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高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第一课时基本立体图形、简单几何体的表面积与体积学案
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这是一份高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第一课时基本立体图形、简单几何体的表面积与体积学案，共18页。学案主要包含了教师备选资源，教师备用等内容，欢迎下载使用。
【教师备选资源】
第1课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
[考试要求] 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
考点一 基本立体图形
1．多面体的结构特征
2．特殊的棱柱
(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
(3)底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(4)底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．
3．正棱锥
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
4．旋转体的结构特征
5．立体图形的直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
结构特征
[典例1] 下列命题正确的是( )
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D [A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；
B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．]
直观图
[典例2] (2024·济宁一中月考)已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．34a2 B．38a2
C．68a2 D．616a2
D [法一：如图①②所示的实际图形和直观图，
由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝22O′C′＝68a，
所以S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616a2．故选D．
法二：S△ABC＝12×a×a sin 60°＝34a2，
又S直观图＝24S原图＝24×34a2＝616a2．故选D．]
展开图
[典例3] (2024·长沙模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是( )
A．a2+9b2B．9a2+b2
C．4a2+9b2D．a2+b2
A [正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为a2+9b2．故选A．]
(1)判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形．
(3)用侧面展开图求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．
跟进训练1 (1)(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
(2)(2024·泰安模拟)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
(3)(2024·蚌埠模拟)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为( )
A．123 B．16
C．24 D．243
(1)BCD (2)A (3)A [(1)A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；
B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；
C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；
D正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形．
(2)根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系中的图形，如图，
则BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝3，
AC＝AB＝32+12＝2，
所以△ABC是一个等边三角形．
(3)如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，
则由题意可得2π×4＝12θ，
则θ＝2π3，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
则小虫爬行的最短路程为PP′＝
122+122-2×12×12×-12＝123．]
考点二 空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2．柱、锥、台、球的表面积和体积
侧面积与表面积
[典例4] (2024·上海市通河中学月考)侧面是正三角形的正四棱锥，体积为26，则它的表面积是________．
1＋3 [如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，
设底面边长为a，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．
在Rt△POG中，
PG＝32a，PO＝3a24-a24＝22a，
因为体积为26，即13×a2×22a＝26，则a＝1．
所以正四棱锥的表面积为4×34a2＋a2＝1＋3．]
体积
[典例5] (1)(2024·温州模拟)侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上，则其外接球的体积为________．
(2)(2024·山东实验中学月考)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为________．
(1)36π (2)1 [(1)依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，
高为322-12 ×62＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，故体积为36π．
(2)如图，由正方体棱长为2，
得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，
又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1-D1MN＝VD1-A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1．
求空间几何体的体积的常用方法
【教师备用】
(2024·大同模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈D．8立方丈
B [如图，
过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积
V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM
＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×1×1×3＝5(立方丈)．]
跟进训练2 (1)(2024·广州调研)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．122π B．12π
C．82π D．10π
(2)(2024·天津和平区模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A-B1CD1的体积为( )
A．43 B．83
C．4 D．6
(1)B (2)B [(1)设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π．
(2)如图，三棱锥A-B1CD1是由正方体ABCD-A1B1C1D1截去四个小三棱锥A-A1B1D1，
C-B1C1D1，B1-ABC，D1-ACD，
又VABCD-A1B1C1D1＝23＝8，
VA-A1B1D1＝VC-B1C1D1＝VB1-ABC＝VD1-ACD＝13×12×23＝43，
所以VA-B1CD1＝8－4×43＝83．]
课后习题(三十五) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．(人教A版必修第二册P119练习T2改编)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．163π B．323π C．16π D．24π
B [设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝43πR3＝323π．]
2．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
C [由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]
3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．32 cm
B [设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2．]
4．(人教A版必修第二册P119习题8.3T2改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
1∶47 [设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出的棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47．]
5．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为( )
A．322 B．32
C．3 D．32
B [平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形，其面积为12×(1＋2)×1＝32，则S原＝22S直＝32．故选B．]
6．(多选)(2024·青岛模拟)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是( )
