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北师大版（2024）八年级下册第五章 分式与分式方程4 分式方程同步达标检测题
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这是一份北师大版（2024）八年级下册第五章 分式与分式方程4 分式方程同步达标检测题，共17页。试卷主要包含了销售利润问题，方案问题，行程等内容，欢迎下载使用。
题型一、销售利润问题
例．服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．
①问有几种进货方案？
②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客元，要使①所有方案获利相同，求的值．
【变式训练1】2022年11月19日首届湖南旅游发展大会开幕式在张家界市隆重举行，“山娃娃”和“鲵宝宝”被选为此次活动的吉祥物．某零售商店第一次用1000元购进一批山娃娃挂件若干个，第二次用1800购进鲵宝宝挂件是购进山娃娃挂件数量的，而鲵宝宝挂件的进货单价比山娃娃挂件的进货单价多1元．
(1)求该商店购进的山娃娃和鲵宝宝数量各多少个？
(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，山娃娃挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则鲵宝宝挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
【变式训练2】某公司生产A、B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，共生产设备10台，请解答下列问题：
(1)A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
(2)A、B两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，现公司决定对这10台两种设备优惠出售，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？
【变式训练3】某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，购进A型商品m件，销售利润为w元，请写出w与m的函数关系式，并求该商品能获得的利润最小是多少？
题型二、方案问题
例．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款50000元，乙公司共捐款70000元，已知甲公司人数比乙公司少30人，乙公司的人均捐款是甲公司人均捐款的倍．
(1)求甲、乙两公司各有多少人？
(2)现用所有捐款购买A，B两种防疫物资，已知A种防疫物资每箱7500元，B种防疫物资每箱6000元，若购买A种防疫物资不少于8箱，问有几种购买方案？请设计出来（注：A，B两种防疫物资都要购买，且只能整箱买，所有捐款要恰好用完．）
【变式训练1】某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．
(1)求篮球和足球的进价；
(2)篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元）与购买的篮球的数量（只）之间的函数关系式，并直接写出最大时的进货方案．
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同．
(1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？
(2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共1000袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于6000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，超市有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下、该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠a（）元出售，超市要如何进货才能获得最大利润？
【变式训练3】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案；
(3)在（2）的条件下，若甲种玩具每件的售价为40元，乙种玩具每件的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动，顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从两种玩具任选一件作为赠品，这批玩具全部售出后，共获利280元．直接写出（2）问中商场的进货方案．
题型三、行程、工程问题
例．甲，乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的2倍，两厂各加工300套防护服，甲厂比乙厂少用5天．
(1)求甲乙两厂每天各加工多少套防护服？
(2)已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是120元和90元，疫情期间，某医院急需1800套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过4000元，那么甲厂至少要加工多少天？
【变式训练1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【变式训练3】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数．
【变式训练4】某化工厂要在规定时间内搬运1200吨化工原料．现有，两种机器人可供选择，已知型机器人比型机器人每小时多搬运30吨型，机器人搬运900吨所用的时间与型机器人搬运600吨所用的时间相等．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料．
(2)该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，型机器人又有了新的搬运任务需离开，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．问型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成？
专题10 分式方程应用的三种考法全攻略
题型一、销售利润问题
例．服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．
①问有几种进货方案？
②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客元，要使①所有方案获利相同，求的值．
