2022-2023学年湘教版2019必修一第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷(word版含答案)

第三章  圆锥曲线与方程 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

2、(4分)已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是(   )

A.  B.

C.或  D.或

3、(4分)曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是(   )

A. B. C. D.

4、(4分)已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为(   )

A. B. C. D.

5、(4分)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(   )

A.2 B.3 C.4 D.8

6、(4分)以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为(   )

A.或  B.或

C.或 D.或

7、(4分)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8、(4分)若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（    ）

A.4 B.3 C.2 D.1

9、(4分)“”是“方程表示椭圆”的（       ）

A.充要条件     B.充分不必要条件   C.必要不充分条件   D.既不充分也不必要条件

10、(4分)若点在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题(共25分)

11、(5分)已知双曲线的左、右焦点分别是，，P是双曲线右支上一点，，O为坐标原点，过点O作的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率，存在实数m满足，则_____.

12、(5分)已知抛物线与双曲线（，）有相同的焦点且在第一象限交于点A，F为双曲线的下焦点，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为____________.

13、(5分)若椭圆的离心率是，则_____________.

14、(5分)过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为_____________.

15、(5分)一条光线从抛物线的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为__________.

三、解答题(共35分)

16、(8分)如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点.

（1）若，求抛物线的方程；

（2）求的最大值.

17、(9分)已知椭圆的离心率为，焦距为.

（1）求C的方程；

（2）若斜率为的直线l与椭圆c交于两点（点均在第一象限），O为坐标原点，证明：直线的斜率依次成等比数列.

18、(9分)已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.

(1)求C的方程；

(2)设，直线()不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点.

19、(9分)已知椭圆过点，且椭圆C的右顶点B到直线的距离为4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点且与直线平行的直线l与椭圆C交于两点，求的面积(O为坐标原点).

参考答案

1、答案：D

解析：由题意可知,代入椭圆方程,
得,为等腰直角三角形.
∴
∴,
∴
解得.

2、答案：C

解析：当时，；当时，.

因此抛物线的焦点可为，.

①当焦点为时，设标准方程为，且，；

②当焦点为时，设标准方程为，且，.故选C.

3、答案：C

解析：令，得，故，双曲线的渐近线方程是，选C.

4、答案：B

解析：若椭圆上存在点P，使得，

则以原点为圆心，为直径的圆与椭圆必有交点，

所以，即，即，又，

所以.

5、答案：D

解析：抛物线的焦点坐标为，椭圆的一个焦点为，，

又，.

6、答案：C

解析：直线与x轴，y轴的交点分别是，，所以所求抛物线的焦点为或，因此，所求抛物线的标准方程为或.

7、答案：A

解析：原方程表示双曲线，且焦距为4，

①

或②

由①得，.②无解.故选A.

8、答案：C

解析：由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论.

9、答案：C

解析：若方程表示椭圆，

则满足，即且，

此时成立，即必要性成立，

当时，满足，但此时方程等价为为圆，

不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立，

“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，

故选：C．

10、答案：A

解析：设等边三角形的边长为，

则，解得．

根据抛物线的对称性可知，且，

设点在轴上方，则点的坐标为，即，

将代入抛物线方程得，

解得，故抛物线方程为．

故选：A

11、答案：

解析：当时，代入双曲线可得，由题易得.由相似三角形的性质可知，，则，，整理得.，，解得.

12、答案：

解析：

13、答案：或6

解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，则有，，由题意得，解得.

②当椭圆的焦点在y轴上时，则有，，

由题意得，解得.

综上，或.

14、答案：

解析：由得，双曲线的渐近线方程为.

结合图形（图略）知，.

故双曲线离心率的取值范围是.

15、答案：

解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，，，，抛物线的标准方程为.

16、答案：（1）

（2）

解析：（1）由条件知，与联立，消去y，得，则.由抛物线的定义得.

又因为，所以，所以抛物线的方程为.

（2）解法一：由（1）知，且，设，

则M到AB的距离.

因为点M在直线AB的上方，

所以，

则

.

当时，.

故的最大值为.

解法二：由（1）知，且，

设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，

代入抛物线方程，得.

令，得.

所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，

两平行直线间的距离，

故的最大值为.

17、答案： （1）（2）见解析

解析：（1）由题意可得，解得，

又，所以椭圆方程为.

（2）证明：设直线的方程为,

由，消去，得，

则，

且，

故，

，

即直线的斜率依次成等比数列.

18、答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)因为双曲线C的渐近线方程为，
故可设C的方程为，

又C过点，所以，解得，

所以C的方程为.

(2)显然直线BQ的斜率不为0，设直线BQ为，
，，，
联立，消去x整理得，
依题意得且，即且，

且，.
直线AD的方程为，
令，得

.
所以直线AD过定点.

19、答案：(1)椭圆C的标准方程为.

(2).

解析：(1)由题得.

因为椭圆C的右顶点到直线的距离为4.

所以，解得，

故椭圆C的标准方程为.

(2)由题意知，，

即直线l的方程为，

联立，整理得，

设，，则，，

从而，

故的面积.

另解：由弦长公式可得,点O到直线l的距离为，

故.

另解：由弦长公式可得,点O到直线l的距离为，

故.