高三数学一轮复习第六章数列第四课时数列求和学案

这是一份高三数学一轮复习第六章数列第四课时数列求和学案，共12页。

考点一 分组求和与并项求和
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝na1+an2＝na1＋nn-12d．
2．等比数列的前n项和公式：
Sn＝na1，q=1，a11-qn1-q=a1-anq1-q，q≠1．
3．分组求和：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
4．并项求和：形如an＝(－1)n·f (n)类型，常采用两项合并求解．
分组求和
[典例1] (2024·珠海调研)已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a5＝14，数列{bn}满足bn＝an，n为偶数，2an，n为奇数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求T2n＝b1＋b2＋…＋b2n．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，
由a1＝2，a5＝14，可得2＋4d＝14，解得d＝3，则an＝2＋3(n－1)＝3n－1．
(2)bn＝3n-1，n为偶数，23n-1，n为奇数，
则T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝(22＋28＋…＋26n-4)＋(5＋11＋…＋6n－1)＝41-26n1-26＋12n(5＋6n－1)＝3n2＋2n＋463×64n－463．
并项求和
[典例2] (2024·银川模拟)数列{an}的通项公式an＝n sin nπ3，其前n项和为Sn，则S2 024＝________．
2 02532 [函数y＝sin π3x以6为最小正周期，
又a6m＋1＋a6m＋2＋a6m＋3＋a6m＋4＋a6m＋5＋a6m＋6＝－33，m∈N，2 024＝337×6＋2，
所以S2 024＝－33×337＋2 023sin 2 023π3＋2 024·sin 2 024π3＝2 02532．]
(1)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数或an＝bn±cn的数列，且{bn}，{cn}为等差或等比数列可采用分组求和法求和．
(2)如果cn＝(－1)n·an，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解．
跟进训练1 (2024·济南质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n2，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
[解] (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2+n2－n-12+n-12＝n．
当n＝1时也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n．
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn．
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝21-22n1-2＝22n+1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n．
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n+1＋n－2．
考点二 裂项相消法求和
1．裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
2．常见的裂项技巧：(1)1nn+1＝1n－1n+1；
(2)1nn+2＝121n-1n+2；
(3)12n-12n+1＝1212n-1-12n+1；
(4)1n+n+1＝n+1-n．
[典例3] (1)(2024·广州模拟)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1．若bn＝1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝( )
A．3n12n+16 B．n12n+16
C．3n3n+1 D．n3n+1
(2)(2024·长沙联考)已知函数f (x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝1fn+1+fn，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 024＝( )
A．2 024－1 B．2 024＋1
C．2 025－1 D．2 025＋1
(1)B (2)C [(1)bn＝1anan+1＝13n+13n+4＝1313n+1-13n+4，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1314-17+17-110+…+13n+1-13n+4
＝1314-13n+4＝n12n+16．故选B．
(2)由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，
则f (x)＝x12．
所以an＝1fn+1+fn＝1n+1+n＝n+1-n，
S2 024＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝(2-1)＋(3-2)＋(4-3)＋…＋(2 024-2 023)＋(2 025-2 024)＝2 025－1．故选C．]
裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理．
跟进训练2 (2024·山东滕州模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝6，b1＋b22＋b33＋…＋bnn＝an＋1．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列1anbn的前n项和Sn．
[解] (1)由题意得当n＝1时，a2＝b1＝6，
故an＝6＋2(n－2)＝2n＋2，
由于b1＋b22＋b33＋…＋bnn＝an＋1，①
当n≥2时，b1＋b22＋b33＋…＋bn-1n-1＝an，②
①－②得bnn＝an＋1－an＝2，
所以bn＝2n．又b1＝6不满足此式，
所以bn＝6，n=1，2n，n≥2．
(2)当n＝1时，S1＝1a1b1＝14×6＝124．
当n≥2时，1anbn＝12n2n+2＝141n-1n+1，
则Sn＝124＋1412-13+13-14+…+1n-1n+1
＝124＋1412-1n+1
＝2n-112n+1，
当n＝1时满足上式，故Sn＝2n-112n+1．
考点三 错位相减法求和
错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
[典例4] (2023·衡水中学调研)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
[解] (1)设{an}的公比为q，由题意得2a1＝a2＋a3，a1≠0，所以q2＋q－2＝0，因为q≠1，所以q＝－2．
(2)设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n-1，
Sn＝1×1+2×-2+3×-22+…+n-2n-1，①
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)(－2)n-1＋n(－2)n，②
①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n(－2)n＝1--2n1--2－n(－2)n
＝1-1+3n-2n3，
所以Sn＝1-1+3n-2n9．
错位相减法求和时，应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn或qSn－Sn”的表达式．
跟进训练3 (2024·杭州二中月考)已知公比q＞1的等比数列{an}和等差数列{bn}，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b4，且a2是b2和b8的等比中项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn．
[解] (1)设等差数列{bn}的公差为d，由题意得，a22＝b2b8，
