高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆练习

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆练习，共16页。试卷主要包含了1　椭圆，已知F1,F2是椭圆C，已知P是圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

3.1.1 椭圆的标准方程
基础过关练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.已知平面内两定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”,那么甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2022河南焦作期末)已知F1,F2为椭圆x29+y216=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=( )
A.2 B.4 C.6 D.10
3.(2022甘肃永登一中期末)设P是椭圆C:x2m+y27=1上一点,F1(-3,0),F2(3,0)分别是C的左、右焦点,|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.5 B.103-3
C.4 D.258-3
4.(2022广东执信中学期中)已知F1,F2是椭圆C:x216+y212=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.28 B.16 C.12 D.9
5.(2022重庆八中期中)已知P是圆C:(x+2)2+y2=64上的动点,A(2,0).若线段PA的中垂线交CP于点N,则点N的轨迹方程为 .
题组二 椭圆的标准方程
6.(2021北京交大附中期末)已知椭圆的标准方程为x2k-3+y25-k=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是( )
A.4C.k>3 D.37.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是( )
A.y225+x2=1
B.x225+y2=1
C.x225+y2=1或y225+x2=1
D.以上都不对
8.(2022甘肃兰州一中期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1的直线l垂直于x轴且交椭圆于A,B两点,|AB|=3,椭圆与y轴正半轴交于点D,|DF1|=2,则椭圆C的方程为( )
A.x24+y2=1 B.x2+y24=1
C.x24+y23=1 D.x23+y24=1
9.(2020天津一中期末)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点为P355,-455,则椭圆的方程为 .
10.(2022陕西黄陵中学期末)过点(3,-5)且与椭圆y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
题组三 椭圆的标准方程的应用
11.(2021江西上饶月考)已知椭圆x210-m+y2m-2=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5
C.7 D.8
12.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsin(A+C)=( )
A.43 B.53
C.45 D.54
13.(2022河南郑州期末)设F1,F2分别是椭圆C:x225+y29=1的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上,且满足|OP|=4,则△PF1F2的面积为( )
A.3 B.33
C.6 D.9
14.(2022广西玉林期中)已知点P(n,1),椭圆x29+y24=1,点P在椭圆外,则实数n的取值范围为 .
15.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2= .
16.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=23,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且PF1·PF2≤14,求点P的横坐标的取值范围.
17.设O为坐标原点,动点M在椭圆E:x24+y22=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|恒成立?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
能力提升练
题组一 椭圆的定义及其应用
1.(2022安徽蚌埠期末)已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是椭圆C上的任意一点且不在x轴上,M是线段PF的中点,O为坐标原点.连接OM并延长,交圆x2+y2=a2于点N,则△PFN的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由点P的位置决定
2.(2022江西赣州期末)已知定圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49,定点M(2,1),动圆C满足与C1外切且与C2内切,则|CM|+|CC1|的最大值为( )
A.8+2 B.8-2
C.16+2 D.16-2
3.(多选)(2020山东潍坊期末)已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是( )
A.点P的纵坐标为3
B.∠F1PF2>π2
C.△F1PF2的周长为42+4
D.△F1PF2的内切圆半径为322-32
4.(2022湖南岳阳一中月考)已知椭圆C:x29+y24=1,M,N是坐标平面内的两点,且点M与C的焦点不重合,若点M关于C的左、右焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|= .
题组二 椭圆的标准方程及其应用
5.(2022山西长治二中期末)椭圆x2100+y264=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点P到x轴的距离为( )
A.6433 B.9133 C.3239 D.643
6.(2022四川威远中学月考)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点C,若F1,C是线段AB的三等分点,△F2AB的周长为45,则椭圆E的标准方程为( )
A.x25+y24=1 B.x25+y23=1
C.x25+y22=1 D.x25+y2=1
7.(2022上海延安中学期末)椭圆x26+y22=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是 .
8.(2022广东广州期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,点P(2,1)
在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M是椭圆C上不同于P,Q的一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|·|OF|为定值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 当|PA|+|PB|=|AB|时,动点P的轨迹为线段AB,当|PA|+|PB|>|AB|时,动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,充分性不成立;由椭圆的定义可知必要性成立.故甲是乙的必要不充分条件,故选B.