A．四棱柱
B．四棱台
C．三棱柱
D．三棱锥
AC [根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱．故选AC．]
7．(2024·山东莱西模拟)若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论错误的为( )
A．圆锥的底面半径为1
B．圆锥的母线长为2
C．圆锥的体积为32π
D．圆锥的高为3
C [设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则有πl=2πr，πrl+πr2=3π，解得r＝1，l＝2，圆锥的高h＝l2-r2＝3，圆锥的体积V＝13πr2h＝33π，即选项A，B，D都正确，C错误．故选C．]
8．(2024·惠州调研)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
C [如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，则可看成一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长为5×2＝10(尺)的矩形，
因此葛藤长的最小值为242+102＝26(尺)，即为2丈6尺．]
9．(多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱的每个轴截面都是全等的矩形
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
AD [A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．]
10．(2024·佛山质检)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，将四边形ABCD绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积是 ( )
A．5π B．3π
C．52π D．32π
A [如图所示，过C作y轴的垂线交y轴于E，则△DCE是直角三角形，四边形ABCE是直角梯形，四边形ABCD绕y轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，易求得AB＝1，BC＝2，CE＝2，AE＝1，ED＝2，DC＝22，所得旋转体的体积为V＝13×π×22×2＋π3(1＋1×2＋22)×1＝5π．故选A．]
11．如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系Oxy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形ABCO的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
22 [利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，
在坐标系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°．
过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′．
在Rt△B′D′C′中，
B′D′＝B′C′sin 45°＝1×22＝22，
即顶点B′到x′轴的距离为22．]
12．(2024·湖北省天门中学模拟)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．
2 600π [将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：直线与平面平行、垂直关系的判定与性质及立体几何中的向量方法．
新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷对立体几何解答题的考查角度基本一致，前一问主要考查空间中点、线、面的位置关系，将平行、垂直关系作为考查的重点，后一问考查空间几何量(空间角)的计算，尤其是二面角、线面角的计算．
2．轮考点：空间几何体的结构、表面积与体积，空间中点、线、面的位置关系．
以小题的形式出现，主要考查空间几何体体积与表面积的计算及球与棱柱、棱锥的切接问题．
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但
不一定相等
延长线交
于一点
侧面
形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线
交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面
展开图
矩形
扇形
扇环
名称
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝
π(r1＋r2)l
名称
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝13Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝13(S上＋S下
＋S上S下)h
球
S＝4πR2
V＝43πR3
公式法
规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体
等体
积法
通过选择合适的底面来求几何体体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换)
【教师备选资源】
第1课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
[考试要求] 1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
考点一 基本立体图形
1．多面体的结构特征
2．特殊的棱柱
(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
(3)底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(4)底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．
3．正棱锥
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
4．旋转体的结构特征
5．立体图形的直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．
结构特征
[典例1] 下列命题正确的是( )
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D [A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；
B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．]
直观图
[典例2] (2024·济宁一中月考)已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A．34a2 B．38a2
C．68a2 D．616a2
D [法一：如图①②所示的实际图形和直观图，
由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝22O′C′＝68a，
所以S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616a2．故选D．
法二：S△ABC＝12×a×a sin 60°＝34a2，
又S直观图＝24S原图＝24×34a2＝616a2．故选D．]
展开图
[典例3] (2024·长沙模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A→M→N→A1，则蚂蚁爬行的最短路程是( )
A．a2+9b2B．9a2+b2
C．4a2+9b2D．a2+b2
A [正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为3b，宽为a，则其对角线AA1的长为最短路程．因此蚂蚁爬行的最短路程为a2+9b2．故选A．]
(1)判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形．
(3)用侧面展开图求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．
跟进训练1 (1)(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
(2)(2024·泰安模拟)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
(3)(2024·蚌埠模拟)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为( )
A．123 B．16
C．24 D．243
(1)BCD (2)A (3)A [(1)A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；
B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；
C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；
D正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形．
(2)根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系中的图形，如图，
则BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝3，
AC＝AB＝32+12＝2，
所以△ABC是一个等边三角形．
(3)如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，
则由题意可得2π×4＝12θ，
则θ＝2π3，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
则小虫爬行的最短路程为PP′＝
122+122-2×12×12×-12＝123．]
考点二 空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2．柱、锥、台、球的表面积和体积
侧面积与表面积
[典例4] (2024·上海市通河中学月考)侧面是正三角形的正四棱锥，体积为26，则它的表面积是________．
1＋3 [如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，
设底面边长为a，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．
