高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第五课时空间向量的运算及其应用学案

这是一份高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第五课时空间向量的运算及其应用学案，共16页。

考点一 空间向量的线性运算
空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
[典例1] (2024·临沂一中月考)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，
试用a，b，c表示以下各向量：
(1)AP；(2)A1N；
(3)MP+NC1.
[解] (1)因为P是C1D1的中点，
所以AP＝AA1+A1D1+D1P＝a＋AD+12D1C1＝a＋c＋12AB＝a＋c＋12b.
(2)因为N是BC的中点，
所以A1N＝A1A+AB+BN＝－a＋b＋12BC＝－a＋b＋12AD＝－a＋b＋12c.
(3)因为M是AA1的中点，
所以MP＝MA+AP＝12A1A+AP＝－12a＋a+c+12b＝12a＋12b＋c，
又NC1＝NC+CC1＝12BC+AA1＝12AD+AA1＝12c＋a，
所以MP+NC1＝12a+12b+c+a+12c＝32a＋12b＋32c.
空间向量线性运算的基本步骤：第一步：选定空间不共面的三个向量作基向量；第二步：将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；第三步：利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
跟进训练1 (2024·临川二中月考)如图，三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝( )
A．12(－a＋b＋c) B．12(a＋b－c)
C．12(a－b＋c) D．12(－a－b＋c)
B [NM＝NA+AM＝(OA-ON)＋12AB＝OA-12OC+12(OB-OA)＝12OA+12OB-12OC＝12(a＋b－c)．]
考点二 共线(共面)向量定理的应用
1．共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
提醒：(1)在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
(2)点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PA＝xPB＋yPC，或对空间任一点O，有OA＝OP＋xPB＋yPC或OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)即可．
[典例2] (2024·鹰潭一中月考)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝13(OA+OB+OC)．
(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解] (1)由题意知OA+OB+OC＝3OM，
所以OA-OM＝(OM-OB)＋(OM-OC)，
即MA＝BM+CM＝－MB-MC，
所以MA，MB，MC共面．
(2)由(1)知MA，MB，MC共面且过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，
从而点M在平面ABC内．
证明空间三点共线和四点共面的方法比较
跟进训练2 已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足OM＝15OA+45OB+25BC，则点M________(填“∈”或“∉”)平面ABC.
∈ [∵OM＝15OA+45OB+25BC＝15OA+45OB+25(OC-OB)＝15OA+25OB+25OC，
∵15+25+25＝1，
∴M，A，B，C四点共面．
即点M∈平面ABC.]
考点三 空间向量数量积的应用
1．数量积及相关概念
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉．
2．空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
提醒：(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
3．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
[典例3] (2024·武汉二中模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)EF·BA；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
[解] 设AB＝a，AC＝b，AD＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)EF＝12BD＝12c－12a，
BA＝－a，EF·BA＝12c-12a·(－a)＝12a2－12a·c＝14.
(2)AG＝12(AC+AD)＝12b＋12c，
CE＝CA+AE＝－b＋12a，
cs 〈AG，CE〉＝AG·CEAGCE＝12b+12c·-b+12a12b+12c2·12a-b2＝-1232×32＝－23，
由于异面直线所成角的范围是0，π2，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.
利用数量积解决问题的两条途径：一是根据向量间的相互转化计算；二是利用坐标运算，可解决有关垂直、夹角、长度等问题．
跟进训练3 (2024·淄博一中模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝3，且向量a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标．
[解] (1)由题意可得AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，
所以cs 〈AB，AC〉＝AB·ACABAC＝-2+3+614×14＝714＝12，所以sin 〈AB，AC〉＝32，
所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为
S＝2×12|AB|·|AC|·sin 〈AB，AC〉＝14×32＝73.
(2)设a＝(x，y，z)，由题意得x2+y2+z2=3，-2x-y+3z=0，x-3y+2z=0，
解得x=1，y=1，z=1 或x=-1，y=-1，z=-1，
所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
考点四 利用向量证明平行与垂直
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
2．空间位置关系的向量表示
[典例4] (2024·日照实验中学月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
[证明] 依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．
(1)BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，
故BE·DC＝0，
所以BE⊥DC.
(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，
AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PA，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
所以AB＝(1，0，0)为平面PAD的一个法向量．
而BE·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以BE⊥AB，
又BE⊄平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD的一个法向量为AB＝(1，0，0)，PD＝(0，2，－2)，DC＝(2，0，0)，
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·PD=0，n·DC=0，即2y-2z=0，2x=0，
令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量，
且n·AB＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，
所以n⊥AB，
所以平面PAD⊥平面PCD.
证明平行与垂直，一是直线的方向向量与平面的法向量的求解要准确，二是位置关系与向量关系的转化要准确．
跟进训练4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
[证明] 如图所示，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
于是MN＝12，0，12，DA1＝(1，0，1)，
DB＝(1，1，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·DA1＝0，且n·DB＝0，
得x+z=0，x+y=0.
