人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程导学案

这是一份人教版（2024）八年级上册15.3 分式方程导学案，共20页。


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TOC \ "1-3" \h \z \u 探究1 分式方程的定义 PAGEREF _Tc172271248 \h 2
探究2 解分式方程 PAGEREF _Tc172271249 \h 4
探究3 分式方程的应用 PAGEREF _Tc172271250 \h 6
探究4 分式方程的增根问题 PAGEREF _Tc172271251 \h 9
探究1 分式方程的定义
1．分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的重要特征：
①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
【例1】 （2024春•普陀区期末）下列关于的方程中，属于分式方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可．
【解答】解：中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；
中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；
中方程不是有理方程，则不符合题意；
中方程符合分式方程的定义，则符合题意；
故选：．
【例2】 （2024春•泗县月考）下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【解答】解：②，④是分式方程；
①，③是一元一次方程；
所以是分式方程的是②④，
故选：．
【例3】 （2024春•新宁县期末）有下列方程：①，②，③为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②．
【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：①方程的分母中不含有未知数，不是分式方程；
②方程的分母中含有未知数，是分式方程；
③方程为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程；
所以分式方程有②．
故答案为：②．
1．判断一个方程是否为分式方程，不能用等式的基本性质对方程进行变形后再判断．
2．方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．分母中含有字母的方程未必是分式方程．
3．分式方程与整式方程的区别与联系：
分式方程
整式方程
区别
分母中含有未知数
分母中不含有未知数
联系
分式方程可以转化为整式方程
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
探究2 解分式方程
1．解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
2．解分式方程的一般方法和步骤：
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
【例4】 （2024•文昌模拟）分式方程的解为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘，得，
解得，
检验：把代入，
所以原方程的解为：．
故选：．
【例5】 （2024•河北一模）若分式与的值相等，则的值不可能是
A．B．0C．D．
【答案】
【分析】根据题意得，解得，再根据分式有意义的条件，得出，即，求解即可．
【解答】解：由题得：，解得．
又，，则．
故选：．
【例6】 （2024•江宁区校级三模）解方程：．
【答案】．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【解答】解：，
，
，
，
经检验为原方程的根．
1．解分式方程的两种方法：
①换元法
（1）第一步：把某个分式看作一个“整体”，用另一个字母（新元）表示出来．
（2）第二步：先解关于该字母的方程得到“整体”的值．
（3）第三步：解分式方程求得未知数的值．
②裂项法
应用等式，将式子中的每个分式进行分解，然后重新组合，目的是消去一些分式，最终剩下首尾两项差的形式．
2．检验方程的解的方法：
（1）直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．
（2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
探究3 分式方程的应用
1．分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
2．在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
【例7】 （2024•内蒙古），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
A．60，30B．90，120C．60，90D．90，60
【答案】
【分析】设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，利用工作时间工作总量工作效率，结合型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即型机器人每小时搬运化工原料的质量），再将其代入中，即可求出型机器人每小时搬运化工原料的质量．
【解答】解：设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
型机器人每小时搬运90千克化工原料，型机器人每小时搬运60千克化工原料．
故选：．
【例8】 （2024春•太湖县月考）巢马城际铁路某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建，经调查，甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍，若甲、乙两工程队共同完成该工程需要20天，则乙工程队单独完成该工程的时间是
A．30天B．35天C．40天D．60天
【答案】
【分析】设乙工程队单独完成该工程的时间为天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据两个工程队共同干，每天完成整个工程的，列出方程，解方程即可．
【解答】解：设乙工程队单独完成该工程的时间为天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，
即乙工程队单独完成该工程的时间是30天，
故选：．
【例9】 （2024春•和平区期末）2024年6月2日沈阳和河半程马拉松比赛成功举行，各位跑友齐聚沈阳市和平区，以跑者之势再现运动之美．小阳参与“半程马拉松”（约项目，前以原计划平均速度完成，之后身体竞技状态下降，以的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚到达目的地，则小阳前的平均速度为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可列，求解即可．
【解答】解：根据题意可知，，即：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故选：．
1．在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．
2．合理设定未知数，一般情况下，求什么就设什么，即设直接未知数；在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．
3．检验这一步必须在解答过程中体现出来，不能省略，但如果并非增根需要舍去的时候，可以不必写出检验的过程，只写“经检验，××是原方程的解，且符合题意”即可．
4．“无解”隐含了两种情况，一是求出的x值是分式方程化成整式方程的解，但是这个解使最简公分母的值为0；二是所化成的整式方程无解，所以原分式方程无解．
