还剩58页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第10讲平面向量的应用(原卷版+解析)
展开
这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第10讲平面向量的应用(原卷版+解析)，共61页。试卷主要包含了用向量法解决平面几何问题，向量在平面几何中常见的应用等内容，欢迎下载使用。
知识点1 向量在平面几何中的应用
1．用向量法解决平面几何问题
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．向量在平面几何中常见的应用
3．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点2 向量在物理中的应用
向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
考点一 向量在平面几何证明问题中的应用
解题方略：
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
（一）用向量证明线段垂直问题
【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
（二）用向量证明线段平行问题
【例2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
（三）用向量解决夹角问题
【例3】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
变式1：直径所对的圆周角为直角.
（四）用向量解决线段的长度问题
【例4】试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和．
考点二 平面几何中的长度问题
解题方略：
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
变式1：若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
变式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
变式3：已知，，，，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
考点三 判断三角形的形状
【例6】在中，若，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
变式1：在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
变式2：四边形中，，，则这个四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
考点四 平面几何中的最值问题
【例7】在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式1：在平面四边形中，，，，，，若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式2：已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
变式3：半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例8】已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
考点五 向量在物理中的应用
解题方略：
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
【例9】在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h. 渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
变式1：长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
【例10】物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
变式1：如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
【例11】已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：牛顿，位移单位：米)
考点六 奔驰定理与三角形的四心
解题方略：
奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.
（一）三角形的四心
【例12】已知P是△ABC所在平面内一点，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式1：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq \(AP,\s\up6(→))，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式2：在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
变式3：非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形
变式4：已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
变式5：中，点满足，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形
（二）奔驰定理的应用
【例13】点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
变式1：点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
变式2：已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
变式3：【多选】已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 直线必过边中点
C. D. 若，且，则
变式4：设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（ ）
A． B． C． D．
变式5：设H是△ABC的垂心，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
练习一 向量在平面几何证明问题中的应用
1、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
2、如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.
3、已知向量OA，OB，OC满足条件，且|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：△是正三角形．
4、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AB⋅BC=0，证明：四边形ABCD是矩形．
5、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AC⋅BD=0，求证：四边形ABCD是菱形．
6、用向量的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于一组邻边平方和的两倍．
7、用向量的方法证明：在中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA．
8、在梯形中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是，的中点，求证：EF=BC−AD2.
练习二 平面几何中的长度问题
1、在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（ ）
A．B．C．2D．
2、已知中，，点P满足,则的最小值为_______．
3、如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是___________.
练习三 判断三角形的形状
1、已知在四边形ABCD中，AB=DC，且||=||，tan D=，判断四边形ABCD的形状.
2、P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
3、在中，，非零向量与满足AB·AC|AB|·|AC|=12，可判断的形状为___________.
练习四 平面几何中的最值问题
1、骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．B．12C．D．24
2、如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
3、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，点P在线段（包括端点）上运动，则PA⋅PB+PC的取值范围是___________.
练习五 向量在物理中的应用
1、已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W=______J．
2、如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东的方向移动了8m，其中F1=2N，方向为北偏东30∘ ；F2=4N，方向为北偏东；F3=6N，方向为北偏西30∘，求合力F所做的功.
3、某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
4、某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.
5、一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功J，则F与s的夹角等于_____.
练习六 奔驰定理与三角形的四心
1、点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．
2、在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形D．等腰非等边三角形
3、已知点P为内一点2PA+3PB+5PC=0，若F为AC中点，G为BC中点，|PF||PG|=___________．△APB, △APC, △BPC的面积之比为_____________．
4、已知O为△内部一点，且OA+OB+2OC=0,|OA|=|OB|=|OC|=1，则△的面积为__________
已知．
证明线段平行、点共线问题及相似问题
常用向量共线的条件：
．
证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等
常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）．
求夹角问题，若向量与的夹角为
利用夹角公式：
（其中为非零向量）．
求线段的长度或说明线段相等
可以用向量的模：
，或（其中两点的坐标分别为．
对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．
奔驰定理在三角形四心中的具体形式
是的重心
是的内心
是的外心
是的垂心
备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
第10讲 平面向量的应用
知识点1 向量在平面几何中的应用
1．用向量法解决平面几何问题
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．向量在平面几何中常见的应用
3．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点2 向量在物理中的应用
向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
考点一 向量在平面几何证明问题中的应用
解题方略：
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
（一）用向量证明线段垂直问题
【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【证明】法一：设eq \(AD,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))＝－a＋eq \f(1,2)b，
eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BF,\s\up7(―→))＝b＋eq \f(1,2)a，
所以eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,2)b))
＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(1,2)b2＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up7(―→))⊥eq \(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(2,1)，eq \(DE,\s\up7(―→))＝(1，－2)．
因为eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以eq \(AF,\s\up7(―→))⊥eq \(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.
