高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案设计

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一、学习目标：
1.掌握空间向量运算的坐标表示
2.通过向量坐标判断两向量特殊位置关系
3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式
4.培养学生类比思想、转化思想，提升学生“数学运算”和“逻辑推理”学科素养
二、知识梳理
1.空间向量运算的坐标表示：设，则
2.空间向量垂直平行的坐标表示：
当时，
3.空间向量的模长与夹角
（1）
（2）已知，则
（3）非零向量与夹角公式
三、类型归纳
类型一：空间向量的坐标运算
类型二：空间向量的垂直、平行、模长问题
类型三：利用空间向量解决简单的立体几何中的垂直、距离、夹角问题
四、类型应用
类型一：空间向量的坐标运算
【例1-1】已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)2
(3)4
【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，
（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，
【详解】（1）由，得
（2）
（3）
【变式训练1-1】已知向量,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出,利用向量坐标运算法则直接求解.
【详解】∵向量,
∴.
故选:B.
【变式训练1-2】已知向量则的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的坐标运算求解.
【详解】由题可得，
故选:B.
【变式训练1-3】若，，，则（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【答案】C
【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【详解】由已知，，
，
∴.
故选：C．
类型二：空间向量的垂直、平行、模长问题
【例2-1】已知，，且，则________．
【答案】2
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可解.
【详解】因为，，
所以，解得.
故答案为：2
【例2-2】设，若向量与向量平行，则__________.
【答案】
【分析】根据已知可得，求解即可得出答案.
【详解】因为，所以有，且，
所以，，所以.
故答案为：.
【例2-3】向量的模__________.
【答案】
【分析】直接计算模长得到答案.
【详解】，则.
故答案为：
【例2-4】已知，，且，则向量与的夹角为__________
【答案】
【分析】根据向量数量积的坐标运算求出，再利用夹角公式求夹角.
【详解】因为，，，
所以，解得；
，
因为，所以.
故答案为：.
【变式训练2-1】，，则_______．
【答案】6
【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，，
所以，
所以；
故答案为：.
【变式训练2-2】在空间直角坐标系中，点到点的距离是 _____．
【答案】4
【分析】利用空间两点间的距离公式即得．
【详解】∵点和点，
∴点到点间的距离是.
故答案为：4.
【变式训练2-3】设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】求出，.进而根据三点共线得出，即可列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为三点共线，所以存在唯一实数，使得，
所以，解得，所以.
故选：D.
【变式训练2-4】已知向量，，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.
【详解】因为，，且，
所以，即，所以，
所以，
故选：C．
【变式训练2-5】（多选）已知空间向量则下列结论正确的是（ ）
A．B．与夹角的余弦值为
C．D．
【答案】AD
【分析】由向量的数量积运算以及向量平行的坐标运算求解即可.
【详解】对于A：，则，
即，故A正确；
对于B：与夹角的余弦值为，故B错误；
对于C：，因为，所以与不平行，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
【变式训练2-6】已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定义求解作答.
【详解】向量，，，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：B
【例3】已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由已知，使得.解方程组，即可得出答案；
（2）求出，，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可得出的值．
【详解】（1）因为，所以，使得，
所以有，解得，所以，.
（2）由（1）知，，所以，.
因为，所以，
即，解得.
【变式训练3】已知．
(1)求；
(2)已知点在直线上，求的值；
(3)当为何值时，与垂直？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解.
【详解】（1），
，
．
（2）因为点在直线上，与共线，
则存在使得，即，
，解得；
（3），
与垂直,
，
，
时，与垂直．
类型三：利用空间向量解决简单的立体几何中的垂直、距离、夹角问题
【例4-1】
分析：
【详解】
证明：如图，以为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1.则
所以
又所以
所以
所以
【例4-2】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．
【答案】
【分析】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.
【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，
所以，，.
所以.
【例4-3】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点．求||.
【答案】
【分析】利用空间向量法求向量的模长得到结果.
【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，
.
【变式训练4-1】棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长．
【答案】(1)证明见解析;
(2);
(3).
【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可；
（2）求出的坐标，再根据即可求得答案；
（3）转化为求即可.
【详解】（1）解：如图，以为原点， 分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,
因为，
所以，
所以，
故；
（2）解：因为，所以
因为，且,
所以；
（3）解：因为是的中点，所以
又因为，
所以,
.
即.
【变式训练4-2】如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算的值；
【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．
，∴
∴．
所以的距离为.
（2）依题意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
【变式训练4-3】在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系．
(1)求与的坐标；
(2)求向量在平面上的投影向量的坐标．
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）根据给定的空间直角坐标系，求出点的坐标，再利用向量的坐标表示作答.
（2）根据长方体的结构特征，求出线段在平面上射影即可求解作答.
【详解】（1）在长方体中，已知，
依题意，，
所以，.
（2）在长方体中，平面，连接AC，因此线段是线段在平面上射影，如图，
即向量在平面上的投影向量为，而，，
所以向量在平面上的投影向量的坐标为.