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
探究4 分式方程的增根问题
1．分式方程的增根的定义：分式方程转化为整式方程，是整式方程的解，且使分式方程的分母等于0的未知数的值，就叫做分式方程的增根．
2．解分式方程产生增根的原因：
在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
【例10】 （2024•东昌府区模拟）若关于的分式方程有增根，则的值是
A．1B．C．2D．
【答案】
【分析】根据增根的定义可得出，然后去分母得出：，把代入得，即可得出的值．
【解答】解：分式方程有增根，，
原方程去分母可得：，
把代入可得：，
解得：．
故选：．
【例11】 （2024春•潜山市期末）若关于分式方程，有增根，则的值为
A．2B．C．4D．
【答案】
【分析】先把分式方程去分母可得，再把分式方程的增根代入进行计算即可．
【解答】解：去分母，得，
化简得，
关于分式方程有增根，
增根为，
把代入，得，
故选：．
【例12】 （2024春•徐州期末）若关于的分式方程有增根，则实数的值是 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【解答】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故答案为：5．
1．分式方程的增根必须满足两个条件：
（1）增根使最简公分母为0；
（2）增根是分式方程化成的整式方程的根．
2．有增根求参数的方法：
①求使分母为零的未知数的值（有几个是几个） ；
②把分式方程转化为整式方程；
③逐个把增根带入整式方程，分别求参数的值．
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
牛刀小试
1．（2024•八步区三模）下列式子中，是分式方程的是
A．B．
C．D．
2．（2023秋•宣化区期末）在①；②；③；④；⑤中，分式方程有
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2024春•四川期末）若关于的分式方程的解是正数，则实数的取值范围是
A．B．且C．D．且
4．（2024•中山市校级一模）已知关于的方程的解是，则的值为
A．2B．1C．D．
5．（2024•海南模拟）方程的解为
A．B．C．D．
6．（2024•新宾县模拟）将方程去分母，两边同乘后的式子为
A．B．C．D．
7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中较小的值，如，，按照这个规定，方程，的解为
A．或2B．2C．D．无解
8．（2024春•浦东新区校级期末）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为
A．B．C．D．
9．（2024春•市南区期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
10．（2024春•新城区期末）若关于的方程有增根，则的值是
A．B．1C．或1D．0或1
11．（2024春•珠晖区校级月考）甲车行驶与乙车行驶所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶．设甲车的速度为 ，依题意，下列所列方程正确的是
A．B．C．D．
12．（2024•潍坊一模）某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为千米时，则可列方程为
A．B．
C．D．
13．（2024•德州模拟）新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是
A．B．C．D．
14．（2024•肇源县二模）春节期间，文具店的一种笔记本8折优惠出售．某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，春节期间正好可比春节前多买一本．这种笔记本春节期间每本的售价是
A．2元B．3元C．2.4元D．1.6元
15．（2024春•徐汇区期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ．
参考答案
1．【答案】
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误；
、不是方程，故不是分式方程，故本选项错误；
、方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故本选项正确；
、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
【解答】解：③；④是分式方程，共2个，
故选：．
3．【答案】
【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使其解为正数，确定的取值范围，再根据分式方程增根的定义，进一步确定的取值范围即可．
【解答】解：将分式方程的两边都乘以得，
，
解得，
由于分式方程的解为正数，即，
所以，
解答，
又因为分式方程的增根是，
当时，即，
解得，
因此，
综上所述的取值范围为且．
故选：．
4．【答案】
【分析】将代入方程，即可求的值．
【解答】解：关于的方程的解是，
，
解得，
经检验是方程的解．
故选：．
5．【答案】
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘，得，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据分式方程的解法，两过同乘，化简分式方程即可．
【解答】解：，
，
故选：．
7．【答案】
【分析】分两种情况，即和，根据新定义列方程求解，检验即可．
【解答】解：①当时，有，
，，
即，
解得（不合题意舍去）；
②当时，有，
，，
即，
解得（不合题意舍去）；
综上所述，方程，无解，
故选：．
8．【答案】
【分析】根据题意，化简方程，即可求解．
【解答】解：设，原方程可化为，
即，
故选：．
9．【答案】A
【分析】根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义进行计算即可．
【解答】解：将关于x的分式方程＝﹣2两边都乘以x+1，得
x＝m﹣2x﹣2，
解得x＝，
由于分式方程的增根是x＝﹣1，
当x＝﹣1时，即﹣1＝m+2﹣2，
解得m＝﹣1，
由于方程有增根无解，
所以m＝﹣1．
故选：A．
10．【答案】
【分析】根据分式方程有增根的意义进行解答即可．
【解答】解：关于的分式方程去分母得，，
分式方程有增根，
所以，
解得，
故选：．
11．【答案】
【分析】根据题意得乙车的速度为，结合甲车行驶与乙车行驶所用的时间相同即可求解．
【解答】解：甲车的速度为 ，
乙车的速度为，
甲车行驶与乙车行驶所用的时间相同，
，
故选：．
12．【答案】
【分析】根据大巴车原计划的速度与实际速度间的关系，可得出大巴车实际的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合实际比原计划少用10分钟，即可列出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：途中大巴车平均每小时比原计划多走，且大巴车原计划的平均速度为千米时，
大巴车实际的平均速度为千米时．
根据题意得：．
故选：．
13．【答案】
【分析】设两台汽车的续航里程是千米，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元列等式求解即可得到答案．
【解答】解：设两台汽车的续航里程是千米，
由题意可得，，
解得：，
经检验是方程的解，
故选：．
14．【答案】
【分析】设这种笔记本节日前每本的售价是元，由“12元钱购买这种笔记本，节日期间正好可比节日前多买一本”可列出方程．
【解答】解：设这种笔记本节日前每本的售价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
（元，
答：这种笔记本节日期间每本的售价是2.4元，
故选：．
15．【答案】．
【分析】设，则，根据换元法整理成整式方程即可．
【解答】解：设，则，则原方程可变形为：，即为．
故答案为：．