2.C 由题意知a=4,由椭圆的定义知|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,∵|F2A|+|F2B|=10,∴|AB|=|F1A|+|F1B|=6.故选C.
3.A 依题意得椭圆C的焦点在x轴上,且c=3,b2=7,所以m=7+32=16,又因为|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=2m=8,所以|PF2|=5,故选A.
4.B 易知a2=16,所以a=4,因为点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a=8,所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=822=16,当且仅当|MF1|=|MF2|=4时等号成立,故|MF1|·|MF2|的最大值为16,故选B.
5.答案 x216+y212=1
解析 圆C的圆心为C(-2,0),半径r=8,由线段PA的中垂线交CP于点N,可得|NA|=|NP|,所以|NA|+|NC|=|NP|+|NC|=|CP|=8>|CA|=4,故点N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=8,2c=4,因此b2=a2-c2=12,所以点N的轨迹方程为x216+y212=1.
6.A ∵方程x2k-3+y25-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,∴k-3>0,5-k>0,k-3>5-k,解得47.A 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则925m+16n=1,1625m+9n=1,解得m=1,n=125,
∴椭圆的标准方程为y225+x2=1.故选A.
8.C 把x=-c代入椭圆方程,得y=±b2a,所以|AB|=2b2a=3,即b2a=32.易知D(0,b),F1(-c,0),所以|DF1|=b2+c2=2,即a=2,故b2=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.故选C.
9.答案 x29+y24=1
解析 根据题意知|PO|=95+165=5=c,
故F1(-5,0),F2(5,0).
∴|PF1|+|PF2|
=-5-3552+4552+5-3552+4552
=4+2=6=2a,∴a=3,∴b2=a2-c2=4,
∴椭圆的方程为x29+y24=1.
10.答案 y220+x24=1
解析 由题意知所求椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则c2=a2-b2=16①,把(3,-5)代入椭圆方程,得5a2+3b2=1②,由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
11.D 依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,解得212.D 由已知得a=5,b=3,椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),恰好是A,C两点,则|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10,由正弦定理可得sinA+sinCsin(A+C)=sinA+sinCsinB=|BC|+|BA||AC|=54,故选D.
13.D 由题意得c=a2-b2=4,则|F1F2|=2c=8,设点P(x0,y0),则x0225+y029=1,可得x02=25-259y02,
∴|OP|=x02+y02=25-169y02=4,∴y02=8116,∴|y0|=94,因此S△PF1F2=12|F1F2||y0|=12×8×94=9.故选D.
14.答案 -∞,-332∪332,+∞
解析 因为点P(n,1)在椭圆x29+y24=1外,所以n29+14>1,解得n<-332或n>332,故实数n的取值范围为-∞,-332∪332,+∞.
15.答案 120°
解析 由椭圆的标准方程知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,∴|F1F2|=27.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|=-12,
又∵0°≤∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
16.解析 (1)由题意得2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
∵c=3,∴F1(-3,0),F2(3,0),
∴PF1=(-3-x0,-y0),PF2=(3-x0,-y0),
∴PF1·PF2=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=x02+y02-3.
∵点P在椭圆C上,∴x024+y02=1,即y02=1-x024,
∴PF1·PF2=x02+y02-3=x02+1-x024-3≤14,
解得-3≤x0≤3,又∵x0>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,3].
17.解析 (1)设P(x,y),M(x1,y1),则N(x1,0),NP=(x-x1,y),NM=(0,y1).
∵点M在椭圆E上,∴x124+y122=1(*),
由NP=2NM,得x=x1,y=2y1,即x1=x,y1=22y,
代入(*)式,得x2+y2=4,
即点P的轨迹方程为x2+y2=4.
(2)假设存在点B(m,0)满足条件,
∵|BP|=2|AP|,∴(x-m)2+y2=2(x-1)2+y2,
即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,
由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4,
故2m-8=0,m2-4=12,解得m=4,
∴存在点B(4,0)满足条件.