（二）用向量证明线段平行问题
【例2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
证明：由题意，，，∴．
设，则．
同理．
于是．
∴，∴．
（三）用向量解决夹角问题
【例3】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
【解析】如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴，y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－2a，a)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(a，－2a)．不妨设eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up7(―→))·\(BD,\s\up7(―→)),|\(AC,\s\up7(―→))||\(BD,\s\up7(―→))|)＝eq \f(－2a，a·a，－2a,\r(5)a·\r(5)a)＝eq \f(－4a2,5a2)＝－eq \f(4,5).
故所求钝角的余弦值为－eq \f(4,5).
变式1：直径所对的圆周角为直角.
证明：如图，设圆心为，圆半径为，是圆的一条直径，点是圆上不同于，的一点，则是直径所对的圆周角.
由，，其中，
得.
则，即为直角.
所以直径所对的圆周角为直角.
（四）用向量解决线段的长度问题
【例4】试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和．
【证明】如图所示，在▱OACB中，设eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，
则eq \(OC,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up7(―→))＝a－b.
由于eq \(OC,\s\up7(―→))2＝eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
eq \(BA,\s\up7(―→))2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，
所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2.
由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，
所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.
考点二 平面几何中的长度问题
解题方略：
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解析】设eq \(AD,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(BD,\s\up7(―→))＝a－b，eq \(AC,\s\up7(―→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up7(―→))|＝|a－b|＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2)，
又|eq \(AC,\s\up7(―→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
变式1：若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
【解析】如图所示：设平行四边形中，，，，则为平行四边形中较长的对角线，由于，且，，
．
∴
，故答案为.
变式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
【解析】(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(m,2)))，
∴|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2) eq \r(n2＋m2)，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(m2＋n2)，
∴|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2) |eq \(AB,\s\up7(―→))|，即CD＝eq \f(1,2)AB.
(2)∵E为CD的中点，∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，\f(m,4)))，
设F(x,0)，则eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴eq \(AF,\s\up7(―→))＝λeq \(AE,\s\up7(―→)).
即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))
故λ＝eq \f(4,3)，即x＝eq \f(n,3)，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,3)，0))，
∴|eq \(AF,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2)，即AF＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2).
变式3：已知，，，，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，
若，则，设，
∴，且，
又，
∴，即.
故选：B
考点三 判断三角形的形状
【例6】在中，若，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【解析】因为，所以为钝角，所以一定是钝角三角形.
故选；D
变式1：在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
变式2：四边形中，，，则这个四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
【解析】由题意，
即，且
故四边形为平行四边形
又
故
即四边形为菱形
故选：A
考点四 平面几何中的最值问题
【例7】在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
因为直角梯形中，，，，，，
所以，则
，，，，，
所以，，
设，则，
因为，所以，解得，
所以，则，，
因为，所以，得，则，
设，则，
，
所以，
当时，取得最大值，
故选：D
变式1：在平面四边形中，，，，，，若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系．
作，，垂足分别为，，
在中，因为，所以，．
在中，因为，，所以，，
则，．设，，
则，，
所以，
当时，取得最大值，且.
故选：C
变式2：已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
【解析】如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C.
变式3：半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
故选：A.
【例8】已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，如图所示：
则，
因为与的夹角为120°，
所以，
因为，且的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，
所以的取值范围为，
故选；A
变式1：已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【解析】如图所示，设，，则，可令，
则，点在上，
因为与的夹角为，则，
当时，线段最短，此时取最小值，即.
故选：C.
考点五 向量在物理中的应用
解题方略：
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
【例9】在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h. 渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【解析】如图，设eq \(AB,\s\up7(―→))表示水流的速度，eq \(AD,\s\up7(―→))表示渡船的速度，eq \(AC,\s\up7(―→))表示渡船实际垂直过江的速度．
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq \(DC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝12.5，|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
变式1：长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
【解析】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.
【例10】物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
【解析】由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
变式1：如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
【解析】如图，在点处进行受力分析，由已知条件有，
根据平衡条件有，，
则，方向水平向右.
则边上点处的受力情况是大小为，方向与相同.
故答案为：大小为，方向与相同.
【例11】已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：牛顿，位移单位：米)
【解析】设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
考点六 奔驰定理与三角形的四心
解题方略：
奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.
（一）三角形的四心
【例12】已知P是△ABC所在平面内一点，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，可得eq \(PB,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq \(PB,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→))，同理可证eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.
变式1：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq \(AP,\s\up6(→))，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】设BC的中点为M，则eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＝eq \(OM,\s\up6(→))，则有eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋λeq \(AP,\s\up6(→))，即eq \(MP,\s\up6(→))＝λeq \(AP,\s\up6(→)).
∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.
变式2：在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【解析】设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.
变式3：非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【解析】，，分别为单位向量，
的角平分线与垂直，，
，，
，
为等边三角形．
故选：D．
变式4：已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【解析】中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等边三角形.
故选：D.
变式5：中，点满足，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【解析】，设是中点，则，
，故点在三角形的中线所在直线上.
，，即，即.
即，故三角形的边上的中线与高线重合，
所以，三角形是等腰三角形，其中.
故选：B.
（二）奔驰定理的应用
【例13】点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
【解析】根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
变式1：点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
【解析】根据奔驰定理，得3eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq \(OA,\s\up6(→))＋2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋4(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A.