【答案】(1)400元
(2)①5种；②20
【详解】（1）设销售甲种品牌服装现价每件为元，依题意得
解得：
检验：当时，，所以，原分式方程的解为
答：销售甲种品牌服装现价每件为400元；
（2）①设购甲种品牌服装件，则乙种品种服装件
解得：，
∵为正整数，
∴8，9，10，11，12，共有5种进货方案，
答：共有5种进货方案．
②设总获利为元，
∵要使①中所有方案获利相同，
∴的结果与无关，
∴，
∴．
答：的值为20．
【变式训练1】2022年11月19日首届湖南旅游发展大会开幕式在张家界市隆重举行，“山娃娃”和“鲵宝宝”被选为此次活动的吉祥物．某零售商店第一次用1000元购进一批山娃娃挂件若干个，第二次用1800购进鲵宝宝挂件是购进山娃娃挂件数量的，而鲵宝宝挂件的进货单价比山娃娃挂件的进货单价多1元．
(1)求该商店购进的山娃娃和鲵宝宝数量各多少个？
(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，山娃娃挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则鲵宝宝挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
【答案】(1)商店购进的山娃娃数量为200个，购进的鲵宝宝数量为300个
(2)鲵宝宝挂件要至少售出292个，才能使这两次的总利润不低于2020元
【详解】（1）解：设商店购进的山娃娃数量为个，则商店购进的鲵宝宝数量为个，根据题意，得：
，解得：
经检验，是原分式方程的解，
答：商店购进的山娃娃数量为200个，购进的鲵宝宝数量为300个．
（2）解：设鲵宝宝挂件要售出个，根据题意，得：
，解得：
为正整数，故y的最小值是292，
答：鲵宝宝挂件要至少售出292个，才能使这两次的总利润不低于2020元．
【变式训练2】某公司生产A、B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，共生产设备10台，请解答下列问题：
(1)A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
(2)A、B两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，现公司决定对这10台两种设备优惠出售，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？
【答案】(1)A、B两种设备每台的成本分别是4万元和6万元
(2)该公司共获利为万元
【详解】（1）设A种设备每台成本为x元，则B种设备每台设备成本为元，
根据题意，得 ．
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A、B两种设备每台的成本分别是4万元和6万元．
（2）由（1）可知：A种设备共有4台，B种设备6台，
A种设备获利为：万元，
B种设备获利为：万元，
∴该公司共获利为万元，
答：该公司共获利为万元．
【变式训练3】某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，购进A型商品m件，销售利润为w元，请写出w与m的函数关系式，并求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】(1)一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元；
(2)5500元．
【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元．
由题意：
解得，
经检验是分式方程的解，
∴（元）
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元；
（2）因为购进A型商品m件，销售利润为w元，
，
解得：，
由题意：，
，
w随m的增大而减小，
∴时，（元）
题型二、方案问题
例．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款50000元，乙公司共捐款70000元，已知甲公司人数比乙公司少30人，乙公司的人均捐款是甲公司人均捐款的倍．
(1)求甲、乙两公司各有多少人？
(2)现用所有捐款购买A，B两种防疫物资，已知A种防疫物资每箱7500元，B种防疫物资每箱6000元，若购买A种防疫物资不少于8箱，问有几种购买方案？请设计出来（注：A，B两种防疫物资都要购买，且只能整箱买，所有捐款要恰好用完．）
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)共有两种购买方案，方案1：购买A种物资8箱，B种物资10箱；方案2：购买A种物资12箱，B种物资5箱
【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人，依题意有：
，
解得：（人），
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买A种防疫物资箱，则用去捐款元，剩余捐款用于购买B种防疫物资箱，依题意有：
由②得：，
又为正整数，m为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴共有两种购买方案，方案1：购买A种物资8箱，B种物资10箱．
方案2：购买A种物资12箱，B种物资5箱．
【变式训练1】某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．
(1)求篮球和足球的进价；
(2)篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元）与购买的篮球的数量（只）之间的函数关系式，并直接写出最大时的进货方案．
【答案】(1)篮球进价为60元只，足球的进价为80元只
(2)当时，利润最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只
【详解】（1）设篮球进价为元只，则足球的进价为元只，
由题意可得：，
解得，
经检验是方程的解，
，
答：篮球进价为60元只，足球的进价为80元只；
（2）由题意可得，
，
随的增大而增大，
，
，
又为整数，
的最大值为114，此时，
当时，利润最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只，
答：该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元与购买的篮球的数量（只之间的函数关系式，最大时的进货方案是购买篮球114只，足球2只．
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同．
(1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？
