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初中数学人教版（2024）九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程课堂教学课件ppt
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程课堂教学课件ppt，共20页。PPT课件主要包含了学习目标，新课引入，新知学习，课堂小结，xcm，x-3cm，∴取x2，答道路的宽为2米，随堂练习，∴取x3等内容，欢迎下载使用。
1.能通过构建一元二次方程模型解决几何图形面积问题.
2.发现问题中的等量关系.
之前我们已经学习了一元二次方程解决实际问题的一般步骤，请根据所学知识解决下面的问题:一个矩形的长和宽相差3cm，面积是4cm2.求这个矩形的长和宽.
等量关系：长×宽=x(x-3)=4
解： 设矩形长为xcm，宽为(x-3)cm. 依题意得: x(x-3)=4整理得: x2-3x-4=0解得: x1=4，x2=-1(舍去)答：长为4cm，宽为1cm.
边长不能为负，不符合实际
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
中央图形长×中央图形宽=
中央图形长 ：中央图形宽=9a ：7a
封面长 ：封面宽=9 ：7
上下边衬 ：左右边衬=9 ：7
分析：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ＝9:7
解：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm，则中央长方形的长为(27-18x)cm，中央长方形的宽为(21-14x)cm，依题意得整理，得解方程，得
所以x1≈2.8，x2≈0.2所以9x1=25.2(舍去)，9x2=1.8，7x2=1.4
上下边衬过于大，不符合题意
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右边衬的宽均为 1.4 cm
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得
故上下边衬的宽度为： 左右边衬的宽度为：
例1 如图，在一块宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，则道路的宽为多少？
利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使图形变成规则的，则列方程就容易些
解：设道路的宽为 x 米，则实际宽为(32-x)cm，实际长为(20-x)cm.
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x2-2x+100=0
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18（不合题意，舍去）.
例2 如下图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆，怎样国成一个面积为50m2的矩形场地？
解：设与墙垂直的篱笆长为xm，则与墙平行的篱笆长为(20-2x)m. 由题意得：x(20-2x)=50，整理得： x2-10x+25=0，解得： x1=x2=5，所以20-2x=10.答： 用20m长的篱笆围成一个长为10m，宽为5m的矩形(其中一边长10m，另外两边长5m).
1. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？请解答上述问题．
解：设长为x步，则宽为(60－x)步，由题意，得x(60－x)＝864， 解得x1＝36，x2＝24(舍去)， ∴x＝36，60－x＝24， ∴长比宽多36－24＝12步．答：长比宽多12步．
2. 在宽为 28m，长为 30m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 675m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
整理，得 x2 – 58x +165 = 0
解得 x1=3，x2=55
当 x = 55 时，30 – x = -25，不合题意，舍去.
解：设道路的宽为 x 米.
(30 – x)(28 – x)=675
3.李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长12 m的住房墙，另外三边用25 m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门.若要使羊圈的积为80 m2,则所围矩形与墙垂直的一边长为多少米？.
解：设所围矩形与墙垂直的一边为xm，则与墙平行的一边长为(25+1-2x)m.由题意得：x(25+1-2x)=80，整理得： x2-13x+40=0，解得： x1=5，x2=8，当x=5时，25+1-2x=25+1-2×5=16>12，不符合题意，舍去；当x=8时，25+1-2x=25+1-2×8=10<12，符合题意，所以x=8答： 所围矩形与墙垂直的一边长为8m.
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
1.能通过构建一元二次方程模型解决几何图形面积问题.
2.发现问题中的等量关系.
之前我们已经学习了一元二次方程解决实际问题的一般步骤，请根据所学知识解决下面的问题:一个矩形的长和宽相差3cm，面积是4cm2.求这个矩形的长和宽.
等量关系：长×宽=x(x-3)=4
解： 设矩形长为xcm，宽为(x-3)cm. 依题意得: x(x-3)=4整理得: x2-3x-4=0解得: x1=4，x2=-1(舍去)答：长为4cm，宽为1cm.
边长不能为负，不符合实际
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
中央图形长×中央图形宽=
中央图形长 ：中央图形宽=9a ：7a
封面长 ：封面宽=9 ：7
上下边衬 ：左右边衬=9 ：7
分析：封面的长宽之比是 27:21＝9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ＝9:7
解：设上下边衬的宽为 9x cm，左右边衬的宽为 7x cm，则中央长方形的长为(27-18x)cm，中央长方形的宽为(21-14x)cm，依题意得整理，得解方程，得
所以x1≈2.8，x2≈0.2所以9x1=25.2(舍去)，9x2=1.8，7x2=1.4
上下边衬过于大，不符合题意
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右边衬的宽均为 1.4 cm
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得
故上下边衬的宽度为： 左右边衬的宽度为：
例1 如图，在一块宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，则道路的宽为多少？
利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使图形变成规则的，则列方程就容易些
解：设道路的宽为 x 米，则实际宽为(32-x)cm，实际长为(20-x)cm.
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x2-2x+100=0
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18（不合题意，舍去）.
例2 如下图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20 m长的篱笆，怎样国成一个面积为50m2的矩形场地？
解：设与墙垂直的篱笆长为xm，则与墙平行的篱笆长为(20-2x)m. 由题意得：x(20-2x)=50，整理得： x2-10x+25=0，解得： x1=x2=5，所以20-2x=10.答： 用20m长的篱笆围成一个长为10m，宽为5m的矩形(其中一边长10m，另外两边长5m).
1. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？请解答上述问题．
解：设长为x步，则宽为(60－x)步，由题意，得x(60－x)＝864， 解得x1＝36，x2＝24(舍去)， ∴x＝36，60－x＝24， ∴长比宽多36－24＝12步．答：长比宽多12步．
2. 在宽为 28m，长为 30m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 675m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
整理，得 x2 – 58x +165 = 0
解得 x1=3，x2=55
当 x = 55 时，30 – x = -25，不合题意，舍去.
解：设道路的宽为 x 米.
(30 – x)(28 – x)=675
3.李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长12 m的住房墙，另外三边用25 m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门.若要使羊圈的积为80 m2,则所围矩形与墙垂直的一边长为多少米？.
解：设所围矩形与墙垂直的一边为xm，则与墙平行的一边长为(25+1-2x)m.由题意得：x(25+1-2x)=80，整理得： x2-13x+40=0，解得： x1=5，x2=8，当x=5时，25+1-2x=25+1-2×5=16>12，不符合题意，舍去；当x=8时，25+1-2x=25+1-2×8=10<12，符合题意，所以x=8答： 所围矩形与墙垂直的一边长为8m.
4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
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