重庆市渝北八中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末经典试题【含解析】

这是一份重庆市渝北八中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末经典试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，在分式，，，中，最简分式有，下列计算，正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．要使分式有意义，则x的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分）是轴对称图形，其中涂法有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
5．满足下列条件的不是直角三角形的是
A．三边之比为1：2：B．三边之比1：：
C．三个内角之比1：2：3D．三个内角之比3：4：5
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 |a| + 的结果是 ( )
A．－2a + bB．2a－bC．－bD．b
7．在分式，，，中，最简分式有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是（ ）
A．B．C．D．
9．下列计算，正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．两个三角形如果具有下列条件：①三条边对应相等；②三个角对应相等；③两条边及它们的夹角对应相等；④两条边和其中一边的对角相等；⑤两个角和一条边对应相等，那么一定能够得到两个三角形全等的是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤
12．当k取不同的值时，y关于x的函数y=kx+2（k≠0）的图象为总是经过点（0，2）的直线，我们把所有这样的直线合起来，称为经过点（0，2）的“直线束”．那么，下面经过点（﹣1，2）的直线束的函数式是（ ）
A．y=kx﹣2（k≠0）B．y=kx+k+2（k≠0）
C．y=kx﹣k+2（k≠0）D．y=kx+k﹣2（k≠0）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．函数的自变量的取值范围是___________
14．若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为_____．
15．新型冠状病毒是一种形状为冠状的病毒，其直径大约为，将用科学记数法表示为______．
16．一组数据4，，，4，，4，，4中，出现次数最多的数是4，其频率是__________．
17．如图，y＝k1x+b1与y＝k2x+b2交于点A，则方程组的解为______．
18．当x_________时，分式分式有意义
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，已知直线AO与直线AC的表达式分别为：和．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）若点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，MN=OA，求点N的坐标；
（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO+∠BCO的大小．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是边BC上的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E．
（1）求证：PD＝PE；
（2）若AB＝6cm，∠BAC＝30°，请直接写出PD+PE＝ cm．
21．（8分）我县电力部门实行两种电费计价方法，方法一是使用峰谷电：每天8:00至22:00用电每千瓦时收费0.56元（峰电价）；22:00到次日8:00，每千瓦时收费0.28元（谷电价），方法二是不使用峰谷电：每千瓦时均收费0.53元
（1）如果小林家使用峰谷电后，上月付费95.2元，比不使用峰谷电少付费10.8元，则上月使用峰电和谷电各是多少千瓦时？
（2）如果小林家上月总用电量140千瓦时，那么当峰电用量为多少时，使用峰谷电比较合算．
22．（10分）已知：如图，AB=DE，AB∥DE，BE=CF，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：AC∥DF．
23．（10分）建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.
模型应用：
(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.
24．（10分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；并写出的坐标；
（2）是直角三角形吗？说明理由．
25．（12分）如图，一次函数y=kx+b的图象经过(2,4)、(0,2)两点，与x轴相交于点C．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2）△AOC的面积．
26．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
2、C
【详解】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.
3、A
【分析】根据分式分母不为0的条件进行求解即可.
【详解】由题意得
x-1≠0，
解得：x≠1，
故选A.
4、D
【分析】
根据对折后能够完全重合的图形是轴对称图形，可作出轴对称图形．
【详解】
根据对折后能够完全重合的图形是轴对称图形，可作出如下图：
因此共9种．
故选D
考点：轴对称图形
5、D
【解析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
B、，三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、根据三角形内角和定理，求得第三个角为90°，所以此三角形是直角三角形；
D、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
6、A
【分析】直接利用数轴得出a＜0，a−b＜0，进而化简得出答案．
【详解】由数轴可得：a＜0，a−b＜0，
则原式＝−a−（a−b）＝b−2a．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．
7、B
【分析】利用最简分式的定义判断即可得到结果．
【详解】=,,则最简分式有2个，
故选：B．
【点睛】
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
8、D
【分析】把还原成一般的数，就是把1.49的小数点向左移动4位．
【详解】这个数原来的数是cm
故选：D
【点睛】
此题主要考查了科学记数法-原数，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＜0时，|n|是几，小数点就向左移几位．
9、B
【解析】解：A．，故A错误；
B．，正确；
C．，故C错误；
D．，故D错误．
故选B．
10、D
【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴实数a的取值范围为：a-1≠0，
解得：a≠1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
11、C
【解析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
【详解】①三条边对应相等，可利用SSS定理判定两个三角形全等；
②三个角对应相等，不能判定两个三角形全等；
③两条边及它们的夹角对应相等，可以利用SAS定理判定两个三角形全等；
④两条边和其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等；
⑤两个角和一条边对应相等利用AAS定理判定两个三角形全等.
