AB⋅AC→=−2，则|AG→|的最小值是（ ）
A．33B．22C．23D．34
15．在△ABC中，AB→•AC→=7，|AB→−AC→|＝6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．24B．16C．12D．8
二．填空题
16．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|→=|F2→|=102N，则物体的重力大小为 ．
17．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1→，F2→，且F1→，F2→与水平夹角均为45°，|F1→|＝|F2→|＝42N，则物体的重力大小为 N．
18．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距53海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是 海里/小时．
19．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 km/h．
20．设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则S△AOB：S△BOC：S△COA＝ ．
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，重心为G，若2aGA→+3bGB→+3cGC→=0→，则csB＝ ．
22．在边长为1的正三角形ABC中，向量BD→=xBA→，CE→=yCA→，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则CD→•BE→的最大值为 ．
23．向量|a→|＝8，|b→|＝12，则|a→−b→|的最大值是 ，最小值是 ．
24．已知a→，b→是两个平面向量，|b→|=22，且对任意t∈R，恒有|b→−ta→|≥|b→−a→|，则|a→−b→|+|a→|的最大值是 ．
25．已知向量OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），OC→=mOA→+nOB→（m，n＞0）．若m+2n＝7，则|OC→|的最小值为 ．
26．已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(1，3)，则|2a→+b→|的最小值为 ．
27．如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是 ．
28．定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示a→=（f（x），0），b→=（csx，0），那么不等式a→•b→＜0的解集是 ．
三．解答题
29．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
30．在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝60°，点O为△ABC所在平面上一点，满足OC→=mOA→+nOB→（m，n∈R且m+n≠1）．
（1）证明：CO→=mm+n−1CA→+nm+n−1CB→；
（2）若点O为△ABC的重心，求m、n的值；
（3）若点O为△ABC的外心，求m、n的值．
31．在△ABC中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，DF→=4FE→，设AB→=m→，BC→=n→．
（1）用m→，n→表示AF→；
（2）设G是线段BC上一点，且使EG∥AF，求|CG→||CB→|的值．
32．已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°．
（1）求a→+b→与a→的夹角的余弦值；
（2）当|a→+tb→|取得最小值时，试判断a→+tb→与b→的位置关系，并说明理由．
33．已知向量OA→=（2，2），OB→=（﹣4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当PA→•PB→取得最小值时，求OP→的坐标；
（2）设∠APB＝θ，当点P满足（1）时，求csθ的值．
34．已知平面向量a→=（3，﹣1），b→=（12，32）．
（1）若存在实数k和t，满足x→=（t+2）a→+（t2﹣t﹣5）b→，y→=−ka→+4b→，且x→⊥y→，求出k关于t的关系式k＝f（t）；
（2）根据（1）的结论，试求出函数k＝f（t）在t∈（﹣2，2）上的最小值．
35．在平面直角坐标系中，已知三点A（﹣1，0），B（t，2），C（2，t），t∈R，O为坐标原点．
（Ⅰ）若△ABC是∠B为直角的直角三角形，求t的值；
（Ⅱ）若四边形ABCD是平行四边形，求|OD→|的最小值．
第10练 平面向量的应用
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题
1．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 m/sB．226m/sC．46m/sD．12 m/s
【解析】根据题意，设河水的流速为V1，则|V1|＝2m/s，小船的静水速度为V2，合速度为V，|V|＝10，且V⊥V1，
有V＝V1+V2，则V2＝V﹣V1，
则有|V2|=V2−2V⋅V1+V12=4+100=226，
故选：B．
