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海南省文昌市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份海南省文昌市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年海南省文昌市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“翻开数学书，恰好翻到第16页”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
3．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△CDO是由△ABO绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．方程x2﹣5＝0的实数解为（ ）
A． B．x1＝5，x2＝﹣5
C． D．，
6．二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣2，﹣3） C．（4，3） D．（2，3）
7．A（﹣2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝x2+2上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y2＞y1 D．无法判断
8．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
9．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在⊙O中，弦BC＝1．点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
12．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．设1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根，则a+b＝ ．
14．100件产品中仅有4件是次品，从中随机抽出1件，则抽到次品的概率是 ．
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转180°得到的点A'的坐标是 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝ °．
三、解答题（本大题满分68分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：x（x﹣2）＝﹣1．
18．垃圾分类，从我做起．易拉罐是可回收垃圾，一吨易拉罐熔化后能结成一吨很好的铝块，可少采20吨铝矿．生活中的易拉罐是一种类似于圆柱体的立体图形．
（1）圆柱体的侧面展开图是 （填“长方形”“圆”或“扇形”）；
（2）圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝，结果保留π）．
19．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？
20．一个不透明的布袋里装有若干个红球、1个白球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是，则红球有 个；
（2）在（1）的条件下，从袋中任意摸出2个球，请用画树状图或列表法求摸出的球是一个红球和一个白球的概率．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．“翻开数学书，恰好翻到第16页”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
【分析】根据随机事件的概念即可求解．
解：“翻开数学书，恰好翻到第16页”确实有可能刚好翻到第16页，也有可能不是翻到第16页，故这个事件是随机事件．
故选：A．
3．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△CDO是由△ABO绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据旋转变换的性质判断即可．
解：观察图象可知，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴旋转角为90°，
故选：D．
4．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），
故选：D．
5．方程x2﹣5＝0的实数解为（ ）
A． B．x1＝5，x2＝﹣5
C． D．，
【分析】先移项得到x2＝5，然后利用直接开平方法求解．
解：x2＝5，
x＝±，
所以x1＝，x2＝﹣．
故选：D．
6．二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣2，﹣3） C．（4，3） D．（2，3）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
解：∵y＝﹣（x﹣4）2+3，
∴此函数的顶点坐标为（4，3），
故选：C．
7．A（﹣2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝x2+2上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y2＞y1 D．无法判断
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2+2的开口向上，对称轴为y轴，然后根据二次函数的性质即可得到y1，y2的大小关系．
解：∵抛物线y＝x2+2的开口向上，对称轴为y轴，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为（2，y2），
∵0＜1＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
8．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
9．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率＝＝．
故选：B．
10．如图，在⊙O中，弦BC＝1．点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接OB，OC，先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再OB＝OC判断出△BOC的形状，故可得出结论．
解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝1．
故选：A．
11．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．
解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．设1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】把x＝1代入已知方程得到：1+a+b＝0，易求a+b的值．
解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，得
1+a+b＝0，
解得 a+b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
14．100件产品中仅有4件是次品，从中随机抽出1件，则抽到次品的概率是 ．
【分析】让次品数除以总产品数即为所求的概率．
解：因为100件产品中仅有4件是次品，从中随机抽出1件，所以抽到次品的可能性有4次，故其概率为＝．
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转180°得到的点A'的坐标是 （3，﹣1） ．
【分析】由条件可知A点和A′点关于原点对称，可求得答案．
解：∵将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，
∴A点和A′点关于原点对称，
∵A（﹣3，1），
∴A′（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝ 56 °．
【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数．
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝34°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝56°，
∴∠ADC＝∠ABC＝56°．
故答案为：56．
三、解答题（本大题满分68分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：x（x﹣2）＝﹣1．
【分析】（1）先计算乘方、化简二次根式、去绝对值符号，再计算加减即可；
（2）先整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）原式＝﹣1﹣2+2﹣2
＝2﹣5；
（2）整理，得：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
解得x1＝x2＝1．
18．垃圾分类，从我做起．易拉罐是可回收垃圾，一吨易拉罐熔化后能结成一吨很好的铝块，可少采20吨铝矿．生活中的易拉罐是一种类似于圆柱体的立体图形．
（1）圆柱体的侧面展开图是 长方形 （填“长方形”“圆”或“扇形”）；
（2）圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝，结果保留π）．
