海南省文昌中学、海南侨中美丽沙分校2024届九年级下学期月考数学试卷(含答案)

这是一份海南省文昌中学、海南侨中美丽沙分校2024届九年级下学期月考数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1．如果向东走10m记作＋10m，那么向西走8m记作
A．－8m B．＋8m C．－10m D．＋10m
2．若代数式x＋2的值为－1，则x等于
A
B
C
D
正面
图1
A．1 B．－1 C．3 D．－3
3．如图1是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图为
4．据报道，2024年海南省中考报名人数为135931人，数据135931用科学记数法表示为1.35931×10n，则n的值为
A．4 B．5 C．6 D．7
5．下列计算中，正确的是
A．a3＋a5＝a8 B．a3·a5＝a15 C．(a3)5＝a15 D．(3a)5＝15a5
6．菲尔兹奖（Fields Medal）是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，每次授予2至4名有卓越贡献的数学家．以下数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：
32，35，29，33，40，35，则这组数据的众数、中位数分别是
A．35，31 B．35，34 C．33，31 D．32，34
7．方程 eq \F(2,x)＝eq \F(1,x－1)的解为
A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝1 D．x＝2
8. 把不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1≥3，,－2x－6>－4))中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是
A． B．
C． D．
9．如图2，将“笑脸”图标向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，点P的对应点P′的坐标是
A. (－1，2) B. (－1，6) C. (－9，2) D. (－9，6)
图2
图3
A
B
C
D
E
图4
C
A
B
D
E
F
10．如图3，依据尺规作图痕迹，若∠ADE＝64°，∠BAC＝50°，则∠ACB的度数为
A．50° B．60° C．66° D．80°
11．某种药品原售价为144元/盒，连续两次降价后售价为81元/盒．假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率x．则下列方程正确的是
A．144(1+x)2＝81B．144(1－x)2＝81
C．81(1+x)2＝144D．144(1－x2)＝81
12．如图4，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，
△DEF的周长为3eq \R(, 6 )，则AD的长为
A．eq \R(, 6 ) B．2eq \R(,3 ) C．eq \R(,3 )＋1 D．2eq \R(,3 )－1
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13．因式分解：x2-4x＝_________________．
14．若点A(2，y1)，B(3，y2)在反比例函数y＝－eq \f(2,x)的图象上，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
15．如图5，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE ＝2，∠ABC ＝22.5°，则OF＝_________．
图5
B
A
C
O
F
D
E
l
图6

16．如图6，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝eq \R(,7 )，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，AB′＝_________，线段CB′的最小值为_________．
三、解答题（本大题满分72分）
17．（满分12分）
（1）计算：23÷|－8|＋eq \R(, 9 )－18×3－2； （2）化简：(x＋1)(x－1)＋(2x－1)2－x(5x－1)．
18.（满分10分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是： QUOTE 5头牛、 QUOTE 2只羊共19 QUOTE 两银子；2 QUOTE 头牛、3 QUOTE 只羊共12 QUOTE 两银子，求每头牛、每只羊各多少两银子？
19.（满分10分）北京时间2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道，由此开启世界首次月背“挖宝”之旅．为庆祝嫦娥六号发射成功，某学校开展了航天知识竞赛活动，并从中随机抽查了部分参赛学生的成绩，绘制了如下不完整的统计图：
D
20%
A
n%
B
m%
C
40%
A 60≤x＜70
B 70≤x＜80
C 80≤x＜90
D 90≤x≤100
竞赛成绩扇形统计图
60
70
80
90
100
分数/分
0
3
6
9
12
频数/人
3
12
6
竞赛成绩频数分布直方图
请根据图表信息解答下列问题：
（1）抽查的学生人数为________人；
（2）在扇形统计图中，m＝________，C组所在的扇形圆心角的度数为________°；
（3）若该校共有300名学生，请估计该校参加航天知识竞赛成绩不低于80分的学生人数有________人；
（4）D组中有2名男生与2名女生获得满分，若从满分学生中随机抽取两人成绩查看，则恰好抽中一名男生与一名女生的成绩的概率为__________．
图7
北
北
C
A
B
D
15°
45°
E
20．（满分10分）如图7，沿海城市A测得台风中心在东南方向300km的C处，该台风中心始终以50km/h的速度沿北偏西15°的方向移动．
（1）填空：AC＝______km，∠ACE＝______°；
（2）当台风中心移动到A市正东方向的B处时，求A、B之间的
距离？（结果保留根号）
（3）距台风中心250km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，
求A市受台风影响的时长？
21. （满分15分）如图8，已知四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，点G在线段BC上，点A，B，E在同一直线上，且AB＝5，BE＝1，连接AG，CE，延长AG交CE于点H．
（1）求证：①△ABG≌△CBE； ②AH⊥CE；
（2）求eq \F(CH,EH)的值；
（3）若将正方形BEFG绕点B逆时针旋转一周，则当D、F、E三点在同一直线上时，求CE的长．
图8
A
B
C
D
G
F
E
H
备用图
A
B
C
D
备用图
A
B
C
D
22．（满分15分）如图，抛物线y ＝ax2＋6x＋c与x轴交于A、B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，－5) ，点P(t，s)是抛物线上的一动点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图9-1，当点P(t，s)在直线BC上方时，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E．
①求△PBC面积的最大值；
②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图9-2，点D是抛物线的顶点，过点D作DQ⊥DP交抛物线于点Q，过点D作DH⊥PQ于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值．
图9-1
A
C
x
E
P
B
O
y
图9-2
A
C
x
B
O
y
D
P
Q
H
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13． 14．＜ 15．416．2；eq \R(, 11 )－2.