2．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为（ ）
A．103NB．0NC．56ND．562N
【解析】根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
F=F12+F22=(53)2+(53)2=56N，
故选：C．
3．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，AD→=xAB→+yAC→，则x+y＝（ ）
A．23B．34C．712D．1
【解析】根据题意，如图：设AD与BC交于点E，设BE＝xBC，则有BE→=xBC→，
若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，则有S△BCD：S△ABC=45+4+3=13，
则DE=13AE，则有AD=23AE，即AD→=23AE→，
故S△ABD=23S△ABE=2x3S△ABC，
又由S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，即S△ABD：S△ABC＝5：（5+4+3）＝5：12，
则有2x3=512，解可得x=58，即BE→=58BC→，
故AD→=23AE→=23（AB→+BE→）=23AB→+23×58BC→=23AB→+512BC→=23AB→+512（AC→−AB→）=312AB→+512AC→，
又由AD→=xAB→+yAC→，则x=312，y=512，故x+y=312+512=23，
故选：A．
4．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且AP→=λ(AB→+12BC→)(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【解析】根据题意，如图，设BC的中点为D，
则BD→=12BC→，则AP→=λ（AB→+12BC→）＝λ（AB→+BD→）＝λAD→，
即点P在BC边的中线AD上，
则点P的轨迹一定通过△ABC的重心，
故选：C．
5．已知O为三角形ABC所在平面内一点，OA→+OB→+OC→=0→，则S△OBC：S△ABC＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
【解析】根据题意，O为三角形ABC所在平面内一点，
若OA→+OB→+OC→=0→，则O是△ABC的重心，如图：
设直线AO与BC交于点D，则有|AD|＝3|OD|，
设O到BC的距离为d，则A到BC的距离为3d，
故S△OBC：S△ABC=12×d×|BC|：12×3d×|BC|＝1：3；
故选：B．
6．平面内△ABC及一点O满足AO→⋅AB→|AB→|=AO→⋅AC→|AC→|，CO→⋅CA→|CA→|=CO→⋅CB→|CB→|，则点O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
【解析】平面内△ABC及一点O满足AO→⋅AB→|AB→|=AO→⋅AC→|AC→|，可得AO→•(AB→|AB→|−AC→|AC→|)=0，所以O在∠CAB的平分线上，
CO→⋅CA→|CA→|=CO→⋅CB→|CB→|，可得：CO→•(CA→|CA→|−CB→|CB→|)=0，所以O在∠ACB的平分线上，
则点O是△ABC的内心．
故选：C．
7．在△ABC内使AP2+BP2+CP2的值最小的点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【解析】令CA→=a→，CB→=b→，设CP→=m→，则AP→=m→−a→，BP→=m→−b→，
于是AP2+BP2+CP2＝3m→2−2（a→+b→）⋅m→+a→2+b→2=3[m→−13（a→+b→）]2−13（a→+b→）2+a→2+b→2．
所以当m→=13（a→+b→）时，AP2+BP2+CP2最小，
此时OP→=OC→+CP→=OC→+13CA→+13CB→=13（OA→+OB→+OC→），
则点P为△ABC的重心．
故选：D．
8．如图，扇形的半径为2，圆心角∠BAC＝150°，点P在弧BC上运动，AP→=xAB→+yAC→，则3x﹣y的取值范围是（ ）
A．[−3，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，4]D．[−23，4]
【解析】根据题意，以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，
如图：P（2csθ，2sinθ），0°≤θ≤150°，
则A（0，0），B（2，0），C（−3，1），
AP→=xAB→+yAC→，
则有（2csθ，2sinθ）＝x（2，0）+y（−3，1）＝（x−3y，y）
变形可得：csθ＝x−32y，sinθ=y2；
则有x＝csθ+3sinθ，y＝2sinθ，
3x﹣y=3csθ+3sinθ﹣2sinθ=3csθ+sinθ＝2sin（θ+60°），
又由0°≤θ≤150°，则60°≤θ+60°≤210°，
则有﹣1≤3x﹣y＝2sin（θ+60°）≤2，
故3x﹣y的取值范围是[﹣1，2]；
故选：B．
9．已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|＝1，且对任意实数x，不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，设a→与b→的夹角为θ，则tan2θ＝（ ）
A．2B．−2C．﹣22D．22
【解析】当a→，b→如图所示