变式2：已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【解析】由奔驰定理得，解之得，选C．
变式3：【多选】已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 直线必过边中点
C. D. 若，且，则
【解析】对于A，插入点A，，所以；
对于B，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；
对于C，由奔驰定理知；
对于D，由得，两边平方得
.
故选ACD
变式4：设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（ ）
A． B． C． D．
【解析】O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a
则，所以，
所以，所以.
又，所以，，所以.
变式5：设H是△ABC的垂心，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得
设，，
由代入得，解之得
所以，又因为，所以.
故选D
练习一 向量在平面几何证明问题中的应用
1、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
【解析】证明：设AB=a， AD=b．
因为四边形为菱形，所以a＝b，
又AC=AB+AD=a+b,BD=AD−AB=b−a
则AC→⋅BD→=a→+b→·b→−a→=b→2−a→2=b→2−a→2=0，故AC⊥BD．
所以AC⊥BD.
2、如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.
【解析】证明：AD⋅CE=AC+CD⋅CA+AE=AC+12CB⋅CA+23AB
=AC+12CB⋅CA+23CB−23CA=AC+12CB⋅13CA+23CB=−13CA2+13CB2
因为CA=CB，所以−13CA2+13CB2=0，即AD⋅CE=0，故AD⊥CE.
3、已知向量OA，OB，OC满足条件，且|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：△是正三角形．
【解析】证明：由题设，OA+OB=−OC，则OA2+2OA⋅OB+OB2=OC2，又|OA|=|OB|=|OC|=1，
∴2cs=−1，即cs=−12，而∈[0,π]，
∴=2π3，同理可得==2π3，
又△AOB、△、△BOC都是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=π6，即∠ABC=∠BAC=∠ACB=π3.
∴△是正三角形．
4、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AB⋅BC=0，证明：四边形ABCD是矩形．
【解析】由AB=−CD，即且AB=CD，故ABCD为平行四边形，
由AB⋅BC=0，即，而AB,BC是ABCD的一对邻边，
∴四边形ABCD是矩形，得证.
5、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AC⋅BD=0，求证：四边形ABCD是菱形．
【解析】证明:由AB=−CD，即且AB=CD，故ABCD为平行四边形，
由AC⋅BD=0，即，而AC,BD是ABCD的对角线，
∴四边形ABCD是菱形，得证.
6、用向量的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于一组邻边平方和的两倍．
【解析】如下图，BD=BC+CD，AC=AD+DC，
∴BD2=(BC+CD)2=BC2+2BC⋅CD+CD2，
AC2=(AD+DC)2=AD2+2AD⋅DC+DC2，
∴BD2+AC2=BC2+2BC⋅CD+CD2+AD2+2AD⋅DC+DC2，
又BC⋅CD=|BC||CD|cs，AD⋅DC=|AD||DC|cs，且+=π，BC=AD，
∴BC⋅CD=−AD⋅DC，故BD2+AC2=2(BC2+CD2)，得证.
7、用向量的方法证明：在中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA．
【解析】证明:∵＝BA＋AC，
∴()2＝(BA＋AC)2＝(BA)2＋(AC)2＋2BA·AC，即||2＝|BA|2＋|AC|2＋2|BA||AC|cs(180°－A)，
∴BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA.
8、在梯形中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是，的中点，求证：EF=BC−AD2.
【解析】证明：因为点E，F分别是，的中点，
所以EB=12DB，CF=12CA.
所以EF=EB+BC+CF=12DB+BC+12CA.
因为BC+CA+AD+DB=0，
所以 DB+CA=DA+CB，
所以EF=12(CB+DA)+BC=BC−AD2.
因为BC>AD，AD//BC，且AD与同向，
所以|EF|=BC−AD2=|BC|−|AD|2，
即EF=BC−AD2.
练习二 平面几何中的长度问题
1、在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（ ）
A．B．C．2D．
【解析】由得是的中点，
又由得，所以.
故选：B.
2、已知中，，点P满足,则的最小值为_______．
【解析】以中点为原点，以所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．设，则，
由,得．
所以点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，．
由圆的几何性质可知，的最小值为．
故答案为：．
3、如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是___________.
【解析】依题意，，，因，分别是四边形的边，的中点，
则，
如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则，而，则有，
于是得，则
.
所以的长为.
故答案为：.
练习三 判断三角形的形状
1、已知在四边形ABCD中，AB=DC，且||=||，tan D=，判断四边形ABCD的形状.
【解析】∵在四边形ABCD中，AB=DC，
∴AB//DC，且AB=DC
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵tan D=，由于D∈0,π，∴∠B=∠D=60°.
又||=||，∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC，故四边形ABCD是菱形.
2、P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【解析】由，可得，即，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
3、在中，，非零向量与满足AB·AC|AB|·|AC|=12，可判断的形状为___________.
【解析】由题意可得csA=AB·AC|AB|·|AC|=12，又A∈(0,π)，可得，
因为，
所以的形状为等边三角形.
故答案为：等边三角形.
练习四 平面几何中的最值问题
1、骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．B．12C．D．24
【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形
所以点，，，
所以，
所以，
所以当， 的最小值为.