三、解答题（本大题满分72分）
17．解：（1） 23÷|－8|＋eq \R(, 9 )－18×3－2
＝ 8÷8＋3－18×eq \F(1,9)（4分）
＝ 1＋3－2（5分）
＝2（6分）
（2） (x＋1)(x－1)＋(2x－1)2－x(5x－1)
＝（4分）
＝（5分）
＝（6分）
18．解：设每头牛的价格为x两银子，每头羊的价格为y两银子，（1分）
由题意得 QUOTE （7分）
解得： QUOTE （9分）
答：每头牛的价格为3两银子，每头羊的价格为2两银子．（10分）
19．解：（1）30；（2分）
（2）30；144；（6分）
（3）180；（8分）
（4）eq \F(2,3)（10分）
20．解：（1） 300；30；（4分）
（2）如答图7，过B作BH⊥AC于H，
由题可得∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，AC＝300km
∵在Rt△AHB中，∠BAC＝45°，
∴设AH＝BH＝x km，∴AB＝eq \R(, 2 )x km，
∵在Rt△BHC中，∠ACB＝30°，
∴CH＝eq \R(, 3 )BH＝eq \R(, 3 )x km，
∴x＋eq \R(, 3 )x＝300
答图7
北
北
C
A
B
D
15°
45°
E
H
M
N
K
解得x＝150eq \R(, 3 )－150，
∴AB＝eq \R(, 2 )x＝(150eq \R(, 6 )－150eq \R(, 2 )) km，
答：A、B之间的距离为(150eq \R(, 6 )－150eq \R(, 2 )) km．（7分）
（3）如答图7，过A作AK⊥CE于K，
∵在Rt△AKC中，∠ACK＝30°，
∴AK＝eq \F(1,2)AC＝150 km，
不妨设台风中心移动到点M处时，城市A开始受影响；
移动到点N处时，城市A正好结束影响，即AM＝AN＝250 km.
∵AK⊥MN于K，
∴MK＝NK，
在Rt△AKM中，MK＝eq \R(,AM2－AK2)＝eq \R(,2502－1502)＝200 km，
∴MN＝400 km，
∴400÷50=8（h）
答：A市受台风影响的时长为8h．（10分）
（注：用其它方法解答，参照以上标准给分）
21．（1）①证明：
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
∴AB＝CB，GB＝EB，∠ABG＝∠CBE＝90°，
∴△ABG≌△CBE；（3分）
（1）②证明：
∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG＝∠BCE，（4分）
∵在△ABG和△CHG中，
∠BAG＝∠BCE，∠AGB＝∠CGH，
∴∠CHG＝∠ABG＝90°，
∴AH⊥CE；（5分）
（2）解：在Rt△ABG中，AG＝eq \R(,AB2+BG2)＝eq \R(,52+12)＝eq \R(, 26)，
在△ABG和△CHG中，
∵∠BAG＝∠BCE，∠AGB＝∠CGH，
∴△ABG∽△CHG，
∴eq \F(CH,AB)＝eq \F(CG,AG)，即eq \F(CH,5)＝eq \F(4,eq \R(, 26))，
∴CH＝eq \F(10,13)eq \R(, 26)，（7分）
在△ABG和△AHE中，
∵∠BAG＝∠HAE，∠ABG＝∠AHE＝90°，
∴△ABG∽△AHE，
∴eq \F(EH,BG)＝eq \F(AE,AG)，即eq \F(EH,1)＝eq \F(6,eq \R(, 26))，
∴EH＝eq \F(3,13)eq \R(, 26)，
∴eq \F(CH,EH)＝eq \F(10,3)；（9分）
（3）解：分两种情况讨论：
(i)如答图8-1，当点F在线段DE上时，记DE交BC于M，延长DC、BE交于N，
在△DCM和△BCN中，
eq \b\lc\{(\a\al(∠CDM＝∠CBN，, CD＝CB，, ∠DCM＝∠BCN．))
答图8-1
∴△DCM≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN，
设BM＝x，则CM＝CN＝5－x，
∴BN＝eq \R(,BC2+CN2)＝eq \R(,52+(5－x)2)，
∵cs∠MBE＝eq \F(BE,BM)＝eq \F(BC,BN)，
∴eq \F(1,x)＝eq \F(5, eq \R(,52+(5－x)2))，
解得x＝eq \F(5,4)（舍去负值），
∴ME＝eq \R(,BM2－BE2)＝eq \F(3,4)，