（a→+b→）⊥b→时，对于任意实数x，
a→+xb→=OA→或a→+xb→=OB→，
斜边大于直角边恒成立，
不等式|a→+xb→|≥|a→+b→|恒成立，
∵(a→+b→)⊥b→，
向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|＝1
∴tanα=2，tanθ=−2，
∴tan2θ=2×(−2)1−(−2)2=22．故选：D．
10．若a→，b→，c→均为单位向量，且a→•b→=−12，c→=xa→+yb→（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ）
A．2B．3C．2D．1
【解析】∵a→，b→，c→均为单位向量，
且a→•b→=−12，c→=xa→+yb→（x，y∈R），
∴c→2=(xa→+yb→)2=x2+y2+2xya→⋅b→=x2+y2﹣xy＝1，
设x+y＝t，y＝t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣1＝0，
∴3x2﹣3tx+t2﹣1＝0，
∵方程3x2﹣3tx+t2﹣1＝0有解，
∴Δ＝9t2﹣12（t2﹣1）≥0，
﹣3t2+12≥0，
∴﹣2≤t≤2
∴x+y的最大值为2．
故选：A．
11．已知向量OP1，→OP2→，OP3→满足OP1→+OP2→+OP3→=0→，|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1．则△P1P2P3的形状为（ ）
A．正三角形B．钝角三角形
C．非等边的等腰三角形D．直角三角形
【解析】OP1→+OP2→+OP3→=0→可得OP1→+OP2→=−OP3→，
两边同时平方可得OP1→2+OP2→2+2OP1→⋅OP2→=OP3→2
∵|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1
∴OP1→⋅OP2→=−12
由向量的数量积的定义可得，∠P1OP2＝120°
同理可得∠P1OP2＝∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°
∵|OP1→|=|OP2|→=|OP3|→=1
∴可得∠P1P2P3＝∠P1P3P2＝∠P2P1P3＝60°
则三角形为等边三角形
故选：A．
12．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且OA→⋅OB→=0，则|AC→+BD→|的最大值为（ ）
A．22B．2+2C．1+2D．4
【解析】∵OA→⋅OB→=0，∴OA→⊥OB→，又∵|OA|＝|OB|＝1，∴|OA→+OB→|=2．
|AC→+BD→|＝|OC→−OA→+OD→−OB→|＝|OC→+OD→−（OA→+OB→）|，
当OC→、OD→与OA→+OB→反向时，|AC→+BD→|取得最大值2+2，
故选：B．
13．已知平面上的两个单位向量a→，b→满足a→⋅b→=45，若m∈R，则|a→+mb→|的最小值为（ ）
A．52B．25C．53D．35
【解析】∵|a→|=|b→|=1，a→⋅b→=45，
∴|a→+mb→|=(a→+mb→)2=a→2+2ma→⋅b→+m2b→2=m2+85m+1=(m+45)2+925，
∴m=−45时，|a→+mb→|取最小值35．
故选：D．
14．已知点G是△ABC的重心，AG→=λAB+μAC→（λ，μ∈R），若∠A＝120°，AB⋅AC→=−2，则|AG→|的最小值是（ ）
A．33B．22C．23D．34
【解析】由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，AG→=23AD→=13(AB→+AC→)
∵∠A＝120°，AB⋅AC→=−2，则根据向量的数量积的定义可得，AB→⋅AC→=|AB→||AC→|cs120°=−2
设|AB→|=x，|AC→|=y
∴|AB→||AC→|=4 即xy＝4
|AG→|=13|AB→+AC→|=13(AB→+AC→)2=13AB→2+AC→2+2AB→⋅AC→=13x2+y2−4
x2+y2≥2xy＝8（当且仅当x＝y取等号）
∴|AG→|≥23即|AG→|的最小值为23
故选：C．
15．在△ABC中，AB→•AC→=7，|AB→−AC→|＝6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．24B．16C．12D．8
【解析】设A、B、C所对边分别为a，b，c，
由AB→•AC→=7，|AB→−AC→|＝6，得bccsA＝7，a＝6①，
S△ABC=12bcsinA=12bc1−cs2A=12bc1−49b2c2=12b2c2−49，
由余弦定理可得b2+c2﹣2bccsA＝36②，
由①②消掉csA得b2+c2＝50，所以b2+c2≥2bc，
所以bc≤25，当且仅当b＝c＝5时取等号，
所以S△ABC=12b2c2−49≤12，
故△ABC的面积的最大值为12，
故选：C．
二．填空题
16．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|→=|F2→|=102N，则物体的重力大小为 ．
【解析】如图，∵|F1→|=|F2→|=102N，
∴|F1→+F2→|=102×2N=20N，
∴物体的重力大小为20N．
故答案为：20N．
17．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1→，F2→，且F1→，F2→与水平夹角均为45°，|F1→|＝|F2→|＝42N，则物体的重力大小为 N．
