第4章 立体几何（单元重点知识测试）-【中职专用】高二数学同步课堂（高教版2021·拓展模块一上册）

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第一单元 充要条件（单元测试）一、选择题（每小题4分，共40分）1．在长方体中，，，，则和所成的角是（    ）A．60° B．45° C．30° D．90°【答案】A【分析】根据可知即为和所成的角.【详解】如图所示：易知，所以和所成的角，即为和所成的角，在中，，所以.即和所成的角是.故选：A2．若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（    ）A．内存在一条直线与平行 B．内不存在与平行的直线C．内所有直线与异面 D．内所有直线与相交【答案】B【分析】根据线面位置关系逐一分析即可.【详解】若内存在一条直线与平行，则由和线面平行判定定理可知，与已知矛盾，故内不存在直线与平行，A错误，B正确；记，当内直线a过点A，则与a相交，C错误；当内直线b不过点A，则与b异面，D错误.故选：B  3．已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则（    ）A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°【答案】C【分析】由于角与角的两边分别平行，所以角与角相等或互补，从而可求得的值【详解】∵角与角的两边分别平行，∴与相等或互补，又，∴或150°.故选：C4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（    ）A．平行 B．直线在平面内C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内【答案】D【分析】分别讨论直线是否在其中的一个平面内，结合平行的传递性和面面平行的性质即可求解.【详解】设这两个平面为，，直线，且，如果，由，，可得，即直线平行于另一个平面；如果，由可知，，满足题意，则直线可以在另一个平面内.故选：D.5．空间中，，是两条不同直线，是平面，有下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．则正确的命题个数是（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由空间中的线面平行、垂直的判定和性质分析判断即可【详解】①若，，则直线和可能平行，还可能相交或异面，所以①错误，②若，，则与无交点，所以或与为异面直线，所以②错误，③当，时，由线面垂直的性质可得，所以③正确，④当，时，由线面垂直的判定可得，所以④正确，故选：B．6．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】由异面直线所成角的概念求解，【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D7．如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行关系可确定的垂线即为的垂线，由此可确定结果.【详解】四边形为正方形        故选：【点睛】本题考查异面直线垂直的判断，关键是明确通过平行关系将异面直线所成角的问题转化为相交直线所成角的问题.8．已知是两条直线，是一个平面，则下列判断正确的是（    ）A．则B．则C．，则D．，则【答案】D【分析】利用线面关系的性质定理和判定定理对选项分别分析即得．【详解】对于A，则，故A错误；对于B，则或者异面，故B 错误；对于C，，则与位置关系不确定，故C错误；对于D，满足线面平行的判定定理，故D 正确．故选：D．9．若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则.以上说法中成立的有（    ）个.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的判定定理可依次判断得解.【详解】对①，面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；对②，根据平面与平面垂直的判定定理，一个平面经过另一个平面的垂线可得平面与平面垂直，②错误；对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确.故选：C.10．在空间中，设m，n为两条不同的直线，为一个平面，下列条件可判定的是（    ）A．， B．， C．， D．，且【答案】C【分析】根据空间线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当，时，，所以A选项错误.B选项，当，时，可能平行，所以B选项错误.C选项，当，时，，所以C选项正确.D选项，当，且时，可能平行，所以D选项错误.故选：C二、填空题（每小题4分，共20分）11．已知直线平面于，直线，则与平面的关系是 ．【答案】【分析】假设，然后利用已知证明假设不成立即可.【详解】假设，记由NP，MN确定的平面为，因为平面，，所以，又，则在平面内，过点N存在两条直线与已知直线垂直（矛盾），所以假设不成立，故.故答案为：12．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且，则 .【答案】6【分析】根据题意结合线面垂直的性质分析求解.【详解】∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF//DE，又∵，则四边形AFED为平行四边形，∴.故答案为：6.13．空间中，下列命题正确的是 （填序号）①若∥，∥，则∥②若∥，∥，⊂，⊂，则∥③若∥，∥，则∥④若∥，⊂，则∥【答案】④【分析】根据线面平行的性质和判定逐个分析判断即可【详解】对于①，可以在内，①错；对于②，当，相交时才能有∥，②错；对于③，可能在内，③错；对于④，由面面平行的性质知，④正确．故答案为：④14．若，则两直线a与b的位置关系是 .【答案】相交、平行或异面【分析】根据线面平行的性质定理判断可得；【详解】解：因为，所以直线a与b的位置关系为：相交、平行或异面故答案为：相交、平行或异面15．在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则异面直线BN与AM所成角的余弦值为 .【答案】/【分析】根据异面直线夹角得概念结合图形分析可得或其补角为异面直线BN与AM所成的角，利用勾股定理可得，，结合余弦定理运算求解．【详解】设正方体的棱长为a，如图，连接，，易知，所以或其补角为异面直线BN与AM所成的角.则，，，所以.故答案为：．三、解答题（共6小题，共60分）16．如图，四棱锥的底面为正方形， E为PB的中点.证明：平面.  【答案】证明见解析【分析】作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行.【详解】连接，交于，连接，因为底面为正方形，所以为的中点，  因为E为PB的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面.17．如图，已知长方体中，，，．  (1)BC和所成的角是多少度？(2)和BC所成的角是多少度？【答案】(1)(2)【分析】（1）确定是异面直线与所成的角，在中根据长度关系得到答案；（2）确定是异面直线和BC所成的角，则得到答案.【详解】（1）因为，所以是异面直线与所成的角，在中，，，所以.故异面直线和所成的角是.（2）因为，则和BC所成的角即为，显然，则和BC所成的角是.18．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.【详解】（1）设,连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．19．在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由中位线定理，可得，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果．（2）由题意可证，再根据面面垂直的性质定理，可证平面，由此即可证明结果．【详解】（1）证明:因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）证明：因为，为的中点，，又平面平面平面平面，所以平面又平面.所以.20．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题意易知，根据线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定证平面平面．（2）由（1）结合勾股逆定理知，根据线面垂直的判定有面，有是二面角的平面角，即可求余弦值.【详解】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以，∵，，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）知：，在中，有，即，∴，又，，即面，∴二面角的平面角是，∴，∴二面角的余弦值是．21．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB、CD为底面圆的两条直径，，且，，P为SB的中点.(1)求证：平面PCD；(2)求圆锥SO的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连结PO，由中位线性质有，利用线面平行的判定定理即可证结论；（2）根据已知求底面半径，进而求出底面积，应用圆锥体积公式求体积.【详解】（1）连结PO，如下图示：∵P、O分别为SB、AB的中点，∴，又平面PCD，平面PCD，∴平面PCD.（2）∵，P为SB的中点，∴.∴，则底面圆面积.∴圆锥体积.