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高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)人教A版(2019)必修第二册全册(原卷版+解析)
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人教A版（2019）必修第二册全册基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（ ）A．2 B． C．1 D．2．FRM(Financial Risk Manager)——金融风险管理师，是全球金融风险管理领域的一种资格认证.某研究机构用随机数法抽取了某市2019年参加FRM考试的名考生的成绩进行分析，先将名考生按，，，，进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个编号是（注:下面为随机数表的第行和第行） （ ）第行：7 8 1 6 6 5 7 2 0 8 0 2 6 3 1 4 0 7 0 2 4 3 6 9 9 7 2 8 0 1 9 8第行：3 2 0 4 9 2 4 3 4 9 3 5 8 2 0 0 3 6 2 3 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1A． B． C． D．3．在中，记，，若，则（ ）A． B． C． D．4．在中，已知，，，则角的度数为（ ）A． B． C．或 D．5．水库是我国防洪广泛采用的工程措施之一.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（ ）A． B． C． D．6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”7．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）A． B． C．3 D．8．设m，n，l分别是三条不同的直线，是平面，则下列结论中正确的是（ ）A．若，，，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B．9号的最高气温与最低气温的差值最大 C．最高气温的众数为D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大10．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）A．， ， B．，，C．，， D．，，12．某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果每次兑奖活动中奖概率都是，且每次中奖互不影响，则两次抽奖中（ ）A．都中奖的概率为 B．都没有中奖的概率为C．恰有一次中奖的概率为 D．至少有一次中奖的概率为三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是______.14．一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．15．的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.16．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知复数，．（为虚数单位）(1)求；(2)若，且复数的虚部等于复数的实部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．18．第32届夏季奥林匹克运动会在2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，中国奥运健儿获得38枚金牌，32枚银牌和18枚铜牌的好成绩，某大学为此举行了与奥运会有关的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计这100名学生测试分数的中位数；(2)若分数在内的频率分别为，且，估计100名学生测试分数的平均数；19．如图，在平行四边形中，，，．(1)若，求的值；(2)若，，求边的长．20．某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．21．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．(1)证明：平面平面PCD．(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．22．如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边长为，另一边长为，大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在，两边上分别找两点，，修建一条的电动自行车道路，需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.(1)若设，，求，满足的关系式；(2)如何选择，可以使得所修道路最短？并求出最小值. 到会人数/人需求量/箱400450500550600到会人数/人天数56874人教A版（2019）必修第二册全册基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（ ）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】先求出，根据的特征求解【详解】由得，所以，故选：A2．FRM(Financial Risk Manager)——金融风险管理师，是全球金融风险管理领域的一种资格认证.某研究机构用随机数法抽取了某市2019年参加FRM考试的名考生的成绩进行分析，先将名考生按，，，，进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个编号是（注:下面为随机数表的第行和第行） （ ）第行：7 8 1 6 6 5 7 2 0 8 0 2 6 3 1 4 0 7 0 2 4 3 6 9 9 7 2 8 0 1 9 8第行：3 2 0 4 9 2 4 3 4 9 3 5 8 2 0 0 3 6 2 3 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1A． B． C． D．【答案】B【分析】理解题意，根据题意从随机数表第行第列的数开始向右读，逐个数，选出第个编号即可.【详解】由随机数表的读法可得,所读的数(大于50的跳过,重复的不选取)依次为16,08,02,14,07,43,28,01,32,04,49,35,…,所以选出的第12个编号是35.故选：B.3．在中，记，，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的运算，用表示出即可.【详解】因为在中，若，所以点为中点，所以.故选：D4．在中，已知，，，则角的度数为（ ）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数.【详解】由，得，于是，由正弦定理得，∴，故选：B.5．水库是我国防洪广泛采用的工程措施之一.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由台体体积公式可得答案.【详解】，，根据题意，由台体体积公式可知，增加的水量约为.故选：C.6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】D【分析】根据互斥事件和独立事件的概念，结合试验条件逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以B不符合题意；对于C中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选：D.7．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以，又且与垂直，所以，解得.故选：A8．设m，n，l分别是三条不同的直线，是平面，则下列结论中正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【分析】利用直线与直线、直线与平面的位置关系即可判断．【详解】A选项，时，直线m可能不垂直于平面，A错误；B选项，当m，n异面时，也存在平面，使得，，，B错误；C选项，由线面垂直的性质可知，当，时，必有，C正确；D选项，当时，显然也可以有m，n异面，，，D错误．故选：C．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B．9号的最高气温与最低气温的差值最大C．最高气温的众数为D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大【答案】AC【分析】根据最低气温以及最高气温的折线图，结合选项即可逐一求解.