故选：C.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.
12、B
【解析】把已知点（﹣1，2）代入选项所给解析式进行判断即可．
【详解】在y=kx﹣2中，当x=﹣1时，y=﹣k﹣2≠2，故A选项不合题意，
在y=kx+k+2中，当x=﹣1时，y=﹣k+k+2=2，故B选项符合题意，
在y=kx﹣k+2中，当x=﹣1时，y=﹣k﹣k﹣2=﹣2k﹣2≠2，故C选项不合题意，
在y=kx+k﹣2中，当x=﹣1时，y=﹣k+k﹣2=﹣2≠2，故D选项不合题意，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据二次根式的性质和分母的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的取值范围．
【详解】由题意得

解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和分母的意义，掌握被开方数大于或等于0，分母不等于0是解题的关键．
14、2＜a＜2．
【分析】根据三角形的三边关系，可得① ，②；分别解不等式组即可求解．
可得：2＜a＜2．
【详解】解：∵△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+2，AC＝3a﹣2，
∴①，
解得2＜a＜2；
②，
解得a＞2，
则2a+2＜3a﹣2．
∴2＜a＜2．
故答案为：2＜a＜2．
【点睛】
须牢记三角形的三边关系为：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
15、
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000102=1.02×10-1，
故答案为：1.02×10-1．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16、0.5
【分析】根据频率=某数出现的次数÷数字总数，4在这组数据中出现了4次，这组数据总共有8个数字，代入公式即可求解．
【详解】解：4÷8=0.5
故答案为：0.5
【点睛】
本题主要考查的是频率的计算，正确的掌握频率的计算公式，将相应的数据代入是解本题的关键．
17、
【解析】试题解析：∵与交于点
∴二元一次方程组的解为
故答案为
18、≠-1
【分析】分式有意义使分母不为0即可．
【详解】分式有意义x+1≠0，
x≠-1．
故答案为：≠-1．
【点睛】
本题考查分式有意义的条件问题，掌握分式有意义的知识分母不为零，会用分式有意义列不等式，会解不等式是关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）A点的坐标为（4，2）；（2）N的坐标为（），（）；（3）∠ACO+∠BCO=45°
【分析】（1）利用直线AO与直线AC交点为A即可求解；
（2）先求出MN的长，再设设M的坐标为（a，2a-6），则则N的坐标为（a，），表示出MN的长度解方程即可；
（3）作∠GCO=∠BCO，把∠ACO+∠BCO转化成∠ACG。题目条件没出现具体角度，但结论又要求角度的，这个角度一定是一个特殊角，即∠ACG的度数一定是个特殊角；即∠ACG处于一个特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的辅助线思路，运用勾股定理知识即可解答．
【详解】（1）联立和得：
解得
A点的坐标为（4，2）；
（2）∵A点的坐标为（4，2）
∴OA=，
∴MN=OA=2，
∵点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，
∴设M的坐标为（a，2a-6），则N的坐标为（a，），
则存在以下两种情况：
①当M在N点下方时，如图3，
则MN=-（2a-6）=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
②当M在N点上方时，如图4，
则MN=（2a-6）-=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
综上所述，N的坐标为（），（）
（3）∵△BOC与△AOC有相同的底边OC，
∴当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，△BOC的高OB的长度是△AOC的高的一半，
∴OB=2，
设直线AC与x轴的交点为点D，则D（3，0），
作点B关于y轴的对称点G，则OG=0B=2，GD=5，∠BCO=∠GCO，
则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，
连接GC，作DE⊥GC于点E，如图5
由勾股定理可得：GC=，DC=，
在△CGD中，由等面积法可得：OC•DG=DE•GC，
可得DE=，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=，
∴ED=EC，∴∠ECD=45°，即∠ACO+∠BCO=45°．
【点睛】
本题考查一次函数的综合运用，坐标结合勾股定理计算边长是解题的关键.
