高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第六课时向量法求空间角学案

这是一份高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第六课时向量法求空间角学案，共23页。

异面直线所成的角：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs 〈u，v〉|＝u·vuv．
[典例1] (1)(2024·枣庄模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A．π2 B．π3 C．π4 D．π6
(2)(2024·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在AB上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A．34 B．12 C．14 D．34
(1)B (2)A [(1)由AB＝AC＝2，BC＝2，可得AB⊥AC，故以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
所以D22，22，0，
所以AD＝22，22，0，A1C＝(0，2，－2)，
所以cs 〈AD，A1C〉＝AD·A1CADA1C＝12，
所以〈AD，A1C〉＝π3.故选B.
(2)因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
所以∠BOD＝π3，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆O的半径为2，则A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，23)，D(3，1，0)，
AD＝(3，3，0)，BC＝(0，－2，23)，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cs θ＝|cs 〈AD，BC〉|＝AD·BCADBC＝-623×4＝34，因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为34.]
由于异面直线所成角的取值范围为0，π2，所以，若求得的余弦值为负值，则取其绝对值.
跟进训练1 (2024·大庆模拟)如图，已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1，AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为( )
A．0 B．1010 C．22 D．1
A [如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A1(2，0，2)，G(1，0，0)，E(2，1，0)，F(0，1，1)，
所以A1G＝(－1，0，－2)，EF＝(－2，0，1)，
设异面直线A1G与EF所成的角为θ，
则cs θ＝A1G·EFA1GEF＝-1×-2-2×15×5＝0.]
考点二 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角：如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝u·nun．
[典例2] (2024·广州模拟)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点(如图1)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1-BCDE(如图2)．
(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；
(2)若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：连接BD，如图所示．
因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，
所以△ABD为等边三角形，所以DE⊥AB，
所以在题图2中有DE⊥BE，DE⊥A1E.
因为BE∩A1E＝E，BE，A1E⊂平面A1BE，
所以DE⊥平面A1BE.
因为DE⊂平面BCDE，
所以平面A1BE⊥平面BCDE.
(2)因为平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
A1E⊥BE，A1E⊂平面A1BE，
所以A1E⊥平面BCDE，
以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
所以A1(0，0，1)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，E(0，0，0)，
所以A1D＝(0，3，－1)，A1C＝(2，3，－1)，EC＝(2，3，0)，
设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1D=3y-z=0， n·A1C=2x+3y-z=0，令y＝1，得x＝0，z＝3，
则n＝(0，1，3)为平面A1CD的一个法向量，
所以cs 〈n，EC〉＝n·ECnEC＝327＝2114，
所以直线CE与平面A1CD所成角的正弦值为2114.
【教师备用】
(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，
因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，
又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；
又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，
所以AC⊥平面BED，
因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.
(2)连接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，
所以AC⊥EF，所以S△AFC＝12AC·EF，
当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小．
因为△ABD≌△CBD，所以CB＝AB＝2，
又因为∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形，
因为E为AC的中点，
所以AE＝EC＝1，BE＝3，
因为AD⊥CD，所以DE＝12AC＝1，
在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，
所以BE⊥DE.
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
则A(1，0，0)，B(0，3，0)，D(0，0，1)，
所以AD＝(－1，0，1)，AB＝(－1，3，0)，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AD=-x+z=0， n·AB=-x+3y=0，
取y＝3，则n＝(3，3，3)为平面ABD的一个法向量，
因为EF⊥BD，所以由DFDE＝DEBD，得DF＝12＝14BD，设F(a，b，c)，所以DF＝(a，b，c－1)，DB＝(0，3，－1)，由DF＝14DB，
得(a，b，c－1)＝14(0，3，－1)，
即F0，34，34.
又因为C(－1，0，0)，
所以CF＝1，34，34，
所以cs 〈n，CF〉＝n·CFnCF＝621×74＝437，
设CF与平面ABD所成的角为θ0≤θ≤π2，
所以sin θ＝|cs 〈n，CF〉|＝437，
所以CF与平面ABD所成角的正弦值为4 37.
利用空间向量求线面角的解题步骤
跟进训练2 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，求直线CD与平面BDC1所成角的正弦值.
[解] 设AB＝1，则AA1＝2，分别以D1A1，D1C1，D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2)，
DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，－2)，DC＝(0，1，0)，
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，
则n·DB=0， n·DC1=0，即x+y=0， y-2z=0，
取n＝(－2，2，1)为平面BDC1的一个法向量，
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝n·DCnDC＝23.
所以直线CD与平面BDC1所成角的正弦值为23.
考点三 平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝n1·n2n1n2．
提醒：θ∈0，π2.
[典例3] 如图，△ABC与等边△ABD所在的平面相互垂直，DE∥BC，M为线段AD的中点，直线AE与平面CBM交于点N，BC＝BA＝2DE＝2，∠ABC＝90°.