【解析】设F1→，F2→的合力为F→，则F→=F1→+F2→，
∵F1→，F2→的夹角为90°，
∴F→2=（F1→+F2→ ）2=F1→2+F2→2+2F1→•F2→=32+32＝64，
∴|F→|＝8，
∵物体平衡状态．∴物体的重力大小为8．
故答案为：8．
18．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距53海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是 海里/小时．
【解析】根据题意得：AB＝53海里，∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，DC⊥AC，
∴∠DBC＝60°，∠BDA＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝53海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝53×32=152，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为152÷12=10海里/小时
故答案为：15．
19．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是 km/h．
【解析】由题意，如图，OA→表示水流速度，OB→表示船在静水中的速度，
则 OC→表示船的实际速度．
则 |OA→|=2，|OB→|=23，∠AOB＝90°
∴|OC→|=4
∴实际速度为4km/h．
故答案为：4
20．设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则S△AOB：S△BOC：S△COA＝ ．
【解析】由题可得，OA→+2OB→+3OC→=3(OB→−OA→)+2(OC→−OB→)+(OA→−OC→)，则3OA→+OB→+2OC→=0→，即(OA→+OB→)+2(OA→+OC→)=0→，
设M，N分别为AB、AC的中点，则OM→=−2ON→，设S△ABC＝S，
∵MN为△ABC的中位线，
∴S△BOC=12S，
∵M是AB的中点，
∴S△CAM=12S，
又ON：OM＝1：2，
∴S△COA=13S△CAM=16S，
∵N是AC的中点，
∴S△ANB=12S，
又ON：OM＝1：2，
∴S△AOB=23S△ANB=13S，
故S△AOB：S△BOC：S△COA＝2：3：1．
故答案为：2：3：1．
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，重心为G，若2aGA→+3bGB→+3cGC→=0→，则csB＝ ．
【解析】∵重心为G，2aGA→+3bGB→+3cGC→=0→，
∴2a=3b＝3c，
不妨设2a=3b＝3c＝1，则csB=14+19−132⋅12⋅13=112．
故答案为：112．
22．在边长为1的正三角形ABC中，向量BD→=xBA→，CE→=yCA→，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则CD→•BE→的最大值为 ．
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点A（−12，0），B（12，0），C（0，32）；
设点D（x1，0），E（x2，y2），∵BD→=xBA→，∴（x1−12，0）＝x（﹣1，0），∴x1＝﹣x+12；
∵CE→=yCA→，∴（x2，y2−32）＝y（−12，−32），∴x2=−12y，y2=32−32y；
∴CD→•BE→=（x1，−32）•（x2−12，y2）＝x1（x2−12）−32y2＝（﹣x+12）•（−12y−12）−32（32−32y）
=12xy+12（x+y）﹣1≤12•(x+y2)2−12=−38，当且仅当x＝y=12时取“＝”；
故答案为：−38．
23．向量|a→|＝8，|b→|＝12，则|a→−b→|的最大值是 ，最小值是 ．
【解析】根据题意，当a→、b→反向时，|a→−b→|取得最大值，其最大值为12+8＝20，
当a→、b→同向时，|a→−b→|取得最小值，其最小值为12﹣8＝4，
故答案为：20，4．
24．已知a→，b→是两个平面向量，|b→|=22，且对任意t∈R，恒有|b→−ta→|≥|b→−a→|，则|a→−b→|+|a→|的最大值是 ．
【解析】∵对任意t∈R，恒有|b→−ta→|≥|b→−a→|，∴向量b→的终点到向量a→所在直线的距离最短．∴a→⊥（b→−a→）．
设|a→|＝x，|b→−a→|＝y，则x2+y2＝（22）2＝8，
∴|a→−b→|+|a→|=x+y=(x+y)2=x2+y2+2xy=8+2xy≤8+x2+y2=4，
当且仅当“x＝y”时“＝”成立．∴最大值为4．
故答案为：4．
25．已知向量OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），OC→=mOA→+nOB→（m，n＞0）．若m+2n＝7，则|OC→|的最小值为 ．
【解析】∵OA→=（2，1），OB→=（﹣1，2），
∴OC→=mOA→+nOB→=(2m−n，m+2n)，则|OC→|=5(m2+n2)，
∵m+2n＝7，∴由柯西不等式得，（12+22）（m2+n2）≥（m+2n）2＝49，当m1=n2，即m=75，n=145时，等号成立，
∴|OC→|的最小值为：7．