20、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据等腰三角形性质可知，再由“AAS”可证△PDB≌△PEC，可得PD＝PE；
（2）由直角三角形的性质可得CH＝1cm，由S△ABC＝S△ABP+S△ACP，可求解．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵点P是边BC上的中点，
∴PB＝PC，且∠B＝∠C，∠PDB＝∠PEC＝90°，
∴△PDB≌△PEC(AAS)
∴PD＝PE；
（2）过点C作于H，连接AP，
，，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及了面积法求高、10°直角三角形的性质等知识点．利用面积法列出等式是本题的关键．
21、（1）上月使用“峰电”和“谷电”各140千瓦时、60千瓦时；（2）当“峰电“用量不超过1千瓦时，使用“峰谷电”比较合算．
【分析】（1）设该家庭上月使用峰电x千瓦时，谷电y千瓦时，根据“电费95.2元”，比不使用“峰谷”的电费少付费10.8元作为相等关系列方程组，求解即可；
（2）设“峰电“用量为z千瓦时时，根据不等式关系：使用“峰谷电”的电费≤不使用“峰谷电”的电费，列出不等式计算即可求解．
【详解】解：（1）设该家庭上月使用“峰电”x千瓦时，“谷电”y千瓦时，则总用电量为（x+y）千瓦时．
由题意得，
解得，
答：上月使用“峰电”和“谷电”各140千瓦时、60千瓦时；
（2）设当“峰电“用量为z千瓦时时，使用“峰谷电”比较合算，依题意有
0.56z+0.28（140-z）≤140×0.53，
解得z≤1．
答：当“峰电“用量不超过1千瓦时，使用“峰谷电”比较合算．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量（不等）关系，列出方程组，再求解．
22、详见解析
【解析】首先利用平行线的性质∠B=∠DEF，再利用SAS得出△ABC≌△DEF，得出∠ACB=∠F，根据平行线的判定即可得到结论．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
又∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
23、（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、.
【分析】（1）①过C作CD垂直于x轴构造“一线三垂直”，再根据全等三角形的性质求解即可；②点C有四处，分别作出图形，根据“一线三垂直”或对称求解即可；（2）当点G为直角顶点时，分点G在矩形MFNO的内部与外部两种情况构造“一线三垂直”求解即可．
【详解】（1）①如图，过C作CD垂直于x轴，
根据“一线三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，
∵点A（0，4)，点B(3，0），∴AO=4，OB=3 ，
∴OD=3+4=7，
∴点C的坐标为（7,3）；
②如图，若AB为直角边，点C的位置可有4处，
a、若点C在①的位置处，则点C的坐标为（7,3）；
b、若点C在的位置处，同理可得，则点的坐标为（4,7）；
c、若点C在的位置处，则、关于点A对称，
∵点A（0，4)，点（4,7），∴点的坐标为（-4,1）；
d、若点C在的位置处，则、C关于点B对称，
∵点B(3，0），点C（7,3），∴点的坐标为（-1,-3）；
综上，点C的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；
（2）当点G位于直线y=2x-6上时，分两种情况：
①当点G在矩形MFNO的内部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF于点B，设G（x，2x-6）；
则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；
则△MAG≌△GBP，得AM =BG，
即：12-2x=8-x，解得x=4，
∴G（4，2）；
当点G在矩形MFNO的外部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF的延长线于点B，设G（x，2x-6）；
则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；
则△MAG≌△GBP，得AM =BG，
即：2x-12=8-x，解得，
∴G ；
综上，G点的坐标为（4，2）、.
【点睛】
本题考查的是一次函数综合题，涉及到点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大．
24、（1）图见解析，C1（5，2）（2）是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）直接根据轴对称的性质画出，并写出的坐标；
（2）根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）如图所示，为所求， C1（5，2）；
（2）AB=，AC=，BC=，
∵AB2=AC2+BC2
∴是直角三角形．
【点睛】
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点及勾股定理是解答此题的关键．
25、（1）y=x+2；（2）1
【分析】（1）由图可知、两点的坐标，把两点坐标代入一次函数即可求出的值，进而得出结论；
（2）由点坐标可求出的长再由点坐标可知的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：
（1）由图可知、，
，
解得，
故此一次函数的解析式为：；
（2）由图可知，
，，
，，
．
答：的面积是1．
【点睛】
此题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，先根据一次函数的图象得出、、三点的坐标是解答此题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）．
【解析】试题分析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，由“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
试题解析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
考点：因式分解的应用；新定义；因式分解；阅读型．