故选：B
2、如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【解析】由题可知，和互相垂直平分，如图所示，分别以、所在的直线为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为，即，
设点的坐标为，
，，
开口向上，对称轴为，
当时，取得最大值，为3．
故选：D．
3、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，点P在线段（包括端点）上运动，则PA⋅PB+PC的取值范围是___________.
【解析】
以为坐标原点，为轴，DA为轴建立直角坐标系，
则D0,0,B−1,0,C1,0,A0,3，设P0,x,0≤x≤3，
所以PA=0,3−x,PB=−1,−x,PC=1,−x，
因此PB+PC=0,−2x，
所以PA⋅PB+PC=−2x3−x=2x2−23x=2x−322−32，
因此当x=0或x=3时，PA⃑⋅PB⃑+PC⃑max=0，当x=32时，PA⃑⋅PB⃑+PC⃑min=−32，所以PA⋅PB+PC的取值范围是−32,0，
故答案为：−32,0.
练习五 向量在物理中的应用
1、已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W=______J．
【解析】W=F⋅s=F⋅scsF,s=6×100×cs60°=300.
故答案为：300.
2、如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东的方向移动了8m，其中F1=2N，方向为北偏东30∘ ；F2=4N，方向为北偏东；F3=6N，方向为北偏西30∘，求合力F所做的功.
【解析】如图建立平面直角坐标系，
由题意可得F1=1,3，F2=23,2，F3=−3,33，位移s=42,42，
所以F=F1+F2+F3=23−2,2+43，
所以合力F所做的功为W=F⋅s=23−2×42+2+43×42=246J，
3、某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【解析】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为v−a，当速度为2a时感到的风速为v−2a，
如图，设OA=−a，OB=−2a，PO=v.
∵PO+OA=PA，∴PA=v−a，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵PO+OB=PB，∴PB=v−2a，这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，∴△POB为等腰直角三角形，
∴∠APO=45°，PO=PB=2a，即v=2a.
∴实际风速的大小是2a，为西北风.
4、某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.
【解析】设OA表示人游泳的速度，OB表示水速，
由题意可知，若人能沿正北方向前进，则人游泳的速度与水速的合速度方向为正北，
因为OA=4，OB=2，所以∠AOC=30°，所以∠AOB=120°，
即此人必须沿与水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前进.
故答案为：120.
5、一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功J，则F与s的夹角等于_____.
【解析】设F与s的夹角为θ，
由，得，解得：.
又，.
故答案为：（或）
练习六 奔驰定理与三角形的四心
1、点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．
【解析】 ，即
同理可得：，
点为的垂心
本题正确结果：垂
2、在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形D．等腰非等边三角形
【解析】在中，，
的角平分线与垂直，为等腰三角形；
又，，
，
为等腰非等边三角形.
故选：D
3、已知点P为内一点2PA+3PB+5PC=0，若F为AC中点，G为BC中点，|PF||PG|=___________．△APB, △APC, △BPC的面积之比为_____________．
【解析】因为2PA+3PB+5PC=0，所以2(PA+PC)=−3(PB+PC)，
因为F为AC中点，G为BC中点，
所以PA+PC=2PF,PB+PC=2PG，所以2PF=−3PG，
所以F、P、G三点共线，且PF=32PG
易知GF为三角形ABC的中位线，
设△APC中PC边上的高为ℎ1，△BPC中PC边上的高为ℎ2，
所以S△APCS△BPC=12×PC×ℎ112×PC×ℎ2=ℎ1ℎ2=PFPG=32，而S△APB=12S△ABC，
所以的面积之比为5:3:2
故答案为：，5: 3: 2
4、已知O为△内部一点，且OA+OB+2OC=0,|OA|=|OB|=|OC|=1，则△的面积为__________
【解析】若是中点，连接，则OA→+OB→=2OD→，又OA+OB+2OC=0，
∴OC→=−2OD→，故C,O,D共线，又|OA|=|OB|=|OC|=1，
∴是△外接圆圆心，即CD⊥AB，且OD=22，则AB=2AD=2，CD=1+22，
∴S△ABC=12AB⋅CD=2+12.
故答案为：2+12
已知．
证明线段平行、点共线问题及相似问题
常用向量共线的条件：
．
证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等
常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）．
求夹角问题，若向量与的夹角为
利用夹角公式：
（其中为非零向量）．
求线段的长度或说明线段相等
可以用向量的模：
，或（其中两点的坐标分别为．
对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．
奔驰定理在三角形四心中的具体形式
是的重心
是的内心
是的外心
是的垂心
备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
知识点1 向量在平面几何中的应用
1．用向量法解决平面几何问题
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．向量在平面几何中常见的应用
3．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点2 向量在物理中的应用
向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
考点一 向量在平面几何证明问题中的应用
解题方略：
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
（一）用向量证明线段垂直问题
【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
（二）用向量证明线段平行问题
【例2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
（三）用向量解决夹角问题
【例3】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
变式1：直径所对的圆周角为直角.