【分析】（1）根据题意，可以写出圆柱侧面积展开图的形状；
（2）根据题意，可知圆柱的全面积＝上下两个圆的面积+侧面积，然后计算即可．
解：（1）圆柱体的侧面展开图是长方形，
故答案为：长方形；
（2）π×42×2+2π×4×15
＝π×16×2+8π×15
＝32π+120π
＝152π（cm2），
即制作这样一个易拉罐需要面积152πcm2的铝材．
19．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？
【分析】（1）利用今年的总产值＝前年生产总值×（1+去年比前年的年增长率）×（1+今年比去年的年增长率），即可找出y关于x的函数关系式；
（2）代入x＝20%，求出y值即可得出结论．
解：（1）依题意得：y＝10（1+x）（1+x），
即y＝10（1+x）2．
（2）当x＝20%时，y＝10×（1+20%）2＝14.4．
答：当x＝20%时，今年的总产值为14.4万元．
20．一个不透明的布袋里装有若干个红球、1个白球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是，则红球有 2 个；
（2）在（1）的条件下，从袋中任意摸出2个球，请用画树状图或列表法求摸出的球是一个红球和一个白球的概率．
【分析】（1）设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）设红球有x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝2，
经检验x＝2是方程的解，
答：红球有2个．
故答案为：2；
（2）列表如下：
白
红
红
黑
白
（红，白）
（红，白）
（黑，白）
白
（白，白）
（红，白）
（黑，白）
红
（白，红）
（红，红）
（黑，红）
黑
（白，黑）
（红，黑）
（红，黑）
由表可得，两次摸球共有12种等可能结果，其中摸出的球是一个红球和一个白球的情况有4种，
所以摸出的球是一个红球和一个白球的概率是＝．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理SSS证得结论；
②根据切线的判定方法，只要证明OE⊥DE即可；
（2）证出OD是△ABC的中位线，进而求出OD，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可．
【解答】（1）证明：①在△AOD和△EOD中，
，
则△AOD≌△EOD（SSS）；
②由①知，△AOD≌△EOD，
∴∠OED＝∠BAC＝90°，即OE⊥DE．
∵OE是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）①知，△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，
又∵AO＝BO，
∴OD＝BC＝．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝．
即：⊙O的半径为．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用同底等高三角形的面积相等解答；
（3）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），进而可得出PE＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）存在．如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），可知CK∥x轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
解：（1）把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）分别代入y＝ax2+bx﹣3，得．
解得．
故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵S△ABD＝S△ABC，C（2，﹣3），
∴AB•|yC|＝AB•|yD|，即|yC|＝|yD|，
∴|yD|＝3，
∴yD＝3或yD＝﹣3．
∴D（0，3）或（0，﹣3）；
（3）由A（﹣1，0）、C（2，﹣3）得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1．
设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE取最大值，最大值为；
（4）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
2020-2021学年海南省文昌市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“翻开数学书，恰好翻到第16页”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
3．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△CDO是由△ABO绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．方程x2﹣5＝0的实数解为（ ）
A． B．x1＝5，x2＝﹣5
C． D．，
6．二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣2，﹣3） C．（4，3） D．（2，3）
7．A（﹣2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝x2+2上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y2＞y1 D．无法判断
8．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
9．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在⊙O中，弦BC＝1．点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
12．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．设1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根，则a+b＝ ．
14．100件产品中仅有4件是次品，从中随机抽出1件，则抽到次品的概率是 ．
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转180°得到的点A'的坐标是 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝ °．
三、解答题（本大题满分68分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：x（x﹣2）＝﹣1．
18．垃圾分类，从我做起．易拉罐是可回收垃圾，一吨易拉罐熔化后能结成一吨很好的铝块，可少采20吨铝矿．生活中的易拉罐是一种类似于圆柱体的立体图形．
（1）圆柱体的侧面展开图是 （填“长方形”“圆”或“扇形”）；
（2）圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝，结果保留π）．
19．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？
20．一个不透明的布袋里装有若干个红球、1个白球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是，则红球有 个；
（2）在（1）的条件下，从袋中任意摸出2个球，请用画树状图或列表法求摸出的球是一个红球和一个白球的概率．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．“翻开数学书，恰好翻到第16页”，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
【分析】根据随机事件的概念即可求解．
解：“翻开数学书，恰好翻到第16页”确实有可能刚好翻到第16页，也有可能不是翻到第16页，故这个事件是随机事件．
故选：A．
3．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△CDO是由△ABO绕点O按顺时针方向旋转而得，则旋转的角度是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据旋转变换的性质判断即可．
解：观察图象可知，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴旋转角为90°，
故选：D．
4．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝AB＝8cm，
在Rt△OAC中，OC＝＝＝6（cm），
故选：D．
5．方程x2﹣5＝0的实数解为（ ）
A． B．x1＝5，x2＝﹣5
C． D．，
【分析】先移项得到x2＝5，然后利用直接开平方法求解．
解：x2＝5，
x＝±，
所以x1＝，x2＝﹣．
故选：D．
6．二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣4，3） B．（﹣2，﹣3） C．（4，3） D．（2，3）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
解：∵y＝﹣（x﹣4）2+3，
∴此函数的顶点坐标为（4，3），
故选：C．
7．A（﹣2，y1）、B（1，y2）是抛物线y＝x2+2上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y2＞y1 D．无法判断