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
所以n＝(1，－1，－1)为平面A1BD的一个法向量．
又MN·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，
所以MN⊥n.
又MN⊄平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
课后习题(三十九) 空间向量的运算及其应用
1．(人教B版选择性必修第一册P42练习AT1改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对
C [∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，
∴α，β相交但不垂直．]
2．(苏教版选择性必修第二册P16练习T5改编)在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若OG＝13OA+x4OB+x4OC，则使G与M，N共线的x的值为( )
A．1 B．2 C．23 D．43
A [由题意得，ON＝12(OB+OC)，OM＝23OA.
若G与M，N共线，则存在实数λ，使得OG＝λON＋(1－λ)OM＝λ2(OB+OC)＋21-λ3OA.
又OG＝13OA+x4OB+x4OC，
所以21-λ3=13，λ2=x4， 解得λ=12，x=1，故选A.]
3．(人教B版选择性必修第一册P16练习AT3改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝34OA+18OB＋tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
18 [∵P，A，B，C四点共面，∴34+18＋t＝1，
∴t＝18.]
4．(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2T5改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
2 [|EF|2＝EF2＝(EC+CD+DF)2
＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cs 120°＋0＋2×1×cs 120°)＝2，
所以|EF|＝2，所以EF的长为2.]
5．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，则a·(b＋c)＝( )
A．18 B．－18 C．32 D．－32
B [因为b＋c＝(－2，－2，4)，
所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.]
6．(2024·台州模拟)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．75 B．2 C．53 D．1
A [因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
所以a·b＝－1，|a|＝2，|b|＝5，
又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即4k＋k－2－5＝0，所以k＝75.
故选A.]
7．(2024·广州仲元中学月考)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四点共面，
当P，A，B，C四点共面时，x＋y＋z＝1，显然不止x＝2，y＝－3，z＝2这一种情况．
故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．]
8．直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l∥α或l⊂α
D．l与α的位置关系不能判断
B [直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)，
显然它们共线，所以l⊥α.]
9．(多选)(2024·荆州中学月考)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列结论正确的是( )
A．AB与AC是共线向量
B．与AB共线的单位向量是(1，1，0)
C．AB与BC夹角的余弦值是－5511
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
CD [对于A，AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，不存在实数λ，使得AB＝λAC，
所以AB与AC不是共线向量，所以A错误；
对于B，因为AB＝(2，1，0)，所以与AB共线的单位向量为255，55，0或-255，-55，0，所以B错误；
对于C，向量AB＝(2，1，0)，BC＝(－3，1，1)，
所以cs 〈AB，BC〉＝AB·BCABBC＝－5511，所以C正确；
对于D，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
因为AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，
所以n·AB=0，n·AC=0，即2x+y=0， -x+2y+z=0.
令x＝1，得y＝－2，z＝5，则n＝(1，－2，5)为平面ABC的一个法向量，所以D正确．]
10．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________；若a⊥(a－λb)，则λ＝________．
216 2 [∵a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，
∴cs 〈a，b〉＝a·bab＝2+2+314×6＝216.
由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
又a2＝14，a·b＝7，
∴14－7λ＝0，∴λ＝2.]
11．(2024·湛江一中月考)已知点A(－1，1，0)，B(1，2，0)，C(－2，－1，0)，D(3，4，0)，则AB在CD上的投影向量为________．
32，32，0 [由已知得AB＝(2，1，0)，CD＝(5，5，0)，
∴AB·CD＝2×5＋1×5＋0＝15，
又|CD|＝52，
∴AB在CD上的投影向量为
AB·CDCD·CDCD＝1552×CD52＝310CD＝32，32，0.]
12．(2024·合肥模拟)如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：
(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF.
[证明] (1)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
令AB＝AA1＝4，
则A(0，0，0)，E(0，4，2)，
F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)，
C(0，4，0)，D(2，0，2)，
所以DE＝(－2，4，0)，AB＝(4，0，0)，AC＝(0，4，0)，
所以DE＝－12AB+AC，又AB与AC不共线，
所以DE与AB，AC共面，又DE⊄平面ABC，
故DE∥平面ABC.
(2)因为B1F＝(－2，2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2，2，0)．
B1F·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
B1F·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，
所以B1F⊥EF，B1F⊥AF，
即B1F⊥EF，B1F⊥AF.
又因为AF∩EF＝F，AF⊂平面AEF，
EF⊂平面AEF，
所以B1F⊥平面AEF.
空间三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
PA＝λPB且同过点P(λ∈R)
MP＝xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝OA＋tAB(t∈R)
对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB
对空间任一点O，OP＝xOA＋(1－x)OB
对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB
向量表示
坐标表示
数量
积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
a12+a22+a32
夹角
余弦值
cs 〈a，b〉＝a·bab
(a≠0，b≠0)
cs 〈a，b〉＝
a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2，λ∈R
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm，λ∈R
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm，λ∈R
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0