（四）用向量解决线段的长度问题
【例4】试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和．
考点二 平面几何中的长度问题
解题方略：
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
变式1：若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
变式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
变式3：已知，，，，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
考点三 判断三角形的形状
【例6】在中，若，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
变式1：在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
变式2：四边形中，，，则这个四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
考点四 平面几何中的最值问题
【例7】在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式1：在平面四边形中，，，，，，若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式2：已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
变式3：半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例8】已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
考点五 向量在物理中的应用
解题方略：
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
【例9】在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h. 渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
变式1：长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
【例10】物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
变式1：如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
【例11】已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：牛顿，位移单位：米)
考点六 奔驰定理与三角形的四心
解题方略：
奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.
（一）三角形的四心
【例12】已知P是△ABC所在平面内一点，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式1：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq \(AP,\s\up6(→))，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式2：在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
变式3：非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形
变式4：已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
变式5：中，点满足，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形
（二）奔驰定理的应用
【例13】点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
变式1：点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
变式2：已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
变式3：【多选】已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 直线必过边中点
C. D. 若，且，则
变式4：设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（ ）
A． B． C． D．
变式5：设H是△ABC的垂心，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
练习一 向量在平面几何证明问题中的应用
1、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
2、如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.
3、已知向量OA，OB，OC满足条件，且|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：△是正三角形．
4、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AB⋅BC=0，证明：四边形ABCD是矩形．
5、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AC⋅BD=0，求证：四边形ABCD是菱形．
6、用向量的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于一组邻边平方和的两倍．
7、用向量的方法证明：在中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA．
8、在梯形中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是，的中点，求证：EF=BC−AD2.
练习二 平面几何中的长度问题
1、在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（ ）
A．B．C．2D．
2、已知中，，点P满足,则的最小值为_______．
3、如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是___________.
练习三 判断三角形的形状
1、已知在四边形ABCD中，AB=DC，且||=||，tan D=，判断四边形ABCD的形状.
2、P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
3、在中，，非零向量与满足AB·AC|AB|·|AC|=12，可判断的形状为___________.
练习四 平面几何中的最值问题
1、骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．B．12C．D．24
2、如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
3、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，点P在线段（包括端点）上运动，则PA⋅PB+PC的取值范围是___________.
练习五 向量在物理中的应用
1、已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W=______J．
2、如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东的方向移动了8m，其中F1=2N，方向为北偏东30∘ ；F2=4N，方向为北偏东；F3=6N，方向为北偏西30∘，求合力F所做的功.
3、某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
4、某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.
5、一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功J，则F与s的夹角等于_____.
练习六 奔驰定理与三角形的四心
1、点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．
2、在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形D．等腰非等边三角形
3、已知点P为内一点2PA+3PB+5PC=0，若F为AC中点，G为BC中点，|PF||PG|=___________．△APB, △APC, △BPC的面积之比为_____________．
4、已知O为△内部一点，且OA+OB+2OC=0,|OA|=|OB|=|OC|=1，则△的面积为__________
已知．
证明线段平行、点共线问题及相似问题
常用向量共线的条件：
．
证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等
常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）．
求夹角问题，若向量与的夹角为
利用夹角公式：
（其中为非零向量）．
求线段的长度或说明线段相等
可以用向量的模：
，或（其中两点的坐标分别为．
对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．
奔驰定理在三角形四心中的具体形式
是的重心
是的内心
是的外心
是的垂心
备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
第10讲 平面向量的应用
知识点1 向量在平面几何中的应用
1．用向量法解决平面几何问题
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：
（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．向量在平面几何中常见的应用
3．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点2 向量在物理中的应用
向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
考点一 向量在平面几何证明问题中的应用
解题方略：
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
（一）用向量证明线段垂直问题
【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【证明】法一：设eq \(AD,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(DA,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))＝－a＋eq \f(1,2)b，
eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BF,\s\up7(―→))＝b＋eq \f(1,2)a，
所以eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,2)b))
＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(1,2)b2＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up7(―→))⊥eq \(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(2,1)，eq \(DE,\s\up7(―→))＝(1，－2)．
因为eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(DE,\s\up7(―→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以eq \(AF,\s\up7(―→))⊥eq \(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.
（二）用向量证明线段平行问题
【例2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
证明：由题意，，，∴．
设，则．
同理．
于是．
∴，∴．
（三）用向量解决夹角问题
【例3】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
【解析】如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴，y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－2a，a)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(a，－2a)．不妨设eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up7(―→))·\(BD,\s\up7(―→)),|\(AC,\s\up7(―→))||\(BD,\s\up7(―→))|)＝eq \f(－2a，a·a，－2a,\r(5)a·\r(5)a)＝eq \f(－4a2,5a2)＝－eq \f(4,5).
故所求钝角的余弦值为－eq \f(4,5).
变式1：直径所对的圆周角为直角.
证明：如图，设圆心为，圆半径为，是圆的一条直径，点是圆上不同于，的一点，则是直径所对的圆周角.
由，，其中，
得.
则，即为直角.
所以直径所对的圆周角为直角.