26．已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(1，3)，则|2a→+b→|的最小值为 ．
【解析】|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+b→2+4a→⋅b→=4+4+4(csθ+3sinθ)=8+8sin(θ+π6)，
∴sin(θ+π6)=−1时，|2a→+b→|取最小值0．
故答案为：0．
27．如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是 72 ．
【解析】由图象，得EF→=EA→+AB→+BF→，EF→=ED→+DC→+CF→．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴2EF→=(EA→+ED→)+(AB→+DC→)+(BF→+CF→)=AB→+DC→．
∵∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，∴＜AB→，DC→＞=60°，
∴|EF|→=12(AB→+DC→)2=12AB→2+DC→2+2|AB|→⋅|DC|→cs＜AB→，DC→＞
=1212+22+2×1×2×12=72．
∴EF的长为：72．
故答案为：72．
28．定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示a→=（f（x），0），b→=（csx，0），那么不等式a→•b→＜0的解集是 ．
【解析】∵（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示，
a→=（f（x），0），b→=（csx，0），
∴x∈（0，1）时f（x）＜0，csx＞0；
x∈[1，π2]时，csx≥0，f（x）≥0；
x∈（π2，3）时，f（x）＞0，csx＜0，
∴a→⋅b→=f（x）csx＜0的解集是（0，1）∪（π2，3）．
故答案为：（0，1）∪（π2，3）．
三．解答题
29．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
（1）若此人朝正南方向游去，且|v1|=3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
【解析】设OA→=v0，OB→=v1→，OC→=v2→，
则由题意知v2→=v0→+v1→，|OA→|＝1，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．
（1）由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|OB→|＝AC=3，如下图所示，
则在直角△OAC中，|v2→|＝OC=OA2+AC2=2，
tan∠AOC=31=3，又α＝∠AOC∈（0，π2），所以α=π3；
（2）由题意知α＝∠OCB=π2，且|v2→|＝|OC|=3，BC＝1，如下图所示，
则在直角△OBC中，|v1→|＝OB=OC2+BC2=2，
tan∠BOC=13=33，
又∠AOC∈（0，π2），所以∠BOC=π6，
则β=π2+π6=2π3，
答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；
（2）他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．
30．在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝60°，点O为△ABC所在平面上一点，满足OC→=mOA→+nOB→（m，n∈R且m+n≠1）．
（1）证明：CO→=mm+n−1CA→+nm+n−1CB→；
（2）若点O为△ABC的重心，求m、n的值；
（3）若点O为△ABC的外心，求m、n的值．
【解析】（1）OC→=mOA→+nOB→=m（OC→+CA→）+n（OC→+CB→），
∴CO→=mm+n−1CA→+nn+m−1CB→，
（2）点O为△ABC的重心，
∴OA→+OB→+OC→=0→，
∴m＝﹣1，n＝﹣1；
（3）点O为△ABC的外心，
∴CO→⋅CB→=12|CB→|2=18，CO→⋅CA→=12|CA→|2=2，CA→⋅CB→=2×6×12=6，
∵CO→⋅CB→=mm+n−1CA→⋅CB→+nn+m−1CB→⋅CB→，CO→⋅CA→=mm+n−1CA→⋅CA→+nn+m−1CA→⋅CB→，
∴2m−3n=3m+2n=−1，
∴m=37n=−57．
31．在△ABC中，D是线段AB上靠近B的一个三等分点，E是线段AC上靠近A的一个四等分点，DF→=4FE→，设AB→=m→，BC→=n→．
（1）用m→，n→表示AF→；
（2）设G是线段BC上一点，且使EG∥AF，求|CG→||CB→|的值．
【解析】（1）因为D是线段AB上靠近B的一个三等分点，所以AD→=23AB→．
因为E是线段AC上靠近A的一个四等分点，所以AE→=14AC→，
所以DE→=AE→−AD→=14AC→−23AB→．
因为DF→=4FE→，所以DF→=54DE→=15AC→−815AB→，
则AF→=AD→+DF→=23AB→+15AC→+815AB→=215AB→+15(AB→+BC→)=13AB→+15BC→．
又AB→=m→，BC→=n→，
所以AF→=13AB→+15BC→=13m→+15n→．
（2）因为G是线段BC上一点，所以存在实数λ，
使得CG→=λCB→(0＜λ＜1)，
则EG→=EC→+CG→=34AC→+λCB→=34(AB→+BC→)−λBC→=34AB→+(34−λ)BC→=34m→+(34−λ)n→，