【详解】由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知：最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确，由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误，最高气温出现了两次，其他数据出现为1次，故是最高气温的众数，故C正确，5号到15号的最低气温的极差小于，5号到15号的最高气温的极差约等于，故D错误，故选：AC10．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．【答案】AD【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.【详解】因为，A正确；复数的虚部为，B不正确；若，则，，C不正确；设，所以，，D正确.故选：AD.11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）A．， ， B．，，C．，， D．，，【答案】AB【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.【详解】A选项，，，所以有两个解，A选项正确.B选项，为锐角，，，，所以有两个解，B选项正确.C选项，由余弦定理得，所以有唯一解.D选项，，，所以有唯一解.故选：AB12．某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果每次兑奖活动中奖概率都是，且每次中奖互不影响，则两次抽奖中（ ）A．都中奖的概率为 B．都没有中奖的概率为C．恰有一次中奖的概率为 D．至少有一次中奖的概率为【答案】CD【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式计算可得.【详解】因为每次中奖互不影响，即相互独立，每次中奖的概率为，则不中奖的概率为，则两次抽奖中，都中奖的概率为，故A错误；两次抽奖中，都没有中奖的概率为，故B错误；两次抽奖中，恰有一次中奖的概率为，故C正确；两次抽奖中，至少有一次中奖的概率为，故D正确；故选：CD三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是______.【答案】【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.【详解】由题意可知等腰梯形的高,由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为，的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为故答案为：14．一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．【答案】6【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这个数据从小到大排列为、、、、、、、、、，又，所以这组数据的分位数是第个数.故答案为：15．的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.【答案】/【分析】根据题意，由余弦定理求出c，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，即，解得.所以.故答案为：.16．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.【答案】【分析】根据题意，结合互斥事件和独立事件的概率公式，即可求解.【详解】因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率为：.故答案为：.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知复数，．（为虚数单位）(1)求；(2)若，且复数的虚部等于复数的实部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的乘法求；（2）求出复数，进而设，结合已知求参数，即可得复数.【详解】（1）复数，，则；（2）由题设，，复数的虚部等于复数的实部，所以，可设，又，，解得或，复数在复平面内对应的点位于第三象限，，即，故．18．第32届夏季奥林匹克运动会在2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，中国奥运健儿获得38枚金牌，32枚银牌和18枚铜牌的好成绩，某大学为此举行了与奥运会有关的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计这100名学生测试分数的中位数；(2)若分数在内的频率分别为，且，估计100名学生测试分数的平均数；【答案】(1)82.5(2)79.5【分析】（1）根据频率分布直方图估计数据的中位数；（2）根据分数在内的频率分别为，按照频率分布直方图估计平均数即可.【详解】（1）设这100名学生测试分数的中位数为，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得，所以，解得.故这100名学生测试分数的中位数约为分.（2）因为，且，所以这100名学生测试分数的平均数为.故100名学生测试分数的平均数约为分.19．如图，在平行四边形中，，，．(1)若，求的值；(2)若，，求边的长．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解；（2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.【详解】（1）在平行四边形中，，,所以，又，，，.（2）设长为，，，或（舍去），即.20．某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．【答案】(1)(2)Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000；【分析】（1）根据表格求出商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数，从而求出相应的概率；（2）根据到会人数位于的区间，求出Y的所有可能取值，并求出Y不超过15000元的概率.【详解】（1）由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为，所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为．（2）当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若到会人数位于区间内，则元，若到会人数位于区间内，则元，若到会人数位于区间内，则元，若到会人数超过11000，则元，即Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000Y不超过15000元，意味着到会人数不超过10000，到会人数不超过10000的频率为，所以Y不超过15000元的概率的估计值为．21．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．(1)证明：平面平面PCD．(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由，，证得平面PAD，则有平面平面PCD．（2）由已知数据结合棱锥体积公式计算.【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．因为，平面PAD，所以平面PAD．因为平面PCD，所以平面平面PCD．（2）因为，，所以，因为直角梯形ABCE的面积．所以．22．如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边长为，另一边长为，大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在，两边上分别找两点，，修建一条的电动自行车道路，需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.(1)若设，，求，满足的关系式；(2)如何选择，可以使得所修道路最短？并求出最小值.【答案】(1)(2)取时，最短为【分析】（1）先求出，然后用及三角形的面积公式表示出，然后列方程求解；（2）列出余弦定理方程，结合（1）中的结论与基本不等式求解.【详解】（1）可知，，根据，所以：，（2）可知：，所以取时，最短为. 到会人数/人需求量/箱400450500550600到会人数/人天数56874