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2+2的开口向上，对称轴为y轴，然后根据二次函数的性质即可得到y1，y2的大小关系．
解：∵抛物线y＝x2+2的开口向上，对称轴为y轴，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为（2，y2），
∵0＜1＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
8．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
9．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率＝＝．
故选：B．
10．如图，在⊙O中，弦BC＝1．点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】连接OB，OC，先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再OB＝OC判断出△BOC的形状，故可得出结论．
解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝1．
故选：A．
11．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．
解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．设1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的根，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】把x＝1代入已知方程得到：1+a+b＝0，易求a+b的值．
解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，得
1+a+b＝0，
解得 a+b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
14．100件产品中仅有4件是次品，从中随机抽出1件，则抽到次品的概率是 ．
【分析】让次品数除以总产品数即为所求的概率．
解：因为100件产品中仅有4件是次品，从中随机抽出1件，所以抽到次品的可能性有4次，故其概率为＝．
15．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）绕原点逆时针旋转180°得到的点A'的坐标是 （3，﹣1） ．
【分析】由条件可知A点和A′点关于原点对称，可求得答案．
解：∵将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，
∴A点和A′点关于原点对称，
∵A（﹣3，1），
∴A′（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是AB两侧⊙O上的点，若∠CAB＝34°，则∠ADC＝ 56 °．
【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，求得∠ABC的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数．
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝34°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝56°，
∴∠ADC＝∠ABC＝56°．
故答案为：56．
三、解答题（本大题满分68分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：x（x﹣2）＝﹣1．
【分析】（1）先计算乘方、化简二次根式、去绝对值符号，再计算加减即可；
（2）先整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）原式＝﹣1﹣2+2﹣2
＝2﹣5；
（2）整理，得：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
解得x1＝x2＝1．
18．垃圾分类，从我做起．易拉罐是可回收垃圾，一吨易拉罐熔化后能结成一吨很好的铝块，可少采20吨铝矿．生活中的易拉罐是一种类似于圆柱体的立体图形．
（1）圆柱体的侧面展开图是 长方形 （填“长方形”“圆”或“扇形”）；
（2）圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝，结果保留π）．
【分析】（1）根据题意，可以写出圆柱侧面积展开图的形状；
（2）根据题意，可知圆柱的全面积＝上下两个圆的面积+侧面积，然后计算即可．
解：（1）圆柱体的侧面展开图是长方形，
故答案为：长方形；
（2）π×42×2+2π×4×15
＝π×16×2+8π×15
＝32π+120π
＝152π（cm2），
即制作这样一个易拉罐需要面积152πcm2的铝材．
19．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x＝20%时，今年的总产值为多少万元？
【分析】（1）利用今年的总产值＝前年生产总值×（1+去年比前年的年增长率）×（1+今年比去年的年增长率），即可找出y关于x的函数关系式；
（2）代入x＝20%，求出y值即可得出结论．
解：（1）依题意得：y＝10（1+x）（1+x），
即y＝10（1+x）2．
（2）当x＝20%时，y＝10×（1+20%）2＝14.4．
答：当x＝20%时，今年的总产值为14.4万元．
20．一个不透明的布袋里装有若干个红球、1个白球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同，每次摸球前都将小球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是，则红球有 2 个；
（2）在（1）的条件下，从袋中任意摸出2个球，请用画树状图或列表法求摸出的球是一个红球和一个白球的概率．
【分析】（1）设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）设红球有x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝2，
经检验x＝2是方程的解，
答：红球有2个．
故答案为：2；
（2）列表如下：
白
红
红
黑
白
（红，白）
（红，白）
（黑，白）
白
（白，白）
（红，白）
（黑，白）
红
（白，红）
（红，红）
（黑，红）
黑
（白，黑）
（红，黑）
（红，黑）
由表可得，两次摸球共有12种等可能结果，其中摸出的球是一个红球和一个白球的情况有4种，
所以摸出的球是一个红球和一个白球的概率是＝．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理SSS证得结论；
②根据切线的判定方法，只要证明OE⊥DE即可；
（2）证出OD是△ABC的中位线，进而求出OD，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可．
【解答】（1）证明：①在△AOD和△EOD中，
，
则△AOD≌△EOD（SSS）；
②由①知，△AOD≌△EOD，
∴∠OED＝∠BAC＝90°，即OE⊥DE．
∵OE是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）①知，△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，
又∵AO＝BO，
∴OD＝BC＝．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝．
即：⊙O的半径为．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用同底等高三角形的面积相等解答；
（3）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），进而可得出PE＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）存在．如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），可知CK∥x轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
解：（1）把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）分别代入y＝ax2+bx﹣3，得．
解得．
故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵S△ABD＝S△ABC，C（2，﹣3），
∴AB•|yC|＝AB•|yD|，即|yC|＝|yD|，
∴|yD|＝3，
∴yD＝3或yD＝﹣3．
∴D（0，3）或（0，﹣3）；
（3）由A（﹣1，0）、C（2，﹣3）得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1．
设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE取最大值，最大值为；
（4）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），
∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
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