在Rt△POG中，
PG＝32a，PO＝3a24-a24＝22a，
因为体积为26，即13×a2×22a＝26，则a＝1．
所以正四棱锥的表面积为4×34a2＋a2＝1＋3．]
体积
[典例5] (1)(2024·温州模拟)侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的各顶点都在以O为球心的球面上，则其外接球的体积为________．
(2)(2024·山东实验中学月考)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为________．
(1)36π (2)1 [(1)依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，
高为322-12 ×62＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，故体积为36π．
(2)如图，由正方体棱长为2，
得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，
又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，
∴VA1-D1MN＝VD1-A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1．
求空间几何体的体积的常用方法
【教师备用】
(2024·大同模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈D．8立方丈
B [如图，
过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积
V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝13·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋13·FH·S矩形NBCM
＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×1×1×3＝5(立方丈)．]
跟进训练2 (1)(2024·广州调研)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．122π B．12π
C．82π D．10π
(2)(2024·天津和平区模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A-B1CD1的体积为( )
A．43 B．83
C．4 D．6
(1)B (2)B [(1)设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π．
(2)如图，三棱锥A-B1CD1是由正方体ABCD-A1B1C1D1截去四个小三棱锥A-A1B1D1，
C-B1C1D1，B1-ABC，D1-ACD，
又VABCD-A1B1C1D1＝23＝8，
VA-A1B1D1＝VC-B1C1D1＝VB1-ABC＝VD1-ACD＝13×12×23＝43，
所以VA-B1CD1＝8－4×43＝83．]
课后习题(三十五) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．(人教A版必修第二册P119练习T2改编)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．163π B．323π C．16π D．24π
B [设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝43πR3＝323π．]
2．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．简单组合体
C [由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]
3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．32 cm
B [设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2．]
4．(人教A版必修第二册P119习题8.3T2改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
1∶47 [设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出的棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47．]
5．一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为( )
A．322 B．32
C．3 D．32
B [平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形，其面积为12×(1＋2)×1＝32，则S原＝22S直＝32．故选B．]
6．(多选)(2024·青岛模拟)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是( )
A．四棱柱
B．四棱台
C．三棱柱
D．三棱锥
AC [根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱．故选AC．]
7．(2024·山东莱西模拟)若圆锥的表面积为3π，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论错误的为( )
A．圆锥的底面半径为1
B．圆锥的母线长为2
C．圆锥的体积为32π
D．圆锥的高为3
C [设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则有πl=2πr，πrl+πr2=3π，解得r＝1，l＝2，圆锥的高h＝l2-r2＝3，圆锥的体积V＝13πr2h＝33π，即选项A，B，D都正确，C错误．故选C．]
8．(2024·惠州调研)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
C [如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，则可看成一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长为5×2＝10(尺)的矩形，
因此葛藤长的最小值为242+102＝26(尺)，即为2丈6尺．]
9．(多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱的每个轴截面都是全等的矩形
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
AD [A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．]
10．(2024·佛山质检)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，将四边形ABCD绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积是 ( )
A．5π B．3π
C．52π D．32π
A [如图所示，过C作y轴的垂线交y轴于E，则△DCE是直角三角形，四边形ABCE是直角梯形，四边形ABCD绕y轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，易求得AB＝1，BC＝2，CE＝2，AE＝1，ED＝2，DC＝22，所得旋转体的体积为V＝13×π×22×2＋π3(1＋1×2＋22)×1＝5π．故选A．]
11．如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系Oxy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形ABCO的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
22 [利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，
在坐标系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°．
过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′．
在Rt△B′D′C′中，
B′D′＝B′C′sin 45°＝1×22＝22，
即顶点B′到x′轴的距离为22．]
12．(2024·湖北省天门中学模拟)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．
2 600π [将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：直线与平面平行、垂直关系的判定与性质及立体几何中的向量方法．
新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷对立体几何解答题的考查角度基本一致，前一问主要考查空间中点、线、面的位置关系，将平行、垂直关系作为考查的重点，后一问考查空间几何量(空间角)的计算，尤其是二面角、线面角的计算．
2．轮考点：空间几何体的结构、表面积与体积，空间中点、线、面的位置关系．
以小题的形式出现，主要考查空间几何体体积与表面积的计算及球与棱柱、棱锥的切接问题．
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但
不一定相等
延长线交
于一点
侧面
形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线
交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面
展开图
矩形
扇形
扇环
名称
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝
π(r1＋r2)l
名称
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝13Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝13(S上＋S下
＋S上S下)h
球
S＝4πR2
V＝43πR3
公式法
规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者补成规则的几何体
等体
积法
通过选择合适的底面来求几何体体积，特别是三棱锥的体积(即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换)
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