湘教版高中数学选择性必修第一册专题强化练15形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题含答案

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专题强化练15　形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题1.(2022湖南岳阳一中期中)在x3-2x+1x4的展开式中,常数项为(　　)A.28　　B.-28　　C.-56　　D.562.(2022湖南长沙一中期中)x+y2x(x-2y)4的展开式中,x2y3的系数为(　　)A.-24　　B.-40　　C.24　　D.-303.若x2+1x2-23(x+a)2(a>0)的展开式中x4的系数为3,则a=(　　)A.1　　B.12　　C.2　　D.24.(2021江苏淮阴中学期末)(x2+2)3·1x2-17的展开式中的常数项是(　　)A.15　　B.-15　　C.7　　D.-75.(x2+3x+2)5的展开式中,x3的系数是　　　　. 6.(2022河南名校联盟联考)(2x2+x-2)5的展开式中,x5的系数为　　　　. 7.(2022湖南湘潭期末)已知(1+x+x2)·x+1x3n的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤7,则n=　　　　. 答案与分层梯度式解析1.A　因为x3-2x+1x=x4-2x2+1x=(x2-1)2x,所以x3-2x+1x4=(x2-1)8x4,又因为(x2-1)8的展开式中x4的系数为C82(-1)6=28,所以所求常数项为28,故选A.2.B　因为x+y2x(x-2y)4=x(x-2y)4+y2x(x-2y)4, (x-2y)4=[x+(-2y)]4=C40x4(-2y)0+C41x3(-2y)1+C42x2(-2y)2+C43x1(-2y)3+C44x0(-2y)4=x4-8x3y+24x2y2-32xy3+16y4,所以x+y2x(x-2y)4的展开式中含x2y3的项为x·(-32xy3)+y2x·(-8x3y)=-40x2y3,故x2y3的系数为-40,故选B.3.C　易得x2+1x2-23(x+a)2=x-1x6·(x2+2ax+a2)(a>0),x-1x6的展开式的通项为Tr+1=C6r·(-1)r·x6-2r(0≤r≤6,r∈N),故x-1x6·(x2+2ax+a2)的展开式中x4的系数为C62+2a×0+a2×(-C61)=15-6a2=3,则a=2,故选C.4.B　易得(x2+2)3=x6+6x4+12x2+8,1x2-17的展开式的通项为Tr+1=C7r·1x27-r·(-1)r=C7r·(-1)r·x2r-14(0≤r≤7,r∈N).令2r-14=-6,得r=4,故T5=C74·(-1)4·x-6=35x-6,令2r-14=-4,得r=5,故T6=C75·(-1)5·x-4=-21x-4,令2r-14=-2,得r=6,故T7=C76·(-1)6·x-2=7x-2,令2r-14=0,得r=7,故T8=C77·(-1)7·x0=-1,所以(x2+2)3·1x2-17的展开式中的常数项为35×1+(-21)×6+7×12+(-1)×8=-15,故选B.5.答案　1 560解析　(x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5,因为(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5rxr(0≤r≤5,r∈N),(2+x)5的展开式的通项为Tk+1=C5k25-kxk(0≤k≤5,k∈N),所以(x2+3x+2)5的展开式中,x3的系数是C53C5025+C52C5124+C51C5223+C50C5322=320+800+400+40=1 560.方法总结　　求三项式的展开式中特定项的系数时,可按照以下两种思路进行:(1)通过合并其中的两项或进行因式分解,将三项式转化成两个二项式,再利用二项式定理求解;(2)根据组合的方法“凑”出所求项,再根据要求求解.6.答案　401解析　∵(2x2+x-2)5表示五个(2x2+x-2)的乘积,∴当有一个因式取2x2,有三个因式取x,另一个因式取-2时可得含x5的项;或者当有两个因式取2x2,有一个因式取x,另两个因式取-2时也可得含x5的项;或者当五个因式都取x时也可得含x5的项,故展开式中含x5的项为C51(2x2)1C43x3C11(-2)1+C52(2x2)2C31xC22(-2)2+C55x5=401x5,所以x5的系数为401.7.答案　5解析　由题意知x+1x3n的展开式中没有常数项,没有含x-1的项,没有含x-2的项,∵x+1x3n的展开式的通项为Tr+1=Cnrxn-r1x3r=Cnrxn-4r(0≤r≤n,且r∈N),∴n-4r不能为0,-1,-2.若n=4,则n-4r可以为0;若n=3或n=7,则n-4r可以为-1;若n=2或n=6,则n-4r可以为-2;只有当n=5时,n-4r不能为0,-1,-2,故n=5.