北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

这是一份北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计，共5页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。


本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程.根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家)，韦达定理是初中代数中的一个重要定理.这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡.同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础.
教学目标
会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差；理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系.
在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法；能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数.
结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系.
教学重难点
【教学重点】
求方程的两根的倒数和与平方和、两根的差.
【教学难点】
掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系.
课前准备
课件.
教学过程
一、复习回顾
内容1：
1． 一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)(板书)
2． 一元二次方程有实数根的条件是什么？ (△=b2-4ac≥0)
3． 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
4． 一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫.
效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”.
后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心.
内容2：
求一个一元二次方程，使它的两个根分别为
1. 2和3； 2. -4和7；
3. 3和-8； 4. -5和-2
①(x-2)(x-3)=0 x2-5x+6=0
②(x+4)(x-7)=0 x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0 x2+7x+10=0
问题：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？
内容3：
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用△表示.
判别式定理
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根；
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根.
判别式逆定理
若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0；
若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0；
若方程没有实数根,则b2-4ac＜0；
若方程有两个实数根,则b2-4ac≥0.
二、合作交流，探究新知
猜想：先解除方程2x2-5x+3=0，思考这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？
解得：x1= ，x2=1
所以得到，x1+x2= x1 • x2=
思考：对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？
1. 如果方程x2+px+q=0有两个根是x1，x2
那么有x1+ x2=-p， x1 •x2=q
设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，
则x1= x2=
∴x1+x2= + = =
x1•x2 = • = ==
2. 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2，
则 x1+x2 = x1·x2 =
（一）引申：1、若ax2bxc0 (a0 0).
（1）若两根互为相反数，则b0；
（2）若两根互为倒数，则ac；
（3）若一根为0，则c0 ；
（4）若一根为1，则abc0 ；
（5）若一根为1，则abc0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
（二）
一正根， △＞0
一负根 x1x2＜0

两个正根 △≥0
x1x2＞0
x1+x2＞0
两个负根 △≥0
x1x2＞0
x1+x2＜0
三、运用新知
题1 已知方程的两个实数根是且，求k的值.
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2
又 x12+ x2 2 = 4
即(x1+x2)2 -2 x1x2=4
k2- 2(k+2）=4
k2-2k-8=0
解得：k=4 或k=－2
∵ △= k2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
题2 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围．
解：由已知，
△=
即 m>0
m-1<0
∴0四、巩固新知


五、归纳小结
1. 根的判别式及根与系数关系的应用.
2. 通过这节课你增长了…
教学反思
略.