（山东专用）2021版高考数学一轮复习第七章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积学案（含解析）

第二讲　空间几何体的表面积与体积

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　柱、锥、台和球的侧面积和体积

知识点二　几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是__各面面积之和__．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是__矩形__、__扇形__、__扇环形__；它们的表面积等于__侧面积__与底面面积之和．

1．长方体的外接球：

球心：体对角线的交点；半径：r＝　　(a，b，c为长方体的长、宽、高)．

2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：

(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝　a　(a为正方体的棱长)；

(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝　　(a为正方体的棱长)；

(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝　a　(a为正方体的棱长)．

3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：

(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝　a　(a为正四面体的棱长)；

(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝　a　(a为正四面体的棱长)．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论正确的是(　ABC　)

A．多面体的表面积等于各个面的面积之和

B．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差

C．已知球O的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则R＝a

D．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS

题组二　走进教材

2．(必修2P27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　B　)

A．1 cm  B．2 cm

C．3 cm  D． cm

[解析]　由条件得：，

∴3r2＝12，∴r＝2．

题组三　考题再现

3．(2019·天津红桥区)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　C　)

A．  B．

C．  D．π

[解析]　　由三视图知，几何体是半径为1，母线长为3的半圆锥，几何体的体积V＝××π×12×＝.故选C．

4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　B　)

A．12π  B．12π

C．8π  D．10π

[解析]　设圆柱底面半径为r，则4r2＝8，即r2＝2.∴S圆柱表面积＝2πr2＋4πr2＝12π．

5．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　．

[解析]　设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r、高为2r，所以＝＝.故填．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　几何体的表面积——自主练透

例1　

(1)(2019·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　C　)

A．2＋ B．4＋

C．2＋2 D．5

(2)(2019·湖南永州一模)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(　C　)

A．6－  B．6－

C．6－  D．6＋

(3)(多选题)(2020·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　AB　)

A．π  B．(1＋)π

C．2π  D．(2＋)π

[解析]　

(1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S△ABC＝×2×2＝2，S△SAC＝××1＝，S△SAB＝××1＝，S△SBC＝×2×＝，所以S表面积＝2＋2.故选C．

(2)由三视图可知几何体是在正方体中挖去一个八分之一球，如图，∴S表面积＝3＋3(1－)＋×4π＝6－.故选C．

(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为π，故选A、B．

名师点拨 ☞

空间几何体表面积的求法

(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，求出几何体的表面积．

〔变式训练1〕

(2019·河南洛阳二模)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(　B　)

A．  B．9π

C．  D．10π

[解析]　由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一的球组合而成．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，所以几何体的表面积为π×12＋2π×1×3＋4π×12×＋π×12＋π×12＝9π.故选B．

考点二　几何体的体积——师生共研

例2　(1)(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　A　)

A．＋1  B．＋3

C．＋1  D．＋3

(2)(2020·河南中原名校质量考评)一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为(　D　)

A．12  B．8

C．6  D．4

[解析]　

(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm，高为3 cm的半个圆锥和三棱锥S－ABC组成的，如图，三棱锥的高为3 cm，底面△ABC中，AB＝2 cm，OC＝1 cm，AB⊥OC．故其体积V＝××π×12×3＋××2×1×3＝(＋1)cm3.故选A．

(2)由三视图可知几何体为三棱锥，如图，故其体积V＝××2×3×4＝4.故选D．

[引申]若将本例(2)中侧视图中虚线去掉，则该几何体的体积为__8__，表面积为　21＋3　．

[解析]　几何体为如图所示的四棱锥，用公式求解即可．

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空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)直接利用公式进行求解．

(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图．再求解．

〔变式训练2〕

(1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　A　)

A．  B．

C．  D．1

(2)(2019·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　B　)

A．8  B．8π

C．16  D．16π

[解析]　 (1)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V＝××1×1×1＝.故选A．

(2)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：×22π×4＝8π.故选B．

考点三　球与几何体的切、接问题——多维探究

角度1　几何体的外接球

例3　(1)(2019·全国)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E、F分别是PA，PB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　D　)

A．8π  B．4π

C．2π  D．π

(2)(2020·广东顺德质检)已知三棱锥P－ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝2，则该三棱锥外接球的表面积为(　D　)

A．  B．20π

C．48π  D．

[解析]　(1)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，

∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，

又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，

∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，

∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，

∴PA＝PB＝PC＝，

∴P－ABC为正方体一部分，2R＝＝，

即R＝，∴V＝πR3＝π×＝π．

(2)如图设△ABC外接圆的圆心为O1，球心为O，则OO1⊥平面ABC，又PA⊥平面ABC，连接AO1并延长交球于H，由∠PAH＝，知O∈PH，∴OO1为Rt△PAH的中位线，∴OO1＝PA＝1，又正△ABC边长为2，∴＝2O1H，∴O1H＝，∴OH＝＝，∴S球＝4π·(OH)2＝，故选D．