连接BD，则BD＝5eq \R(, 2 )，
∵∠DCB＝∠DEB＝90°，
∴点B、D、C、E共圆，
∴∠BDM＝∠ECM，
又∵∠BMD＝∠CME，
∴△BDM∽△ECM，
∴eq \F(BD,CE)＝eq \F(BM,EM)，
即eq \F(5eq \R(, 2 ), CE)＝eq \F(eq \F(5,4),eq \F(3,4))，
解得CE＝3eq \R(, 2 )；（12分）
答图8-2
(ii) 如答图8-2，当点E在线段DF上时，连接BD，BF，
∴DF＝EF+ED＝1+eq \R(,BD2－BE2)＝8，
∵∠DCB+∠DEB＝180°，
∴点D、E、B、C共圆，
∴∠BDE＝∠BCE，
又∵∠DBF＝∠DBE +∠FBE＝∠DBE +∠DBC＝∠ABE，
∴△DBF∽△CBE，
∴eq \F(DF,CE)＝eq \F(DB,CB)，
即eq \F(8, CE)＝eq \F(5eq \R(, 2 ), 5)，
解得CE＝4eq \R(, 2 )，（15分）
综上所述，CE的长为3eq \R(, 2 )或4eq \R(, 2 )．
（注：用其它方法解答，参照以上标准给分）
22．解：（1）∵抛物线y＝ ax2+6x +c经过点B(5，0)，C(0，－5），
∴（2分）
解得 （3分）
∴该抛物线的函数解析式为y＝－x2+6x－5.（4分）
（2）设P(t，－t2+6t－5)，0＜t＜5.
则E(t，t－5)，
① ∵点B(5，0)，C(0，－5），
∴直线BC的解析式为y＝x－5.
∴PE＝yP－yE ＝－t2+5t
∴S△PBC＝eq \F(1,2)PE·OB＝eq \F(1,2)×5×(－t2+5t) ＝－eq \F(5,2)(t－eq \F(5,2))2+eq \F(75,8)
∴当t＝eq \F(5,2)时，Smax＝eq \F(75,8)（8分）
②∵抛物线y＝－x2+6x－5与x轴交于A、B(5，0)两点
∴A (1，0)，
∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PE∥OC，
∴∠PEB＝∠OCB＝45°.
以下分三种情况讨论：
（i）如答图9-1，当四边形BPME为菱形时，此时BP＝BE，
又∵BA⊥PE，
∴BA垂直平分PE，
∴点P与点E关于x轴对称
∴yP+yE ＝0，即－t2+6t－5+t－5＝0
解得t1＝2，t2＝5(舍去) ，
∴P (2，3)，E (2，－3)，
∴M1 (－1，0) . （10分）
（ii）如答图9-2，当四边形PEMB为菱形时，此时PE＝PB，
∴∠PBE＝∠PEB＝45°＝∠OBC.
∴点P与点A重合
∴P (1，0)，E (1，－4)，
∴M2 (5，－4) . （12分）
（iii）如答图9-3，当四边形EBMP为菱形时，此时EB＝EP，
∵E(t，t－5)，B(5，0)，
∴EB＝eq \R(, 2 )(5－t)
∴－t2+5t＝eq \R(, 2 )(5－t)，
解得t1＝eq \R(, 2 )，t2＝5(舍去) ，
∴P (eq \R(, 2 )，－7+6eq \R(, 2 ))，E (eq \R(, 2 )，eq \R(, 2 )－5)，
∴M3 (5，－2+5eq \R(, 2 )) . （14分）
综上，点M的坐标为(－1，0)或(5，－4)或(5，－2+5eq \R(, 2 )).
（3）eq \F(1,2)（15分）
（注：用其它方法解答，参照以上标准给分）
答图9-1
答图9-2
答图9-3

22.(3)解析：如图，构造△PKD∽△DLQ，则eq \F(PK,DL)＝eq \F(DK,QL)，
设P(m，－m2+6m－5)，Q(n，－n2+6n－5)，已知D (3，4)，则有eq \F(m2－6m+9, n－3)＝eq \F(3－m, n2－6n+9)，
整理得：3(m+n)－mn－10=0①，设直线PQ的解析式为y=kx+b，联立抛物线y＝－x2+6x－5，消去y可得：x2+(k－6) x+ (b+5) =0，由韦达定理得m+n=6－k，mn=b+5，代入①得
3(6－k)－(b+5)－10=0，整理得b=－3k+3，所以直线PQ为y=kx－3k+3=k(x－3) +3，所以直线PQ过定点T (3，3)，所以DT=1，因为∠DHT＝90°，所以点H的轨迹是以DT为直径的圆，所以点H到抛物线对称轴距离的最大值为eq \F(1,2).
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
C
B
D
D
A
C
B
C