初中数学北师大版（2024）九年级上册2 用配方法求解一元二次方程精品同步达标检测题

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倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）
知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）
知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
题型2：用配方法解一元二次方程
题型3：用配方法求字母的值
题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
题型6：用配方法判断三角形的形状
题型7：利用配方法解决有关新定义问题
【方法三】 差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
【方法四】 仿真实战法
考法1：解一元二次方程-直接开平方法
考法2：解一元二次方程-配方法
考法3：换元法解一元二次方程
考法4：配方法的应用
【方法五】 成果评定法
【知识导图】
【倍速学习四种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
【例1】（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（ ）
A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4
知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
【例2】用配方法解一元二次方程.
【例3】如何用配方法解方程
知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）
一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题都可以利用配方法或直接开平方法来解决。
注意：一定要检验所得的根是否符合实际意义
【例4】（2023•定远县校级三模）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．
∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；
∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．
（1）①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为 ．
②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为 ．
（2）延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为Sm2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【方法二】实例探索法
题型1：用直接开平方法解一元二次方程
解方程(x-3)2=49．
2.解关于的方程：．
3.解关于的方程：．
4.解关于的方程：．
5.解关于的方程：．
6.解关于的方程： ．
7.解关于的方程：．
题型2：用配方法解一元二次方程
8.用配方法解方程：．
9.用配方法解方程：．
10.用配方法解方程：．
11.用配方法解方程：．
12.用配方法解方程：．
13.用配方法解方程：．
14.用配方法解关于x的方程：．
题型3：用配方法求字母的值
15.若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则．
16.已知，求的值．
题型4：用配方法求代数式的最大（最小）值
17．（2023春•苏州月考）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0且n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．
（2）求代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．
18．（2022秋•淮安区校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．
所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．
所以m+n＝0，n﹣3＝0．
所以m＝﹣3，n＝3．
问题：
（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．
19．（2023•桐乡市一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
（1）尝试：①当x＝﹣2，y＝1时，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．
②当x＝1，y＝2时，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．
③当x＝2，y＝2.5时，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．
④当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y2 2xy．
（2）归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：求代数式的最小值．
题型5：直接开平方法在实际生活中的应用
20．（2022秋•高州市期末）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当a取不同的实数时，求代数式a2﹣4a的最小值．
（2）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
21．（2022秋•洛阳期末）【阅读材料】
若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+4＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣4，y＝3．
【解决问题】
（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
22．（2022秋•广水市期末）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1
因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，
因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
（1））当x＝ 时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值为 ．
（2）当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
（3）当x，y何值时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？
（4）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．
题型6：用配方法判断三角形的形状
23.已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两根，当k为何值时，△ABC是等腰三角形？
24．（2023春•庄浪县期中）若三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．
题型7：利用配方法解决有关新定义问题
25．（2022秋•通川区期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），求mn的值；
（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
26．（2023春•江都区月考）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）数11 “完美数”（填“是”或“不是”）；数53 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝ ；
【拓展提升】
（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
27．（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式 ；
（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝ ；
探究问题：
（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝ ；
（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数x、y满足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．
【方法三】差异对比法
易错点1混淆方程配方与代数式配方
28.若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则．
易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误
29.如何用配方法解方程
【方法四】 仿真实战法
考法1．解一元二次方程-直接开平方法
30．（2020•扬州）方程（x+1）2＝9的根是 ．
考法2：解一元二次方程-配方法
31．（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25
考法3：换元法解一元二次方程
32．（2002•南京）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果设x2﹣x＝y，那么原方程变为 ．
考法4：配方法的应用
33．（2018•泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·江苏·九年级假期作业）下列配方有错误的是（ ）
A．，化为
B．，化为
C．，化为
D．，化为
2．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）在解方程时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
A．两人都正确B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确D．两人都不正确
5．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）用配方法解方程时、配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）一元二次方程的解为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2013B．2014C．2015D．2016
8．（2023·安徽·九年级专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
二、填空题
9．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）方程的根是 ．
10．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）将配方成形式，则 ．
11．（2023·全国·九年级假期作业）把方程用配方法化为的形式，则的值是 ．
12．（2023·全国·九年级假期作业）已知一元二次方程的两根为、，且，则的值为 ．
13．（2022秋·广东清远·九年级统考期中）已知方程，则此方程的解为 ．
14．（2020秋·广东广州·九年级广州六中校考阶段练习）若，则代数式的值为 ．
15．（2022秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）一元二次方程的根是 ．
16．（2023·全国·九年级专题练习）若（为实数），则的最小值为 ．
三、解答题
17．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）解方程：
18．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）选取最恰当的方法解方程：
(1) (2)
19．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
20．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：．
21．（2023·全国·九年级假期作业）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值，
解：
∵，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求的最小值．
(4)已知，则的值为______．
22．（2022秋·江苏·九年级专题练习）数学课上,老师展示了这样一段内容．
问题 求式子的最小值．
解:原式:
∵,
∴,
即原式的最小值是2．
小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？
（1）小丽写出了一些二次三项式:
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥．
经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;
（2）小明写出了如下 3 个二次多项式:
①;
②;
③．
请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．
说明:①②③的满分分值分别为 3 分､4 分､5 分;若选多个作答,则以较低分计分．
23．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
24．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
25．（2023·江苏·九年级假期作业）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：；
②选取二次项和常数项配方：，或
③选取一次项和常数项配方：
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？