(2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共1000袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于6000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，超市有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下、该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠a（）元出售，超市要如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价分别为8元
(2)该超市有11种进货方案
(3)当，此时超市购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品790袋；当，即时，进货没有限制；当，此时超市购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品800袋．
【详解】（1）解：设甲种袋装食品的进价为x元，乙种袋装食品的进价分别为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价分别为8元；
（2）设购进甲种袋装食品m袋，则购进乙种袋装食品袋，
根据题意得：，
解得：，
∵m是正整数，
∴，
∴该超市有11种进货方案；
（3）设超市的总利润为w元，
则，
∵，，
当即时，w随m的增大而增大，
∴当时，w最大，
此时超市购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品790袋；
当，即时，超市获得的利润一样大；
当，即时，
∴当时，w最大，
此时超市购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品800袋．
【变式训练3】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案；
(3)在（2）的条件下，若甲种玩具每件的售价为40元，乙种玩具每件的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动，顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从两种玩具任选一件作为赠品，这批玩具全部售出后，共获利280元．直接写出（2）问中商场的进货方案．
【答案】(1)每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元；(2)4种
(3)购进甲种玩具22件，乙种玩具26件
【详解】（1）解：设每件甲种玩具的进价是x元，则每件乙种玩具的进价是元，
根据题意可得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元；
（2）解：设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具件，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴或21或22或23，
∴商场共有4种进货方案；
（3）解：设48件玩具“买一赠一”，有a件售价是40元，则有件售价是55元，
∴，
化简整理可得a，
由（2）知或21或22或23，且a为正整数，
∴，此时，
即商场的进货方案是购进甲种玩具22件，乙种玩具26件．
题型三、行程、工程问题
例．甲，乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的2倍，两厂各加工300套防护服，甲厂比乙厂少用5天．
(1)求甲乙两厂每天各加工多少套防护服？
(2)已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是120元和90元，疫情期间，某医院急需1800套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过4000元，那么甲厂至少要加工多少天？
【答案】(1)甲厂每天加工60套防护服，乙厂每天加工30套防护服
(2)24天
【详解】（1）解：设乙厂每天加工套防护服，
依题意有：，
解得：．
检验：当时，，
所以是原方程的根且符合题意，
．
答：甲厂每天加工60套防护服，乙厂每天加工30套防护服．
（2）设甲厂至少要加工天，乙厂加工天，
依题有，
由①得，代入②得，
解之得：，
为整数，
的最小值为24天．
答：甲厂至少要加工24天．
【变式训练1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），
∴，
解得，，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【变式训练3】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数．
【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天
【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为千米，则道路硬化里程数为千米，
依题意，得：，
解得：，
．
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
（2）设乙工程队平均每天施工米，则甲工程队技术改进前每天施工米，技术改进后每天施工点米，
依题意，得：乙工程队施工天数为天，
甲工程队技术改造前施工天数为：天，
技术改造后施工天数为：天．
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
【变式训练4】某化工厂要在规定时间内搬运1200吨化工原料．现有，两种机器人可供选择，已知型机器人比型机器人每小时多搬运30吨型，机器人搬运900吨所用的时间与型机器人搬运600吨所用的时间相等．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料．
(2)该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，型机器人又有了新的搬运任务需离开，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．问型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成？
【答案】（1）型机器人每小时搬运90吨化工原料，型机器人每小时搬运60吨化工原料；（2）A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
【详解】解：（1）设型机器人每小时搬运吨化工原料，则型机器人每小时搬运吨化工原料，
根据题意，得
，解得．
经检验，是所列方程的解．
当时，．
答：型机器人每小时搬运90吨化工原料，型机器人每小时搬运60吨化工原料；
（2）设型机器人工作小时，
根据题意，得，解得．
