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初中北师大版（2024）3 相似多边形精品达标测试
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这是一份初中北师大版（2024）3 相似多边形精品达标测试，文件包含专题12相似多边形2个知识点2种题型1种中考考法原卷版docx、专题12相似多边形2个知识点2种题型1种中考考法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.相似多边形的定义（重点）
知识点2.相似多边形的性质及判定（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.相似多边形性质的应用
题型2.相似多边形的判定
【方法四】 仿真实战法
考法. 相似多边形的判定
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
了解相似多边形和相似比的定义。
会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。
掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.相似多边形的定义（重点）
1.相似多边形的定义：各角分别对应相等；各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。
如果五边形ABCDEG与五边形相似，记住五边形ABCDEG五边形
数学表达式：如图：“”读作“相似于”
2相似比：相似多边形对应边之比叫做相似比
特别提醒：
（1）两个全等多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定是全等多边形；
（2）相似多边形相似比为1时，是全等多边形，即全等多边形是相似比为1的相似多边形；
（3）求两个相似多边形的相似比时，只求其对应边之比即可。
【例1】下列各组四边形中是相似多边形的是（）
（A）一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形
（B）有一个内角为的两个菱形
（C）边长分别为厘米和厘米的两个菱形
（D）两个高相等的等腰梯形
【变式】如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似
知识点2.相似多边形的性质及判定（重点）
相似多边形的定义既是它的判定方法，又是它的性质：
1.判定方法：如果两个多边形各角分别对应相等；各边对应成比例，则这两个多边形是相似多边形；
2.性质：相似多边形各角分别对应相等；各边对应成比例。
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．
注意！！！
判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。
学法指导：
在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。
【例2】在菱形与菱形中，，这两个菱形相似吗？为什么？
【例3】已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数．
【变式】如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．
【方法二】实例探索法
题型1.相似多边形性质的应用
1.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，四边形∽四边形，若，，，则 ．
3.如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点．
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为______．
4.如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式．
题型2.相似多边形的判定
5.某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
6．（2023秋·全国·九年级随堂练习）如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
8．（2023·江苏·九年级专题练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【方法三】 仿真实战法
考法. 相似多边形的判定
1．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·安徽蚌埠·九年级统考期末）下列说法正确的有个（ ）
（1）任意两个矩形都相似 （2）任意两个正方形都相似
（3）任意两个等边三角形都相似 （4）任意两个菱形都相似．
A．0B．1C．2D．3
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·九年级课时练习）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个矩形剪去一个正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形四边形，若 ，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）将不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，变化前后的两个图形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列多边形一定相似的是 （ ）
A．两个菱形B．两个平行四边形C．两个矩形D．两个正方形
8．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenm Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023秋·九年级课前预习）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 ．
12．（2023·陕西西安·校考模拟预测）书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，即同一系列的纸张长与宽的比均相同．将如图所示的纸张沿长边对折裁剪，得到两张A1型号纸张．若A1与原纸张属同一系列纸张，则该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为 ．
13．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则 ．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知四边形四边形，，，，则 ．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
16．（2023秋·九年级课时练习）已知五边形五边形，，，，，则 ．
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 ．
18．（2023秋·九年级课时练习）如图，矩形的对称轴交于点E，交于点F．若矩形与矩形相似，则的值为 ．
三、解答题
19．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形．
解决问题：
（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
（2）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
21．（2023秋·全国·九年级课堂例题）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，求证：．
23．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形．
(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空）
请你继续解决下列问题：
(2)当矩形的长和宽分别为7和 1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；
(3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
24．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1,2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由;
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由.
25．（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
26．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.相似多边形的定义（重点）
知识点2.相似多边形的性质及判定（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.相似多边形性质的应用
题型2.相似多边形的判定
【方法四】 仿真实战法
考法. 相似多边形的判定
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
了解相似多边形和相似比的定义。
会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。
掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.相似多边形的定义（重点）
1.相似多边形的定义：各角分别对应相等；各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。
如果五边形ABCDEG与五边形相似，记住五边形ABCDEG五边形
数学表达式：如图：“”读作“相似于”
2相似比：相似多边形对应边之比叫做相似比
特别提醒：
（1）两个全等多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定是全等多边形；
（2）相似多边形相似比为1时，是全等多边形，即全等多边形是相似比为1的相似多边形；
（3）求两个相似多边形的相似比时，只求其对应边之比即可。
【例1】下列各组四边形中是相似多边形的是（）
（A）一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形
（B）有一个内角为的两个菱形
（C）边长分别为厘米和厘米的两个菱形
（D）两个高相等的等腰梯形
【变式】如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似
知识点2.相似多边形的性质及判定（重点）
相似多边形的定义既是它的判定方法，又是它的性质：
1.判定方法：如果两个多边形各角分别对应相等；各边对应成比例，则这两个多边形是相似多边形；
2.性质：相似多边形各角分别对应相等；各边对应成比例。
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．
注意！！！
判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。
学法指导：
在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。
【例2】在菱形与菱形中，，这两个菱形相似吗？为什么？
【例3】已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数．
【变式】如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．
【方法二】实例探索法
题型1.相似多边形性质的应用
1.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，四边形∽四边形，若，，，则 ．
3.如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点．
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为______．
4.如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式．
题型2.相似多边形的判定
5.某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.
6．（2023秋·全国·九年级随堂练习）如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
8．（2023·江苏·九年级专题练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【方法三】 仿真实战法
考法. 相似多边形的判定
1．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·安徽蚌埠·九年级统考期末）下列说法正确的有个（ ）
（1）任意两个矩形都相似 （2）任意两个正方形都相似
（3）任意两个等边三角形都相似 （4）任意两个菱形都相似．
A．0B．1C．2D．3
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·九年级课时练习）把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个矩形剪去一个正方形，剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形四边形，若 ，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）将不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，变化前后的两个图形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列多边形一定相似的是 （ ）
A．两个菱形B．两个平行四边形C．两个矩形D．两个正方形
8．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenm Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023秋·九年级课前预习）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 ．
12．（2023·陕西西安·校考模拟预测）书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，即同一系列的纸张长与宽的比均相同．将如图所示的纸张沿长边对折裁剪，得到两张A1型号纸张．若A1与原纸张属同一系列纸张，则该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为 ．
13．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则 ．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知四边形四边形，，，，则 ．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
16．（2023秋·九年级课时练习）已知五边形五边形，，，，，则 ．
17．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 ．
18．（2023秋·九年级课时练习）如图，矩形的对称轴交于点E，交于点F．若矩形与矩形相似，则的值为 ．
三、解答题
19．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形．
解决问题：
（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
（2）边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
21．（2023秋·全国·九年级课堂例题）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？
22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形菱形，连接，求证：．
23．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形就是矩形ABCD的“减半”矩形．
(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得，∵，∴___________，___________；∴满足要求的矩形B存在；（完成填空）
请你继续解决下列问题：
(2)当矩形的长和宽分别为7和 1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由；
(3)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
24．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1,2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由;
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由.
25．（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
26．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
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