数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用学案

这是一份数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用学案，文件包含第04讲用空间向量研究直线平面的平行和垂直六大考点原卷版docx、第04讲用空间向量研究直线平面的平行和垂直六大考点解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共80页， 欢迎下载使用。


知识点一、空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示
设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点,
(1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使.
(2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使
2．空间平面的向量表示
①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得
②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．
知识点二、平面的法向量
1．平面法向量的定义
如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合
2．平面法向量的求法
平面法向量的确定通常有两种方法:
(1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.
(2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系).
知识点三、空间平行关系的向量表示
知识点四、空间垂直关系的向量表示
考点01 平面的法向量的辨析及求法
1．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A．B．
C．D．
2．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．若∥，则B．若∥β，则
C．若⊥，则D．若∥β，则
3．（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（ ）

A．平面的一个法向量为B．平面的一个法向量为
C．点在x轴上的投影点坐标为D．点关于平面对称点坐标为
4．在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ．
5．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，

①直线DD1的一个方向向量为；
②直线BC1的一个方向向量为；
③平面ABB1A1的一个法向量为；
④平面B1CD的一个法向量为；
则上述结论正确的是 （填序号）
考点02 利用空间向量证明线线平行、垂直
6．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）
A．异面B．平行C．垂直D．相交但不垂直
7．（多选）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
8．在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点．
(1)求的值；
(2)求证：．
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
10．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系.
(1)求证：；
(2)若，求的值.
考点03 利用空间向量证明线面平行
11．若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 .
12．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ．
13．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积.
14．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
15．如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；
16．如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
考点04 利用空间向量证明面面平行
17．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 .
18．如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点.
（1）计算棱台的体积；
（2）求证：平面平面.
19．如图，在长方体中，，，.
(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
20．如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
考点05 利用空间向量证明线面垂直
21．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）
C．（1）（4）D．（2）（4）
22．如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面；
23．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
24．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面．
25．如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.

(1)当为中点时，求证:平面;
(2)当平面时，求的值.
26．如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
27．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28．已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．

(1)当E,F为中点时，证明：平面；
(2)若平面，求的最大值及此时的长．
考点06 利用空间向量证明面面垂直
29．如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．

(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥体积．
30．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面.
31．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，.
(1)求证：；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
32．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ）
A．B．C．D．1
33．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（ ）

A．平面平面B．平面平面
C．直线平面D．直线平面
34．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
35．在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.

(1)求证：；
(2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
基础试炼
一、单选题
1．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．D．4
3．如图，在正方体中，不能互相垂直的两条直线是（ ）

A．和B．和
C．和D．和
4．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
5．已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．如图正方体中，为正方形的中心，分别为的中点，下列结论正确的是（ ）

A．平面B．
C．D．平面
三、填空题
7．已知，平面的法向量，若，则 ．
8．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 .
四、解答题
9．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面；
10．长方体中，，.点为中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
11．如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
12．如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.
高阶突破
1．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（ ）

A．B．C．D．
2．（多选）在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（ ）
A．存在点，使得面
B．存在点，使得面
C．当点不是的中点时，都有面
D．当点不是的中点时，都有面
3．（多选）如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ）

A．满足平面的点的轨迹长度为
B．满足的点的轨迹长度为
C．存在唯一的点满足
D．存在点满足
4．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为 .
5．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点．
(1)求；
(2)求；
(3)若点在棱BC上，且平面，求的长．
6．如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足．
(1)求证：平面平面；
(2)若，且平面，求的长．
学习目标：
1．能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行垂直关系.
3．能用向量方法证明有关直线、平面平行垂直关系的判定定理.
4．能用向量方法证明空间中直线平面的平行垂直关系.
重点难点：
重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系
难点：用向量方法证明空间中直线、平面的平行、垂直关系
设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．
线线平行
使得
注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合
证明线线平行的两种思路：
①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明;
②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示．
线面平行
注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内；
（1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．
（2）特别强调直线在平面外．
面面平行
使得
注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合
（1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行．
（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量．
线线垂直
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直．
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
线面垂直
使得
（1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．
（2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论．
（3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论．
面面垂直
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直