因为EG∥AF，所以存在实数μ，
使AF→=μEG→，即13m→+15n→=μ[34m→+(34−λ)n→]，
整理得34μ=13，μ(34−λ)=15，解得λ=310，
故|CG→||CB→|=310．
32．已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°．
（1）求a→+b→与a→的夹角的余弦值；
（2）当|a→+tb→|取得最小值时，试判断a→+tb→与b→的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角为60°．
则：a→⋅b→=|a→||b→|cs60°=1．
所以：|a→+b→|=(a→+b→)2=7，
设a→+b→与a→的夹角为θ，
则csθ=(a→+b→)⋅a→|a→+b→||a→|=a→2+b→⋅a→|a→+b→||a→|=277，
所以a→+b→与a→的夹角的余弦值为277．
（2）位置关系为：a→−14b→与b→的位置关系为垂直．
理由是：|a→+tb→|2，
=a→2+2ta→⋅b→+t2b→2，
＝4t2+2t+1，
=4(t+14)2+34，
当|a→+tb→|取得最小值时，
解得：t=−14
则：（a→−14b→）•b→=a→⋅b→−14b→2=0，
所以：a→−14b→与b→垂直．
33．已知向量OA→=（2，2），OB→=（﹣4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当PA→•PB→取得最小值时，求OP→的坐标；
（2）设∠APB＝θ，当点P满足（1）时，求csθ的值．
【解析】（1）设OP→=（x，0）（x≥0），
则PA→=（2﹣x，2），PB→=（﹣4﹣x，1）．
∴PA→•PB→=x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7
∴当x＝0时，PA→•PB→取得最小值﹣6，此时，OP→=（0，0）．
（2）由（1）知OP→=（0，0），PA→•PB→=−6，
PA→=OA→，PB→=OB→，
∴csθ=PA→⋅PB→|PA→||PB→|=−622⋅17=−33434．
34．已知平面向量a→=（3，﹣1），b→=（12，32）．
（1）若存在实数k和t，满足x→=（t+2）a→+（t2﹣t﹣5）b→，y→=−ka→+4b→，且x→⊥y→，求出k关于t的关系式k＝f（t）；
（2）根据（1）的结论，试求出函数k＝f（t）在t∈（﹣2，2）上的最小值．
【解析】（1）∵a→=（3，﹣1），b→=（12，32），
∴a→⋅b→=0，且|a→|=2，|b→|=1
∵x→⊥y→
∴x→⋅y→=−（t+2）×4k+4（t2﹣t﹣5）＝0
∴k＝f（t）=t2−t−5t+2（t≠﹣2）；
（2）k＝f（t）=t2−t−5t+2=t+2+1t+2−5
∵t∈（﹣2，2），
∴t+2＞0，∴k＝t+2+1t+2−5≥﹣3，当且仅当t+2=1t+2，即t＝﹣1时取等号，
∴k的最小值为﹣3．
35．在平面直角坐标系中，已知三点A（﹣1，0），B（t，2），C（2，t），t∈R，O为坐标原点．
（Ⅰ）若△ABC是∠B为直角的直角三角形，求t的值；
（Ⅱ）若四边形ABCD是平行四边形，求|OD→|的最小值．
【解析】（I）AB→=(t+1，2)，BC→=(2−t，t−2)；
∵∠B＝90°，则AB→⊥BC→；
∴AB→⋅BC→=0，即（t+1）（2﹣t）+2（t﹣2）＝0；
解得t＝1或2；
若t＝2，则BC→=0→，这时△ABC不存在；
∴t＝1．
（II）若四边形ABCD是平行四边形，则AD→=BC→，设点D的坐标为（x，y）；
则AD→=(x+1，y)；
∴（x+1，y）＝（2﹣t，t﹣2）；
∴x+1=2−ty=t−2；
∴x=1−ty=t−2；
即D（1﹣t，t﹣2）；
∴OD→=(1−t，t−2)；
∴|OD→|=(1−t)2+(t−2)2=2t2−6t+5=2(t−32)2+12；
∴当t=32时，|OD→|取得最小值22．
9476148
相关试卷
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06练空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)： 这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06练空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练平面向量基本定理(原卷版+解析)： 这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练平面向量基本定理(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了若是平面内的两个向量，则等内容，欢迎下载使用。
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03练平面向量的数乘运算(原卷版+解析)： 这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03练平面向量的数乘运算(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了设为非零向量，则，化简的结果是，若，化简的结果为，对实数、和向量，，，正确的是，下列结论正确的是，若，则实数的值是，设，分别为两边，的中点，则等内容，欢迎下载使用。