答: A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
题型一、销售利润问题
例．服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．
①问有几种进货方案？
②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客元，要使①所有方案获利相同，求的值．
【变式训练1】2022年11月19日首届湖南旅游发展大会开幕式在张家界市隆重举行，“山娃娃”和“鲵宝宝”被选为此次活动的吉祥物．某零售商店第一次用1000元购进一批山娃娃挂件若干个，第二次用1800购进鲵宝宝挂件是购进山娃娃挂件数量的，而鲵宝宝挂件的进货单价比山娃娃挂件的进货单价多1元．
(1)求该商店购进的山娃娃和鲵宝宝数量各多少个？
(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，山娃娃挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则鲵宝宝挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
【变式训练2】某公司生产A、B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，共生产设备10台，请解答下列问题：
(1)A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
(2)A、B两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，现公司决定对这10台两种设备优惠出售，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？
【变式训练3】某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，购进A型商品m件，销售利润为w元，请写出w与m的函数关系式，并求该商品能获得的利润最小是多少？
题型二、方案问题
例．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款50000元，乙公司共捐款70000元，已知甲公司人数比乙公司少30人，乙公司的人均捐款是甲公司人均捐款的倍．
(1)求甲、乙两公司各有多少人？
(2)现用所有捐款购买A，B两种防疫物资，已知A种防疫物资每箱7500元，B种防疫物资每箱6000元，若购买A种防疫物资不少于8箱，问有几种购买方案？请设计出来（注：A，B两种防疫物资都要购买，且只能整箱买，所有捐款要恰好用完．）
【变式训练1】某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．
(1)求篮球和足球的进价；
(2)篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元）与购买的篮球的数量（只）之间的函数关系式，并直接写出最大时的进货方案．
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同．
(1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？
(2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共1000袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于6000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，超市有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下、该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠a（）元出售，超市要如何进货才能获得最大利润？
【变式训练3】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案；
(3)在（2）的条件下，若甲种玩具每件的售价为40元，乙种玩具每件的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动，顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从两种玩具任选一件作为赠品，这批玩具全部售出后，共获利280元．直接写出（2）问中商场的进货方案．
题型三、行程、工程问题
例．甲，乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的2倍，两厂各加工300套防护服，甲厂比乙厂少用5天．
(1)求甲乙两厂每天各加工多少套防护服？
(2)已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是120元和90元，疫情期间，某医院急需1800套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过4000元，那么甲厂至少要加工多少天？
【变式训练1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【变式训练3】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数．
【变式训练4】某化工厂要在规定时间内搬运1200吨化工原料．现有，两种机器人可供选择，已知型机器人比型机器人每小时多搬运30吨型，机器人搬运900吨所用的时间与型机器人搬运600吨所用的时间相等．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料．
(2)该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，型机器人又有了新的搬运任务需离开，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．问型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成？
专题10 分式方程应用的三种考法全攻略
题型一、销售利润问题
例．服装店经销甲种品牌的服装，受市场影响，现在每件降价50元销售，如果卖相同件数的服装，原价的销售额为9000元，现价销售额为8000元．
(1)销售甲种品牌服装现价每件为多少元？
(2)服装店决定增加经销乙种品牌的服装，已知甲种品牌服装每件进价为350元，乙种品牌服装每件进价为300元，服装店用不多于6600元且不少于6400元的资金购进这两种品牌的服装共20件．
①问有几种进货方案？
②乙种品牌的服装每件售价为370元，服装店决定每售出1件乙种品牌服装，返还顾客元，要使①所有方案获利相同，求的值．
【答案】(1)400元
(2)①5种；②20
【详解】（1）设销售甲种品牌服装现价每件为元，依题意得