（四）用向量解决线段的长度问题
【例4】试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和．
【证明】如图所示，在▱OACB中，设eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，
则eq \(OC,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up7(―→))＝a－b.
由于eq \(OC,\s\up7(―→))2＝eq \(OC,\s\up7(―→))·eq \(OC,\s\up7(―→))＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
eq \(BA,\s\up7(―→))2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，
所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2.
由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，
所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.
考点二 平面几何中的长度问题
解题方略：
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
【解析】设eq \(AD,\s\up7(―→))＝a，eq \(AB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(BD,\s\up7(―→))＝a－b，eq \(AC,\s\up7(―→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up7(―→))|＝|a－b|＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2)，
又|eq \(AC,\s\up7(―→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
变式1：若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
【解析】如图所示：设平行四边形中，，，，则为平行四边形中较长的对角线，由于，且，，
．
∴
，故答案为.
变式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝eq \f(1,2)AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
【解析】(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)，\f(m,2)))，
∴|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2) eq \r(n2＋m2)，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝ eq \r(m2＋n2)，
∴|eq \(CD,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2) |eq \(AB,\s\up7(―→))|，即CD＝eq \f(1,2)AB.
(2)∵E为CD的中点，∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，\f(m,4)))，
设F(x,0)，则eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq \(AF,\s\up7(―→))＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴eq \(AF,\s\up7(―→))＝λeq \(AE,\s\up7(―→)).
即(x，－m)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))
故λ＝eq \f(4,3)，即x＝eq \f(n,3)，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,3)，0))，
∴|eq \(AF,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2)，即AF＝eq \f(1,3) eq \r(n2＋9m2).
变式3：已知，，，，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题设，四边形为矩形，构建以为原点的直角坐标系，如下图，
若，则，设，
∴，且，
又，
∴，即.
故选：B
考点三 判断三角形的形状
【例6】在中，若，则的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【解析】因为，所以为钝角，所以一定是钝角三角形.
故选；D
变式1：在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】，，
则，
，，则△ABC为直角三角形.
故选：B.
变式2：四边形中，，，则这个四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
【解析】由题意，
即，且
故四边形为平行四边形
又
故
即四边形为菱形
故选：A
考点四 平面几何中的最值问题
【例7】在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
因为直角梯形中，，，，，，
所以，则
，，，，，
所以，，
设，则，
因为，所以，解得，
所以，则，，
因为，所以，得，则，
设，则，
，
所以，
当时，取得最大值，
故选：D
变式1：在平面四边形中，，，，，，若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系．
作，，垂足分别为，，
在中，因为，所以，．
在中，因为，，所以，，
则，．设，，
则，，
所以，
当时，取得最大值，且.
故选：C
变式2：已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
【解析】如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C.
变式3：半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
故选：A.
【例8】已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，如图所示：
则，
因为与的夹角为120°，
所以，
因为，且的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，
所以的取值范围为，
故选；A
变式1：已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【解析】如图所示，设，，则，可令，
则，点在上，
因为与的夹角为，则，
当时，线段最短，此时取最小值，即.
故选：C.
考点五 向量在物理中的应用
解题方略：
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
【例9】在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h. 渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【解析】如图，设eq \(AB,\s\up7(―→))表示水流的速度，eq \(AD,\s\up7(―→))表示渡船的速度，eq \(AC,\s\up7(―→))表示渡船实际垂直过江的速度．
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq \(DC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝12.5，|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
变式1：长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
【解析】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.
【例10】物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
【解析】由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
变式1：如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
【解析】如图，在点处进行受力分析，由已知条件有，
根据平衡条件有，，
则，方向水平向右.
则边上点处的受力情况是大小为，方向与相同.
故答案为：大小为，方向与相同.
【例11】已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：牛顿，位移单位：米)
【解析】设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·eq \(AB,\s\up7(―→))＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
考点六 奔驰定理与三角形的四心
解题方略：
奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.
（一）三角形的四心
【例12】已知P是△ABC所在平面内一点，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))，可得eq \(PB,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq \(PB,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→))，同理可证eq \(PC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.
变式1：已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq \(AP,\s\up6(→))，λ∈R，则P点的轨迹一定经过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】设BC的中点为M，则eq \f(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)),2)＝eq \(OM,\s\up6(→))，则有eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋λeq \(AP,\s\up6(→))，即eq \(MP,\s\up6(→))＝λeq \(AP,\s\up6(→)).
∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.
变式2：在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．外心D．重心
【解析】设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.
变式3：非零向量，满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【解析】，，分别为单位向量，
的角平分线与垂直，，
，，
，
为等边三角形．
故选：D．
变式4：已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【解析】中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等边三角形.
故选：D.
变式5：中，点满足，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【解析】，设是中点，则，
，故点在三角形的中线所在直线上.
，，即，即.
即，故三角形的边上的中线与高线重合，
所以，三角形是等腰三角形，其中.
故选：B.
（二）奔驰定理的应用
【例13】点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
【解析】根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
变式1：点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
【解析】根据奔驰定理，得3eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq \(OA,\s\up6(→))＋2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋4(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A.
