第1章第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想-八年级上册数学（北师大版）讲义

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第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13349" 【典型例题】  PAGEREF _Toc13349 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12555" 【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】  PAGEREF _Toc12555 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29606" 【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】  PAGEREF _Toc29606 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26976" 【考点三 巧妙割补求面积】  PAGEREF _Toc26976 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc21307" 【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】  PAGEREF _Toc21307 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc27009" 【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】  PAGEREF _Toc27009 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc19549" 【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】  PAGEREF _Toc19549 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc3891" 【考点七 实际问题中的方程思想】  PAGEREF _Toc3891 \h 25【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________．【变式训练】1．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（       ）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．52．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期中）在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（       ）A．5 B． C．6 D．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．4．如图，在中，，，是的边上的高，且，，，求的边上的高．5．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．(1)求的长．(2)求斜边边上的高．6．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度．（2）深入探究如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明．【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（       ）A． B． C． D．【变式训练】1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（       ）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________．【考点三 巧妙割补求面积】例题：如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．【变式训练】1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积．2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1（1）线段BC＝　 　，线段CD＝　 　；（2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母）3．）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（    ）A．20 B．26 C．30 D．52【变式训练】1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（　　）A． B． C． D．2．（2023春·新疆阿克苏·八年级校考期中）如图，三个正方形中的两个的面积，，则另一个的正方形的面积为_____________3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．4．（2023春·八年级课时练习）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．5．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】例题：如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）A． B． C． D．【变式训练】1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________ cm2．2．如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．3．在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A'BP．(1)如图1，当A'在BC上时，连接AA'，求AA'的长；(2)如图2，当AP＝6时，连接A'D，求A'D的长．【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．【变式训练】1．已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．  2．如图，在和中，，，，延长，交于点．  (1)求证：点A在的平分线上；(2)若，，，求的长．【考点七 实际问题中的方程思想】例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的倍．问门高、门宽各为多少？3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段．某家装厂设计的折叠床是AB＝4cm，BC＝8cm，（1）此时CD为_________　cm；（2）折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm2 ．