解得：
检验：当时，，所以，原分式方程的解为
答：销售甲种品牌服装现价每件为400元；
（2）①设购甲种品牌服装件，则乙种品种服装件
解得：，
∵为正整数，
∴8，9，10，11，12，共有5种进货方案，
答：共有5种进货方案．
②设总获利为元，
∵要使①中所有方案获利相同，
∴的结果与无关，
∴，
∴．
答：的值为20．
【变式训练1】2022年11月19日首届湖南旅游发展大会开幕式在张家界市隆重举行，“山娃娃”和“鲵宝宝”被选为此次活动的吉祥物．某零售商店第一次用1000元购进一批山娃娃挂件若干个，第二次用1800购进鲵宝宝挂件是购进山娃娃挂件数量的，而鲵宝宝挂件的进货单价比山娃娃挂件的进货单价多1元．
(1)求该商店购进的山娃娃和鲵宝宝数量各多少个？
(2)该商店两种挂件的零售价都是10元/个，山娃娃挂件中有10个因为损坏不能售出，其余都已售出，则鲵宝宝挂件要至少售出多少个，才能使这两次的总利润不低于2020元？
【答案】(1)商店购进的山娃娃数量为200个，购进的鲵宝宝数量为300个
(2)鲵宝宝挂件要至少售出292个，才能使这两次的总利润不低于2020元
【详解】（1）解：设商店购进的山娃娃数量为个，则商店购进的鲵宝宝数量为个，根据题意，得：
，解得：
经检验，是原分式方程的解，
答：商店购进的山娃娃数量为200个，购进的鲵宝宝数量为300个．
（2）解：设鲵宝宝挂件要售出个，根据题意，得：
，解得：
为正整数，故y的最小值是292，
答：鲵宝宝挂件要至少售出292个，才能使这两次的总利润不低于2020元．
【变式训练2】某公司生产A、B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，共生产设备10台，请解答下列问题：
(1)A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？
(2)A、B两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，现公司决定对这10台两种设备优惠出售，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？
【答案】(1)A、B两种设备每台的成本分别是4万元和6万元
(2)该公司共获利为万元
【详解】（1）设A种设备每台成本为x元，则B种设备每台设备成本为元，
根据题意，得 ．
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A、B两种设备每台的成本分别是4万元和6万元．
（2）由（1）可知：A种设备共有4台，B种设备6台，
A种设备获利为：万元，
B种设备获利为：万元，
∴该公司共获利为万元，
答：该公司共获利为万元．
【变式训练3】某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，购进A型商品m件，销售利润为w元，请写出w与m的函数关系式，并求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】(1)一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元；
(2)5500元．
【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元．
由题意：
解得，
经检验是分式方程的解，
∴（元）
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元；
（2）因为购进A型商品m件，销售利润为w元，
，
解得：，
由题意：，
，
w随m的增大而减小，
∴时，（元）
题型二、方案问题
例．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款50000元，乙公司共捐款70000元，已知甲公司人数比乙公司少30人，乙公司的人均捐款是甲公司人均捐款的倍．
(1)求甲、乙两公司各有多少人？
(2)现用所有捐款购买A，B两种防疫物资，已知A种防疫物资每箱7500元，B种防疫物资每箱6000元，若购买A种防疫物资不少于8箱，问有几种购买方案？请设计出来（注：A，B两种防疫物资都要购买，且只能整箱买，所有捐款要恰好用完．）
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)共有两种购买方案，方案1：购买A种物资8箱，B种物资10箱；方案2：购买A种物资12箱，B种物资5箱
【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人，依题意有：
，
解得：（人），
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买A种防疫物资箱，则用去捐款元，剩余捐款用于购买B种防疫物资箱，依题意有：
由②得：，
又为正整数，m为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴共有两种购买方案，方案1：购买A种物资8箱，B种物资10箱．
方案2：购买A种物资12箱，B种物资5箱．
【变式训练1】某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．
(1)求篮球和足球的进价；
(2)篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元）与购买的篮球的数量（只）之间的函数关系式，并直接写出最大时的进货方案．
【答案】(1)篮球进价为60元只，足球的进价为80元只
(2)当时，利润最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只
【详解】（1）设篮球进价为元只，则足球的进价为元只，
由题意可得：，
解得，
经检验是方程的解，
，
答：篮球进价为60元只，足球的进价为80元只；
（2）由题意可得，
，
随的增大而增大，
，
，
又为整数，
的最大值为114，此时，
当时，利润最大，对应的方案是购买篮球114只，足球2只，
答：该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润（元与购买的篮球的数量（只之间的函数关系式，最大时的进货方案是购买篮球114只，足球2只．
【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同．
(1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？
(2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共1000袋的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于6000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，超市有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下、该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠a（）元出售，超市要如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价分别为8元
