初中数学人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质示范课课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质示范课课件ppt，共29页。PPT课件主要包含了角平分线的概念，作射线ＯＣ．，求证PDPE，角平分线的性质，用符号语言表示为，文字语言，图形语言，BDCD，不必再证全等，∴EBFC等内容，欢迎下载使用。
1.掌握角平分线的做法和角平分线的性质;
2.掌握角平分线在实际生活中的应用；
3.提高综合运用全等知识解决问题的能力.
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
3.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )A.SAS B.AAS C.SSS D. ASA
4.如图，MP⊥NP，MQ为△NMP的角平分线，MT＝MP，连结TQ，则下列结论中，不正确的是( )
A.TQ＝PQ． B. ∠MQT＝∠MQPC. ∠QTN＝90 D.∠NQT＝∠MQT
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点, 和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道AB理吗?
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?
证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
观察领悟作法，探索思考证明方法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）
为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一写）
已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC, 即：OC平分∠AOB
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∵ ∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
1.∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
3.角平分线的性质运用
只有角平分线，没有垂直,不能用角平分线性质定理
2.∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
只有垂直，没有角平分线,不能用角平分线性质定理
3.∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
证明一个几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的已知和求证。
2.根据题意画出图形，并用数学符号表示出已知和求证。
3.经过分析，找出由已知推出要证结论的途径，写出证明过程。
例1 在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
例2 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3. 求BD的长。
解：∵AD为∠BAC的平分线，∠C=90°,DE⊥AB,∴DC=DE=3.∵BC=7∴BD=BC-CD=7-3=4.
如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长.
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.
（3）求∆PDB的周长.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
1.应用角平分线性质：
2.联系角平分线性质：
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6 cm， 那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE+DE=　　　。
3.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
4.如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB于E，∴DE=DC，∠DEB=∠C=90°.
在△Rt△BED和Rt△FCD中
∴Rt△BED≌Rt△FCD（HL）
5.如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC． 求证：BM＝CN．
证明：连接EB，EC，
∵DE⊥BC∴∠EDB=∠EDC=90°.
在△EDB和△EDC中，
DB=DC∠EDB=∠EDCED=ED
∴△EDB≌△EDC（SAS）
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC
∴Rt△EBM≌Rt△ECN
6.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C.
证明：延长AD交BC于点F
∵AD⊥BE，∠ADB=∠FDB=90°.
∵BE是角平分线,∴∠ABD=∠FBD
∴△ABD≌△FBD(ASA)
∵∠BFD=∠1+∠C
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段