人教A版（2019）必修第二册全册基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（ ）A．2 B． C．1 D．2．FRM(Financial Risk Manager)——金融风险管理师，是全球金融风险管理领域的一种资格认证.某研究机构用随机数法抽取了某市2019年参加FRM考试的名考生的成绩进行分析，先将名考生按，，，，进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个编号是（注:下面为随机数表的第行和第行） （ ）第行：7 8 1 6 6 5 7 2 0 8 0 2 6 3 1 4 0 7 0 2 4 3 6 9 9 7 2 8 0 1 9 8第行：3 2 0 4 9 2 4 3 4 9 3 5 8 2 0 0 3 6 2 3 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1A． B． C． D．3．在中，记，，若，则（ ）A． B． C． D．4．在中，已知，，，则角的度数为（ ）A． B． C．或 D．5．水库是我国防洪广泛采用的工程措施之一.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（ ）A． B． C． D．6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”7．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）A． B． C．3 D．8．设m，n，l分别是三条不同的直线，是平面，则下列结论中正确的是（ ）A．若，，，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B．9号的最高气温与最低气温的差值最大 C．最高气温的众数为D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大10．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）A．， ， B．，，C．，， D．，，12．某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果每次兑奖活动中奖概率都是，且每次中奖互不影响，则两次抽奖中（ ）A．都中奖的概率为 B．都没有中奖的概率为C．恰有一次中奖的概率为 D．至少有一次中奖的概率为三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是______.14．一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．15．的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.16．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知复数，．（为虚数单位）(1)求；(2)若，且复数的虚部等于复数的实部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．18．第32届夏季奥林匹克运动会在2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，中国奥运健儿获得38枚金牌，32枚银牌和18枚铜牌的好成绩，某大学为此举行了与奥运会有关的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计这100名学生测试分数的中位数；(2)若分数在内的频率分别为，且，估计100名学生测试分数的平均数；19．如图，在平行四边形中，，，．(1)若，求的值；(2)若，，求边的长．20．某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．21．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．(1)证明：平面平面PCD．(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．22．如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边长为，另一边长为，大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在，两边上分别找两点，，修建一条的电动自行车道路，需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.(1)若设，，求，满足的关系式；(2)如何选择，可以使得所修道路最短？并求出最小值. 到会人数/人需求量/箱400450500550600到会人数/人天数56874人教A版（2019）必修第二册全册基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（ ）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】先求出，根据的特征求解【详解】由得，所以，故选：A2．FRM(Financial Risk Manager)——金融风险管理师，是全球金融风险管理领域的一种资格认证.某研究机构用随机数法抽取了某市2019年参加FRM考试的名考生的成绩进行分析，先将名考生按，，，，进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个编号是（注:下面为随机数表的第行和第行） （ ）第行：7 8 1 6 6 5 7 2 0 8 0 2 6 3 1 4 0 7 0 2 4 3 6 9 9 7 2 8 0 1 9 8第行：3 2 0 4 9 2 4 3 4 9 3 5 8 2 0 0 3 6 2 3 4 8 6 9 6 9 3 8 7 4 8 1A． B． C． D．【答案】B【分析】理解题意，根据题意从随机数表第行第列的数开始向右读，逐个数，选出第个编号即可.【详解】由随机数表的读法可得,所读的数(大于50的跳过,重复的不选取)依次为16,08,02,14,07,43,28,01,32,04,49,35,…,所以选出的第12个编号是35.故选：B.3．在中，记，，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的运算，用表示出即可.【详解】因为在中，若，所以点为中点，所以.故选：D4．在中，已知，，，则角的度数为（ ）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数.【详解】由，得，于是，由正弦定理得，∴，故选：B.5．水库是我国防洪广泛采用的工程措施之一.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由台体体积公式可得答案.【详解】，，根据题意，由台体体积公式可知，增加的水量约为.故选：C.6．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】D【分析】根据互斥事件和独立事件的概念，结合试验条件逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以B不符合题意；对于C中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选：D.7．已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（ ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以，又且与垂直，所以，解得.故选：A8．设m，n，l分别是三条不同的直线，是平面，则下列结论中正确的是（ ）A．若，，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【分析】利用直线与直线、直线与平面的位置关系即可判断．【详解】A选项，时，直线m可能不垂直于平面，A错误；B选项，当m，n异面时，也存在平面，使得，，，B错误；C选项，由线面垂直的性质可知，当，时，必有，C正确；D选项，当时，显然也可以有m，n异面，，，D错误．故选：C．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据（单位：）绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）A．5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B．9号的最高气温与最低气温的差值最大C．最高气温的众数为D．5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大【答案】AC【分析】根据最低气温以及最高气温的折线图，结合选项即可逐一求解.