(1)求证：平面CBMN⊥平面ADE；
(2)求平面CBMN与平面ACN夹角的余弦值．
[解] (1)证明：因为平面ABC⊥平面ABD，且两平面交于AB，∠ABC＝90°，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面ABD，
所以BC⊥AD.
又因为△ABD为等边三角形，M为线段AD的中点，所以BM⊥AD.
因为BC∩BM＝B，BC，BM⊂平面CBMN，
所以AD⊥平面CBMN.
又因为AD⊂平面ADE，所以平面CBMN⊥平面ADE.
(2)因为DE∥BC，DE⊄平面CBMN，且BC⊂平面CBMN，
所以DE∥平面CBMN.
因为平面ADE∩平面CBMN＝MN，
所以DE∥BC∥MN，所以N为AE的中点．
取AB的中点O，连接OD，
因为△ABD为等边三角形，所以OD⊥AB，
所以以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(－1，0，0)，C(1，－2，0)，N-12，-12，32，D(0，0，3)，
所以AC＝(2，－2，0)，AN＝12，-12，32.
设平面ACN的法向量为n1＝(x，y，z)，
由AC·n1=0，AN·n1=0，可得2x-2y=0， 12x-12y+32z=0，
取x＝1，则y＝1，z＝0，
所以平面ACN的一个法向量n1＝(1，1，0)，
由(1)得AD⊥平面CBMN，
所以平面CBMN的一个法向量n2＝AD＝(1，0，3)．
设平面CBMN与平面ACN的夹角为θ.
所以cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝n1·n2n1n2＝12×2＝24，
所以平面CBMN与平面ACN夹角的余弦值为24.
(1)计算时注意那些已知的法向量，可提高解题速度与准确度．
(2)注意平面与平面的夹角的范围是0，π2.
跟进训练3 (2024·湛江一中月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，点E为C1D1的中点，求平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值.
[解] 分别以DA，DC，DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知，
D(0，0，0)，B(1，2，0)，A1(1，0，2)，E(0，1，2)，
则A1E＝(－1，1，0)，A1B＝(0，2，－2)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·A1E=0，n·A1B=0，即-x+y=0，2y-2z=0，
令z＝1，则x＝1，y＝1，得n＝(1，1，1)为平面A1BE的一个法向量．
又平面A1B1B的一个法向量为m＝(1，0，0)，
设平面A1B1B与平面A1BE的夹角为θ，
所以cs θ＝|cs 〈n，m〉|＝n·mnm＝1，1，1·1，0，03×1＝33，
所以平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为33.
课后习题(四十) 向量法求空间角
1．(人教B版选择性必修第一册P37练习AT3改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为( )
A．24 B．12 C．22 D．32
C [因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cs 〈s1，s2〉＝s1·s2s1s2＝-1-22×3＝－22.又两直线夹角的取值范围为0，π2，所以l1和l2夹角的余弦值为22.]
2．(北师大版选择性必修第一册P140T7改编)已知两平面的法向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这两个平面夹角的余弦值为________．
156 [设这两个平面的夹角为θ，则cs θ＝0，-1，3·2，2，41+9×4+4+16＝156.]
3． (人教A版选择性必修第一册P41练习T1改编)如图，二面角α-l-β的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于棱l.已知AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝22，则平面α与平面β的夹角为________．
π3 [设平面α与平面β的夹角为θ，
由CD＝CA+AB+BD可得，
CD2＝CA+AB+BD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝4＋1＋9＋2CA·BDcs 〈CA，BD〉＝14－12cs θ＝(22)2.
所以cs θ＝12，即平面α与平面β的夹角为π3.]
4．(人教B版选择性必修第一册P48练习B T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为________．
36 [由题意，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，
所以DB＝(2，2，0)，DE＝(0，2，1)，AD1＝(－2，0，2)，
设平面BDE的法向量m＝(x，y，z)，则m·DB=0，m·DE=0，
即2x+2y=0，2y+z=0， 令x＝1，得y＝－1，z＝2，则m＝(1，－1，2)为平面BDE的一个法向量．
设直线AD1与平面BDE所成的角为θ，
则sin θ＝|cs 〈AD1，m〉|＝AD1·mAD1m＝28×6＝36.]
5．(2024·山东济宁期末)已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m＝(1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A．33 B．22 C．63 D．32
A [因为平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m＝(1，0，1)，
所以直线l与平面α所成角的正弦值为m·nmn＝1+0+16×2＝33.故选A.]
6．(2024·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A．55 B．53 C．255 D．35
A [不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
∴BC1＝(0，2，－1)，AB1＝(－2，2，1)，
∴cs 〈BC1，AB1〉＝BC1·AB1BC1AB1＝4-15×3＝55＞0.
∴BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55.]
7．(2024·临沂一中模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为( )
A．12 B．23 C．33 D．22
B [以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则A1(0，0，1)，E1，0，12，
D(0，1，0)，
∴A1D＝(0，1，－1)，
A1E＝1，0，-12.