能力提升练
1.B 不妨设F是椭圆C的右焦点,左焦点为F1,
则|PF1|+|PF|=2a.如图,在△PFF1中,O,M分别是FF1,PF的中点,∴|PF1|=2|OM|,|PF|=2|PM|,
∴|PF1|+|PF|=2|OM|+2|PM|=2a,即|OM|+|PM|=a,∴|MN|=|ON|-|OM|=a-(a-|PM|)=|PM|,
∴|MN|=|PM|=|MF|,∴N在以线段PF为直径的圆上,∴∠PNF=90°,故△PFN的形状是直角三角形.故选B.
2.A 由题意知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为7.设动圆C的半径为r,由动圆C满足与C1外切且与C2内切,知|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以动点C的轨迹是以C1和C2为焦点、8为长轴长的椭圆[除去点(-4,0)],如图,易得其方程为x216+y27=1(x≠-4),由椭圆的定义可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|,又因为|CM|-|CC2|≤|MC2|=2(当点C在MC2的延长线上时取等号),所以|CM|+|CC1|≤8+2,故选A.
3.CD 由已知得a=22,b=2,c=2,F1(-2,0),F2(2,0).不妨设P(m,n),m>0,n>0,
则S△F1PF2=12×2c×n=3,∴n=32,
∴m28+3224=1,∴m=142,∴P142,32,
∴|PF1|2=142+22+94=394+214,|PF2|2=142-22+94=394-214,|F1F2|2=16,
∴|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=72>0,
∴cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|>0,
∴∠F1PF2<π2,故A,B错误;
△F1PF2的周长为2a+2c=42+4,故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,则12r·(42+4)=3,
∴r=322-32,故D正确.故选CD.
4.答案 12
解析 设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,∵F1,D分别是MA,MN的中点,∴|DF1|=12|AN|,同理|DF2|=12|BN|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),∵点D在椭圆上,∴|DF1|+|DF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.
5.C 易得c=a2-b2=6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=r12+r22-2r1r2cs 60°,即144=r12+r22-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=400-3r1r2,则r1r2=2563,所以S△PF1F2=12r1r2sin 60°=12×2563×32=6433.设点P到x轴的距离为d,则S△PF1F2=12×|F1F2|×d=6d,故6d=6433,解得d=3239.故选C.
6.A 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,△F2AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=45,所以a=5,所以椭圆E:x25+y2b2=1.不妨令点A在第一象限,C是F1A的中点,则Ac,b25,所以C0,b225,又因为F1是BC的中点,所以B-2c,-b225,把点B的坐标代入椭圆E的方程,得4c25+b420b2=1,化简得b2=20-16c2,又因为b2=5-c2,所以c2=1,b2=4.所以椭圆E的方程为x25+y24=1.故选A.
7.答案 (-3,3)
解析 由已知得c=2,不妨令F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则x026+y022=1,即y02=2-13x02,F1P=(x0+2,y0),F2P=(x0-2,y0),当∠F1PF2为钝角时,F1P·F2P=(x0+2)(x0-2)+y02=x02-4+2-13x02=23x02-2<0,解得-38.解析 (1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2,则椭圆C:x24+y2b2=1.
将点P(2,1)的坐标代入x24+y2b2=1,得24+1b2=1,∴b2=2,∴椭圆C的方程是x24+y22=1.
(2)证明:由点P,Q关于x轴对称,得Q(2,-1).
设M(x0,y0),则有x02+2y02=4,x0≠2,y0≠±1.
直线MP的方程为y-1=y0-1x0-2(x-2),
令y=0,得x=2y0-x0y0-1,∴|OE|=2y0-x0y0-1.
直线MQ的方程为y+1=y0+1x0-2(x-2),
令y=0,得x=2y0+x0y0+1,∴|OF|=2y0+x0y0+1.
∴|OE|·|OF|=2y0-x0y0-1·2y0+x0y0+1=2y02-x02y02-1=2y02-(4-2y02)y02-1=4,
∴|OE|·|OF|为定值.