【详解】由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知：最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关，故A正确，由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误，最高气温出现了两次，其他数据出现为1次，故是最高气温的众数，故C正确，5号到15号的最低气温的极差小于，5号到15号的最高气温的极差约等于，故D错误，故选：AC10．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．【答案】AD【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.【详解】因为，A正确；复数的虚部为，B不正确；若，则，，C不正确；设，所以，，D正确.故选：AD.11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）A．， ， B．，，C．，， D．，，【答案】AB【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.【详解】A选项，，，所以有两个解，A选项正确.B选项，为锐角，，，，所以有两个解，B选项正确.C选项，由余弦定理得，所以有唯一解.D选项，，，所以有唯一解.故选：AB12．某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果每次兑奖活动中奖概率都是，且每次中奖互不影响，则两次抽奖中（ ）A．都中奖的概率为 B．都没有中奖的概率为C．恰有一次中奖的概率为 D．至少有一次中奖的概率为【答案】CD【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式计算可得.【详解】因为每次中奖互不影响，即相互独立，每次中奖的概率为，则不中奖的概率为，则两次抽奖中，都中奖的概率为，故A错误；两次抽奖中，都没有中奖的概率为，故B错误；两次抽奖中，恰有一次中奖的概率为，故C正确；两次抽奖中，至少有一次中奖的概率为，故D正确；故选：CD三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是______.【答案】【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.【详解】由题意可知等腰梯形的高,由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为，的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为故答案为：14．一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．【答案】6【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这个数据从小到大排列为、、、、、、、、、，又，所以这组数据的分位数是第个数.故答案为：15．的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.【答案】/【分析】根据题意，由余弦定理求出c，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，即，解得.所以.故答案为：.16．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________.【答案】【分析】根据题意，结合互斥事件和独立事件的概率公式，即可求解.【详解】因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率为：.故答案为：.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知复数，．（为虚数单位）(1)求；(2)若，且复数的虚部等于复数的实部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的乘法求；（2）求出复数，进而设，结合已知求参数，即可得复数.【详解】（1）复数，，则；（2）由题设，，复数的虚部等于复数的实部，所以，可设，又，，解得或，复数在复平面内对应的点位于第三象限，，即，故．18．第32届夏季奥林匹克运动会在2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，中国奥运健儿获得38枚金牌，32枚银牌和18枚铜牌的好成绩，某大学为此举行了与奥运会有关的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计这100名学生测试分数的中位数；(2)若分数在内的频率分别为，且，估计100名学生测试分数的平均数；【答案】(1)82.5(2)79.5【分析】（1）根据频率分布直方图估计数据的中位数；（2）根据分数在内的频率分别为，按照频率分布直方图估计平均数即可.【详解】（1）设这100名学生测试分数的中位数为，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得，所以，解得.故这100名学生测试分数的中位数约为分.（2）因为，且，所以这100名学生测试分数的平均数为.故100名学生测试分数的平均数约为分.19．如图，在平行四边形中，，，．(1)若，求的值；(2)若，，求边的长．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解；（2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.【详解】（1）在平行四边形中，，,所以，又，，，.（2）设长为，，，或（舍去），即.20．某地要举办一年一度为期一个月（30天）的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．(1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；(2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y（单位：元），当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15000元的概率．【答案】(1)(2)Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000；【分析】（1）根据表格求出商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数，从而求出相应的概率；（2）根据到会人数位于的区间，求出Y的所有可能取值，并求出Y不超过15000元的概率.【详解】（1）由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为，所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为．（2）当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，若到会人数位于区间内，则元，若到会人数位于区间内，则元，若到会人数位于区间内，则元，若到会人数超过11000，则元，即Y的所有可能值为11500，15000，18500，22000Y不超过15000元，意味着到会人数不超过10000，到会人数不超过10000的频率为，所以Y不超过15000元的概率的估计值为．21．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．(1)证明：平面平面PCD．(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由，，证得平面PAD，则有平面平面PCD．（2）由已知数据结合棱锥体积公式计算.【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．因为，平面PAD，所以平面PAD．因为平面PCD，所以平面平面PCD．（2）因为，，所以，因为直角梯形ABCE的面积．所以．22．如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边长为，另一边长为，大小为60°，为方便人们通行，政府部门欲在，两边上分别找两点，，修建一条的电动自行车道路，需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.(1)若设，，求，满足的关系式；(2)如何选择，可以使得所修道路最短？并求出最小值.【答案】(1)(2)取时，最短为【分析】（1）先求出，然后用及三角形的面积公式表示出，然后列方程求解；（2）列出余弦定理方程，结合（1）中的结论与基本不等式求解.【详解】（1）可知，，根据，所以：，（2）可知：，所以取时，最短为. 到会人数/人需求量/箱400450500550600到会人数/人天数56874
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