设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，
则有A1D·n1=0，A1E·n1=0，即y-z=0， 1-12z=0，
∴y=2，z=2，∴n1＝(1，2，2)为平面A1ED的一个法向量．
∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
∴cs 〈n1，n2〉＝23×1＝23，
即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为23.]
8．(2024·连云港模拟)如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′＝2，AB＝BC＝5，AC＝2，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线AC′与A′B所成角的余弦值为( )
A.13 B．33 C．26 D．63
C [由题意知：A(1，0，0)，C′(－1，0，2)，A′(1，0，2)，B(0，2，0)，
∴AC'＝(－2，0，2)，A'B＝(－1，2，－2)，
∴|cs 〈AC'，A'B〉|＝AC'·A'BAC'A'B＝222×3＝26，
即异面直线AC′与A′B所成角的余弦值为26.
故选C.]
9．(2024·汕头模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小为________；直线EF与底面ABC所成角的大小为________．
60° 45° [以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，
F(0，0，1)，B(0，0，0)，
则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，
∴EF·BC1＝2，∴cs 〈EF，BC1〉＝22×22＝12，
∴EF和BC1所成的角为60°.
∵FB⊥底面ABC，BF＝BE＝1，
∴∠FEB为直线EF与底面ABC所成的角且为45°.]
10．(2024·泰安模拟)如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝3.
(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；
(2)求平面ABE与平面BEC夹角的余弦值．
[解] (1)证明：如图，
取BC的中点M，AB的中点N，连接DM，MN，EN.
∴MN∥AC，
MN＝12AC，
又DE∥AC，DE＝12AC，
∴DE∥MN，DE＝MN，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴EN∥DM，EN＝DM.
又AC⊥平面BCD，AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵DC＝DB，∴DM⊥BC，
又平面ABC∩平面BCD＝BC，DM⊂平面BCD，
∴DM⊥平面ABC，
∴EN⊥平面ABC，
又EN⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ABC.
(2)由(1)知，AC⊥BC，EN∥DM且EN＝DM，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC，
以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CN，
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，N(1，1，0)，E(1，1，2)，
则CB＝(0，2，0)，CN＝(1，1，0)，CE＝(1，1，2)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·CE=x+y+2z=0， n·CB=2y=0，
取z＝2，则x=-2，y=0，
∴n＝(－2，0，2)为平面BCE的一个法向量，
又AC＝BC，则CN⊥AB，
又平面ABC∩平面ABE＝AB，CN⊂平面ABC，
∴CN⊥平面ABE，则CN＝(1，1，0)为平面ABE的一个法向量，
设平面ABE与平面BEC的夹角为θ，
则cs θ＝|cs 〈n，CN〉|＝n·CNnCN＝-26×2＝33，
∴平面ABE与平面BEC夹角的余弦值为33.
11．(2024·南宁模拟)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值．
[解] 在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.
因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.
如图，以{AE，AD，AA1}为一个正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AD＝2，
AA1＝3，∠BAD＝120°，
则A(0，0，0)，B(3，－1，0)，D(0，2，0)，
E(3，0，0)，A1(0，0，3)，C1(3，1，3)．
(1)A1B＝(3，－1，－3)，AC1＝(3，1，3)．
则cs 〈A1B，AC1〉＝A1B·AC1A1BAC1＝3-1-37×7＝－17.
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.
(2)可知平面A1AD的一个法向量为AE＝(3，0，0)，设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，
又A1B＝(3，－1，－3)，BD＝(－3，3，0)，
则m·A1B=0，m·BD=0，
即3x-y-3z=0，-3x+3y=0.
不妨取x＝3，则y＝3，z＝2.
所以m＝(3，3，2)为平面A1BD的一个法向量，
从而cs 〈AE，m〉＝AE·mAEm＝333×4＝34.
设平面A1BD与平面A1AD的夹角为θ，
则cs θ＝34，
所以sin θ＝1-cs2θ＝74.
因此平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值为74.
12．(2024·台州期末评估)如图，四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PB的中点．
(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值．
[解] (1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AC.
又AB＝2，AD＝CD＝1，AD⊥AB，
所以AC＝BC＝2.
故AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.
又BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，
所以AC⊥平面PBC.
因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.
(2)如图，取AB的中点F，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为PD＝2，
所以CP＝3，
所以C(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，3)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)，
E12，-12，32.
PD＝(0，1，－3)，CA＝(1，1，0)，
CE＝12，-12，32.
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·CA=0，n·CE=0，
即x+y=0， x2-y2+32z=0，
取x＝1，得y＝－1，z＝－233，
即n＝1，-1，-233为平面AEC的一个法向量．
设直线PD与平面AEC所成的角为θ，则
sin θ＝|cs 〈n，PD〉|＝122+43＝3020，
所以直线PD与平面AEC所成角的正弦值为3020.