变式2：已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【解析】由奔驰定理得，解之得，选C．
变式3：【多选】已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 直线必过边中点
C. D. 若，且，则
【解析】对于A，插入点A，，所以；
对于B，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；
对于C，由奔驰定理知；
对于D，由得，两边平方得
.
故选ACD
变式4：设O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若则（ ）
A． B． C． D．
【解析】O是△ABC的内心，AB＝c，AC＝b，BC＝a
则，所以，
所以，所以.
又，所以，，所以.
变式5：设H是△ABC的垂心，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得
设，，
由代入得，解之得
所以，又因为，所以.
故选D
练习一 向量在平面几何证明问题中的应用
1、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
【解析】证明：设AB=a， AD=b．
因为四边形为菱形，所以a＝b，
又AC=AB+AD=a+b,BD=AD−AB=b−a
则AC→⋅BD→=a→+b→·b→−a→=b→2−a→2=b→2−a→2=0，故AC⊥BD．
所以AC⊥BD.
2、如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.
【解析】证明：AD⋅CE=AC+CD⋅CA+AE=AC+12CB⋅CA+23AB
=AC+12CB⋅CA+23CB−23CA=AC+12CB⋅13CA+23CB=−13CA2+13CB2
因为CA=CB，所以−13CA2+13CB2=0，即AD⋅CE=0，故AD⊥CE.
3、已知向量OA，OB，OC满足条件，且|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：△是正三角形．
【解析】证明：由题设，OA+OB=−OC，则OA2+2OA⋅OB+OB2=OC2，又|OA|=|OB|=|OC|=1，
∴2cs
∴
又△AOB、△、△BOC都是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=π6，即∠ABC=∠BAC=∠ACB=π3.
∴△是正三角形．
4、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AB⋅BC=0，证明：四边形ABCD是矩形．
【解析】由AB=−CD，即且AB=CD，故ABCD为平行四边形，
由AB⋅BC=0，即，而AB,BC是ABCD的一对邻边，
∴四边形ABCD是矩形，得证.
5、在四边形ABCD中，AB+CD=0，AC⋅BD=0，求证：四边形ABCD是菱形．
【解析】证明:由AB=−CD，即且AB=CD，故ABCD为平行四边形，
由AC⋅BD=0，即，而AC,BD是ABCD的对角线，
∴四边形ABCD是菱形，得证.
6、用向量的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于一组邻边平方和的两倍．
【解析】如下图，BD=BC+CD，AC=AD+DC，
∴BD2=(BC+CD)2=BC2+2BC⋅CD+CD2，
AC2=(AD+DC)2=AD2+2AD⋅DC+DC2，
∴BD2+AC2=BC2+2BC⋅CD+CD2+AD2+2AD⋅DC+DC2，
又BC⋅CD=|BC||CD|cs
∴BC⋅CD=−AD⋅DC，故BD2+AC2=2(BC2+CD2)，得证.
7、用向量的方法证明：在中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA．
【解析】证明:∵＝BA＋AC，
∴()2＝(BA＋AC)2＝(BA)2＋(AC)2＋2BA·AC，即||2＝|BA|2＋|AC|2＋2|BA||AC|cs(180°－A)，
∴BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA.
8、在梯形中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是，的中点，求证：EF=BC−AD2.
【解析】证明：因为点E，F分别是，的中点，
所以EB=12DB，CF=12CA.
所以EF=EB+BC+CF=12DB+BC+12CA.
因为BC+CA+AD+DB=0，
所以 DB+CA=DA+CB，
所以EF=12(CB+DA)+BC=BC−AD2.
因为BC>AD，AD//BC，且AD与同向，
所以|EF|=BC−AD2=|BC|−|AD|2，
即EF=BC−AD2.
练习二 平面几何中的长度问题
1、在平行四边形中，点，满足，，且，设，则（ ）
A．B．C．2D．
【解析】由得是的中点，
又由得，所以.
故选：B.
2、已知中，，点P满足,则的最小值为_______．
【解析】以中点为原点，以所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．设，则，
由,得．
所以点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，．
由圆的几何性质可知，的最小值为．
故答案为：．
3、如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是___________.
【解析】依题意，，，因，分别是四边形的边，的中点，
则，
如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则，而，则有，
于是得，则
.
所以的长为.
故答案为：.
练习三 判断三角形的形状
1、已知在四边形ABCD中，AB=DC，且||=||，tan D=，判断四边形ABCD的形状.
【解析】∵在四边形ABCD中，AB=DC，
∴AB//DC，且AB=DC
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵tan D=，由于D∈0,π，∴∠B=∠D=60°.
又||=||，∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC，故四边形ABCD是菱形.
2、P是所在平面内一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【解析】由，可得，即，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
3、在中，，非零向量与满足AB·AC|AB|·|AC|=12，可判断的形状为___________.
【解析】由题意可得csA=AB·AC|AB|·|AC|=12，又A∈(0,π)，可得，
因为，
所以的形状为等边三角形.
故答案为：等边三角形.
练习四 平面几何中的最值问题
1、骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．B．12C．D．24
【解析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形
所以点，，，
所以，
所以，
所以当， 的最小值为.