(2)该超市有11种进货方案
(3)当，此时超市购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品790袋；当，即时，进货没有限制；当，此时超市购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品800袋．
【详解】（1）解：设甲种袋装食品的进价为x元，乙种袋装食品的进价分别为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价分别为8元；
（2）设购进甲种袋装食品m袋，则购进乙种袋装食品袋，
根据题意得：，
解得：，
∵m是正整数，
∴，
∴该超市有11种进货方案；
（3）设超市的总利润为w元，
则，
∵，，
当即时，w随m的增大而增大，
∴当时，w最大，
此时超市购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品790袋；
当，即时，超市获得的利润一样大；
当，即时，
∴当时，w最大，
此时超市购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品800袋．
【变式训练3】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案；
(3)在（2）的条件下，若甲种玩具每件的售价为40元，乙种玩具每件的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动，顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从两种玩具任选一件作为赠品，这批玩具全部售出后，共获利280元．直接写出（2）问中商场的进货方案．
【答案】(1)每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元；(2)4种
(3)购进甲种玩具22件，乙种玩具26件
【详解】（1）解：设每件甲种玩具的进价是x元，则每件乙种玩具的进价是元，
根据题意可得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元；
（2）解：设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具件，
根据题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴或21或22或23，
∴商场共有4种进货方案；
（3）解：设48件玩具“买一赠一”，有a件售价是40元，则有件售价是55元，
∴，
化简整理可得a，
由（2）知或21或22或23，且a为正整数，
∴，此时，
即商场的进货方案是购进甲种玩具22件，乙种玩具26件．
题型三、行程、工程问题
例．甲，乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的2倍，两厂各加工300套防护服，甲厂比乙厂少用5天．
(1)求甲乙两厂每天各加工多少套防护服？
(2)已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是120元和90元，疫情期间，某医院急需1800套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过4000元，那么甲厂至少要加工多少天？
【答案】(1)甲厂每天加工60套防护服，乙厂每天加工30套防护服
(2)24天
【详解】（1）解：设乙厂每天加工套防护服，
依题意有：，
解得：．
检验：当时，，
所以是原方程的根且符合题意，
．
答：甲厂每天加工60套防护服，乙厂每天加工30套防护服．
（2）设甲厂至少要加工天，乙厂加工天，
依题有，
由①得，代入②得，
解之得：，
为整数，
的最小值为24天．
答：甲厂至少要加工24天．
【变式训练1】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
【答案】(1)30
(2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元
(3)70
【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），
∴，
解得，，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．
【变式训练3】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数．
【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天
【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为千米，则道路硬化里程数为千米，
依题意，得：，
解得：，
．
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
（2）设乙工程队平均每天施工米，则甲工程队技术改进前每天施工米，技术改进后每天施工点米，
依题意，得：乙工程队施工天数为天，
甲工程队技术改造前施工天数为：天，
技术改造后施工天数为：天．
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
【变式训练4】某化工厂要在规定时间内搬运1200吨化工原料．现有，两种机器人可供选择，已知型机器人比型机器人每小时多搬运30吨型，机器人搬运900吨所用的时间与型机器人搬运600吨所用的时间相等．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少吨化工原料．
(2)该工厂原计划同时使用这两种机器人搬运，工作一段时间后，型机器人又有了新的搬运任务需离开，但必须保证这批化工原料在11小时内全部搬运完毕．问型机器人至少工作几个小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成？
【答案】（1）型机器人每小时搬运90吨化工原料，型机器人每小时搬运60吨化工原料；（2）A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
【详解】解：（1）设型机器人每小时搬运吨化工原料，则型机器人每小时搬运吨化工原料，
根据题意，得
，解得．
经检验，是所列方程的解．
当时，．
答：型机器人每小时搬运90吨化工原料，型机器人每小时搬运60吨化工原料；
（2）设型机器人工作小时，
根据题意，得，解得．
答: A型机器人至少工作6小时，才能保证这批化工原料在规定的时间内完成．
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