即(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，且a2＝b4＝a1q，
解得d=1，q=2或d=0，q=12(舍)，所以an＝2n，bn＝n．
(2)由(1)知，anbn＝n·2n，则
Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n+1，②
②－①得，
Tn＝－21－22－23－…－2n＋n×2n+1＝－21-2n1-2＋n×2n+1＝2＋(n－1)×2n+1．
课后习题(三十四) 数列求和
1．(湘教版选择性必修第一册P43习题1.4T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn+1，则S5＝( )
A．1 B．56
C．16 D．130
B [∵an＝1nn+1＝1n－1n+1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56．]
2．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为( )
A．－200 B．－100
C．200 D．100
D [S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100．]
3．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(1)改编)若数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n+1＋n2－1
C．2n+1＋n2－2 D．2n＋n－2
C [Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝21-2n1-2＋2×nn+12－n
＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n+1＋n2－2．]
4．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)1＋23＋13＋…＋n13n-1＝________．
94－13n-1·3+2n4 [令Sn＝1＋23＋13＋…＋n·13n-1，①
13Sn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，②
由①－②得
23Sn＝1＋13＋132＋…＋13n-1－n·13n
＝1-13n1-13－n·13n
＝32－3213n－n·13n，
∴Sn＝94－9413n－32n·13n
＝94－13n94 +32n
＝94－13n-1·3+2n4．]
5．(2024·合肥模拟)数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( )
A．14 B．512
C．34 D．712
B [bn＝1an＝1n2+3n+2＝1n+1n+2＝1n+1－1n+2，前10项和为12－13＋13－14＋…＋111－112＝12－112＝512．故选B．]
6．(2024·河北邯郸联测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为( )
A．8 B．11
C．13 D．17
D [由题意得，S4＋(Sn－Sn－4)＝4(a1＋an)＝8，所以a1＋an＝2，
又因为Sn＝12(a1＋an)n＝17，所以n＝17．
故选D．]
7．(2024·南昌模拟)如果数列{an}的通项公式为an＝22n-1，则数列an2n+1的前100项和S100＝( )
A．99100 B．199200
C．200201 D．201202
C [因为an＝22n-1，所以an2n+1＝22n-12n+1＝12n-1－12n+1，
所以S100＝1-13＋13-15＋…＋1199-1201＝200201．故选C．]
8．(2024·陕西绥德模拟)12＋24＋38＋…＋n2n＝( )
A．2n-n2n B．2n+1-n-22n
C．2n-n+12n+1 D．2n+1-n+22n
B [设Sn＝12＋24＋38＋…＋n2n，
得12Sn＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋n×12n+1，
两式相减得12Sn＝12＋122＋123＋124＋…＋12n－n×12n+1＝121-12n1-12－n×12n+1
＝1－12n－n×12n+1＝2n+1-n-22n+1，
所以Sn＝2n+1-n-22n．故选B．]
9．(2024·青岛二中月考)数列{an}的通项公式为an＝1n+n+1，若{an}的前n项和为24，则n＝______．
624 [因为an＝1n+n+1＝n+1-n，所以Sn＝(2-1)＋(3-2)＋…＋(n+1-n)＝n+1－1，令Sn＝24，得n＝624．]
10．(2024·山东实验中学模拟)已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且a3＝5，S7＝49．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an＋an，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn≥1 000，求n的取值范围．
[解] (1)由等差数列性质知，S7＝7a4＝49，
则a4＝7，
故公差d＝a4－a3＝7－5＝2，
故an＝a3＋(n－3)d＝2n－1．
(2)由(1)知bn＝22n-1＋2n－1，
Tn＝21＋1＋23＋3＋…＋22n-1＋2n－1
＝21＋23＋…＋22n-1＋(1＋3＋…＋2n－1)
＝21-22n+11-4＋n1+2n-12
＝22n+13＋n2－23．
易知Tn单调递增，
且T5＝707<1 000，T6＝2 766>1 000，
故Tn≥1 000，解得n≥6，n∈N*．
11．(2024·合肥模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝an＋2n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝lg2an，Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn+1，求Tn．
[解] (1)由已知得an＋1－an＝2n，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋2＋22＋…＋2n-1
＝2＋21-2n-11-2＝2n．
又a1＝2也满足上式，故an＝2n．
(2)由(1)可知，bn＝lg2an＝n，
1bnbn+1＝1nn+1＝1n－1n+1，
所以Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn+1
＝1-12＋12-13＋…＋1n-1n+1
＝1－1n+1＝nn+1．
12．(2024·辽宁鞍山模拟)在①Sn＝2n－3n－1；
②an＋1＝2an＋3，a1＝－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
设数列{an}的前n项和为Sn，且________(只需填入序号)．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn＝n·an+3，求数列bn的前n项和Tn．
[解] (1)若选①：由Sn＝2n－3n－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3n－1－[2n-1－3(n－1)－1]＝2n-1－3，
当n＝1时，a1＝S1＝－2满足上式，
所以数列an的通项公式为an＝2n-1－3．
若选②：由an＋1＝2an＋3，可得an＋1＋3＝2(an＋3)，
又由a1＝－2，可得a1＋3＝1，
所以数列{an＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＋3＝2n-1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n-1－3．
(2)由(1)得bn＝n·(an＋3)＝n·2n-1，
可得Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n-1，
则2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
两式相减，可得
－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n＝1-2n1-2－n·2n＝2n(1－n)－1，所以Tn＝2n(n－1)＋1．