故选：B
2、如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【解析】由题可知，和互相垂直平分，如图所示，分别以、所在的直线为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为，即，
设点的坐标为，
，，
开口向上，对称轴为，
当时，取得最大值，为3．
故选：D．
3、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，点P在线段（包括端点）上运动，则PA⋅PB+PC的取值范围是___________.
【解析】
以为坐标原点，为轴，DA为轴建立直角坐标系，
则D0,0,B−1,0,C1,0,A0,3，设P0,x,0≤x≤3，
所以PA=0,3−x,PB=−1,−x,PC=1,−x，
因此PB+PC=0,−2x，
所以PA⋅PB+PC=−2x3−x=2x2−23x=2x−322−32，
因此当x=0或x=3时，PA⃑⋅PB⃑+PC⃑max=0，当x=32时，PA⃑⋅PB⃑+PC⃑min=−32，所以PA⋅PB+PC的取值范围是−32,0，
故答案为：−32,0.
练习五 向量在物理中的应用
1、已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W=______J．
【解析】W=F⋅s=F⋅scsF,s=6×100×cs60°=300.
故答案为：300.
2、如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东的方向移动了8m，其中F1=2N，方向为北偏东30∘ ；F2=4N，方向为北偏东；F3=6N，方向为北偏西30∘，求合力F所做的功.
【解析】如图建立平面直角坐标系，
由题意可得F1=1,3，F2=23,2，F3=−3,33，位移s=42,42，
所以F=F1+F2+F3=23−2,2+43，
所以合力F所做的功为W=F⋅s=23−2×42+2+43×42=246J，
3、某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.
【解析】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为v−a，当速度为2a时感到的风速为v−2a，
如图，设OA=−a，OB=−2a，PO=v.
∵PO+OA=PA，∴PA=v−a，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.
∵PO+OB=PB，∴PB=v−2a，这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速，
由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，BA=AO，∴△POB为等腰直角三角形，
∴∠APO=45°，PO=PB=2a，即v=2a.
∴实际风速的大小是2a，为西北风.
4、某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进.
【解析】设OA表示人游泳的速度，OB表示水速，
由题意可知，若人能沿正北方向前进，则人游泳的速度与水速的合速度方向为正北，
因为OA=4，OB=2，所以∠AOC=30°，所以∠AOB=120°，
即此人必须沿与水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前进.
故答案为：120.
5、一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功J，则F与s的夹角等于_____.
【解析】设F与s的夹角为θ，
由，得，解得：.
又，.
故答案为：（或）
练习六 奔驰定理与三角形的四心
1、点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．
【解析】 ，即
同理可得：，
点为的垂心
本题正确结果：垂
2、在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形D．等腰非等边三角形
【解析】在中，，
的角平分线与垂直，为等腰三角形；
又，，
，
为等腰非等边三角形.
故选：D
3、已知点P为内一点2PA+3PB+5PC=0，若F为AC中点，G为BC中点，|PF||PG|=___________．△APB, △APC, △BPC的面积之比为_____________．
【解析】因为2PA+3PB+5PC=0，所以2(PA+PC)=−3(PB+PC)，
因为F为AC中点，G为BC中点，
所以PA+PC=2PF,PB+PC=2PG，所以2PF=−3PG，
所以F、P、G三点共线，且PF=32PG
易知GF为三角形ABC的中位线，
设△APC中PC边上的高为ℎ1，△BPC中PC边上的高为ℎ2，
所以S△APCS△BPC=12×PC×ℎ112×PC×ℎ2=ℎ1ℎ2=PFPG=32，而S△APB=12S△ABC，
所以的面积之比为5:3:2
故答案为：，5: 3: 2
4、已知O为△内部一点，且OA+OB+2OC=0,|OA|=|OB|=|OC|=1，则△的面积为__________
【解析】若是中点，连接，则OA→+OB→=2OD→，又OA+OB+2OC=0，
∴OC→=−2OD→，故C,O,D共线，又|OA|=|OB|=|OC|=1，
∴是△外接圆圆心，即CD⊥AB，且OD=22，则AB=2AD=2，CD=1+22，
∴S△ABC=12AB⋅CD=2+12.
故答案为：2+12
已知．
证明线段平行、点共线问题及相似问题
常用向量共线的条件：
．
证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等
常用向量垂直的条件：
（其中为非零向量）．
求夹角问题，若向量与的夹角为
利用夹角公式：
（其中为非零向量）．
求线段的长度或说明线段相等
可以用向量的模：
，或（其中两点的坐标分别为．
对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．
奔驰定理在三角形四心中的具体形式
是的重心
是的内心
是的外心
是的垂心
备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
相关试卷
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第10练平面向量的应用(原卷版+解析)： 这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第10练平面向量的应用(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了已知D是△ABC内部等内容，欢迎下载使用。
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)： 这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06讲空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)，共59页。
高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05讲空间直线、平面的平行(原卷版+解析)： 这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05讲空间直线、平面的平行(原卷版+解析)，共71页。试卷主要包含了基本事实4，等角定理，证明直线与平面平行的方法等内容，欢迎下载使用。
