2024年海南省文昌中学自主招生数学试题

这是一份2024年海南省文昌中学自主招生数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷共14小题，满分120分，25m B，阅读材料等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.本场考试为考试时间为90分钟，请分配好时间。
3.本卷共14小题，满分120分。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔(Flrence Nightingale 1820-1910)设计的，图中每个扇形圆心角都相等，半径长短表示数量大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户数量(单位：亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是
A. 2015年至2022年, 知识付费用户数量逐年增加
B. 2016年至 2022年, 知识付费用户数量的年增加量逐年递增
C. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
D. 2017年至2018年, 知识付费用户数量增加量为近些年来最多
2.若将函数y= cs x- 3sin x的图象向左平移m (m>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则m的最小值为
A. π3 B. π6 C. 2π3 D. 5π6
3.我国古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上 B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角分别为(60°和20°,且BC=100m，则该球体建筑物的高度约为（ ）(cs10°≈0.985)
A. 49.25m B. 52.76m C. 56.74m D. 50.76m
4.已知x 为实数，[x]表示不超过x的最大整数，例如，|(-3.5]=-4,[2,1]=2.，则以下选项错误的是（ ）
A.[2x]=2[x] B.[x]C.[x]+[x+12]=[2x] D.x2+14>[x]
5.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）(参考数据：lg 2≈0.3, lg 3≈0.48)
A.第5代种子 B.第6代种子
C.第7代种子 D.第8代种子
6．若实数m，，满足，以下选项中正确的是（ ）
A．mn的最大值为14B．的最小值为
C．的最小值为D．最小值为
7．若实数满足，则下列选项错误的是（ ）
A．且B．的最小值为9
C．的最小值为D．
8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.在锐角△ABC中，∠BCA=30°，AC=4，则BC的取值范围为 .
10.已知，为的直径，内接于，交于点E，．如图，点F在弧上，连接，，，，点G在上，连接，若，的值为 .
11.如图，A、B是函数上两点，P为一动点，过点P作轴，轴，下列说法：①；②；③若，则平分；④若，则，其中正确的有 （填序号）.
12.若关于x 的方程（1x-1）2-|1x-1|+14=0恰好有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 .
三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.（15分）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．试证明：
（1）当时，四边形为正方形；
当P在运动过程中，的最小值；
当时，．
14.（15分）对于两个多项式，若，满足下列两种情形之一：①，；②，；则称多项式P为“较大”多项式，多项式Q为“较小”多项式．
对于两个多项式和，若将和中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对和进行“优选作差”操作得到，……，以此类推，经过n次操作后得到的序列，，，…称为“优选作差”序列．现对，进行n次“优选作差”操作得到“优选作差”序列，试证明：
（1）；
（2）；
（3）当时，“优选作差”序列中满足的正整数k有1350个．
15.（15分）已知中，，是边上一点，，∠ADC=60°，∠DAC=75°.
（1）求的长；
（2）求的面积.
16.（15分）阅读材料：已知点 和直线，则点到直线的距离可用公式 计算．例如：求点到直线的距离．其中，，所以点到直线的距离为，根据以上材料，试证明：
（1）点到直线的距离是；
（2）抛物线上存在两个点到直线的距离是；
（3）若点是抛物线上的点，则点到直线距离的最小值是．
2024年初中学业水平自主招生测试
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.（23，833）
10.1
②③④
（1，54）∪（54，+∞）
三、解答题：本大题共4小题，每小题15，共60分。题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
C
D
C
B
13.（15分）证明：（1）如图1，
图1
四边形是矩形，
，
，
，
，
由翻折得：，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
（2）如图2，连接，
图2
，
当、、三点共线时，取得最小值，
此时，
，
，
，
由翻折得，
，
的最小值，
（3）如图3，
图3
∵，
，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
，
14.（15分）证明：（1）∵，，
∴，，
，，
，，
，，
，
∴、、、、…多项式为，
即：，，2，3，…，
当时，，故；
（2），故；
（3）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当，3，6，…，即：或，，2，3，…，时，，
当时，，，不符合题意，
当时，，
∴在序列中，共有个值使得，
∴在序列中，有个值使得
15.（15分）解：
（1）由已知∠ACD=45°，
则中，；
（2）中，，，∠ADB-180°-∠ADC=120°，
由余弦定理得：，解得，
所以的面积为.
16.（15分）证明：（1）由题中点到直线距离公式为，中的，
可得点到直线的距离是，
故点到直线的距离是．
（2）设抛物线上任意一点坐标为，
当点到直线的距离是时，
得，
化简可得，即，
令时，其顶点坐标为，开口向上，当时，最小值为，
∵，
∴存在两个等于的点，即有两个解，
∴抛物线上存在两个点到直线的距离是．
故抛物线上存在两个点到直线的距离是．
（3）设抛物线上点坐标为，
∴当点到直线的距离是，
∴令时，其顶点坐标为，开口向上，当时，最小值为，
∴的最小值为，
∴点到直线距离的最小值是．
故点到直线距离的最小值是．