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几何体外接球问题的处理

(1)解题关键是确定球心和半径，球心必在过球的截面外接圆的圆心且垂直于该平面的直线上，再根据R2＝h2＋r2求解(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r．

(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．

注意：不共面的四点确定一个球面．

角度2　几何体的内切球

例4　(1)(2019·河北省石家庄市适应性考试)一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为(　B　)

A．8π  B．4(2－)2π

C．4(2＋)2π  D．π

(2)(2019·山东实验中学模拟)在侧棱长为a的正三棱锥O－ABC中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为(　B　)

A．a  B．a

C．a  D．a

[解析]　

(1)作圆锥轴截面——等腰△PAB，则球心在底边的高PH上，又AP＝BP＝2，∠PBH＝，

∴AH＝HB＝HP＝．

设内切球的半径为r，则利用圆锥的轴截面，根据面积法，可得×2×＝×(2＋2＋2)r，解得r＝2－，

所以该圆锥内切球的表面积为

4π×(2－)2＝4(2－)2π，故选B．

(2)当小球与三个侧面OAB，OAC，OBC及底面ABC都相切时，

小球的体积最大，此时小球的半径最大，该小球为正三棱锥O－ABC的内切球，

设其半径为r，球心为P，

∵OA＝OB＝OC＝a，

∴AB＝AC＝BC＝a，

∴VO－ABC＝×a2×a＝a3，

VP－OAB＋VP－OBC＋VP－OAC＋VP－ABC＝×[a2＋a2＋a2＋(a)2]r＝a2r，

由题可知VO－ABC＝VP－OAB＋VP－OBC＋VP－OAC＋VO－ABC，

因此a3＝a2r，∴r＝a＝a，故选B．

[引申]本例(1)中圆锥外接球的体积为　　．

[解析]　圆锥底面圆心即为其外接球的球心，所以外接球的半径为，∴V球＝()3＝．

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几何体内切球问题的处理

(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．

(2)利用体积法求多面体内切球半径．

〔变式训练3〕

(1)(角度1)(2019·广西南宁、玉林、贵港等市联考)某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为(　B　)

A．2π  B．3π

C．4π  D．6π

(2)(角度1)(2019·四川省宜宾市二诊)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，AB＝BC＝CA＝2，PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的体积为(　D　)

A．  B．2

C．  D．

(3)(角度2)(2019·厦门质量检查一)如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，若该棱锥的体积为，则该棱锥的内切球的表面积是(　C　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　(1)几何体的直观图是如图所示的四面体ABCD，四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，外接球的直径2R＝，∴此几何体的外接球表面积为3π，故选B．

(2)如图所示，取BC中点D，连接AD，

则AD＝＝，

设三角形ABC的中心为G，

则AG＝，

又球O得半径为2，则OG＝＝，

则PA＝．

∴三棱锥P－ABC的体积为

V＝××2××＝.故选D．

(3)由正视图和侧视图知，该几何体为正四棱锥，底面是边长为2的正方形．因为该棱锥的体积为，所以该棱锥的高h＝，斜高h′＝2.设该棱锥的内切球的半径为R，则4×××2×2×R＋×22×R＝，解得R＝，所以该棱锥的内切球的表面积S＝4π×()2＝.故选C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

最值问题、开放性问题

例5　(2018·课标全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　B　)

A．12  B．18

C．24  D．54

[解析]　设等边△ABC的边长为a，

则有S△ABC＝a·a·sin 60°＝9，解得a＝6．

设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，解得r＝2，

则球心到平面ABC的距离为＝2，

所以点D到平面ABC的最大距离为2＋4＝6，

所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18，故选B．

例6　若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为　(或等)　　(只需写一个可能值)．

[解析]　如图，若AB＝AC＝BD＝CD＝AD＝2，BC＝1，取AD得中点，则CH＝BH＝，且AH⊥平面BCH，又S△BCH＝，∴VABCD＝S△BCH×2＝．

如图，若AB＝AC＝BD＝CD＝2，AD＝BC＝1，同理可求得VABCD＝．

〔变式训练4〕

(2019·甘肃诊断)四棱锥P－ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P－ABCD的体积最大值为(　D　)

A．  B．

C．  D．

[解析]　设正方形ABCD的中心为O1，当P在O1与球心O的连线上时，四棱锥高最大，由于底面ABCD面积固定，则高最大时，四棱锥体积取得最大值．设高为h，|O1A|＝＝2，球的半径为3，故(h－3)2＋(2)2＝32，解得h＝4.故四棱锥的体积的最大值为×42×4＝.故选D．