专题04 立体几何（考题分析）-【中职专用】高二数学上学期（高教版2021）

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专题04 立体几何一、选择题：1．（考点1）已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(　D　)A．P∉α，Q∈α　　 B．P∈α，Q∉α C．P∉α，Q∉α　　 D．Q∈α[解析]　∵Q∈m，m⊂α，∴Q∈α.∵P∉m，∴有可能P∈α，也可能有P∉α.2．（考点1）设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(　D　)①P∈a，P∈α⇒a⊂α ②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α ④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②　　 B．②③　　 C．①④　　 D．③④[解析]　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．．3．（考点2）异面直线是指(　D　)A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[解析]　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.4．（考点2）若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(　D　)A．a∥c　 B．a、c是异面直线C．a、c相交　 D．a、c平行或相交或异面[解析]　例如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取AB，CD所在直线分别为a，c，B1C1所在直线为b，满足条件要求，此时a∥c；又取AB，BC所在直线分别为a，c，DD1，所在直线为b，也满足题设要求，此时a与c相交；又取AB，CC1所在直线分别为a，c，A1D1所在直线为b，则此时，a与c异面．故选D.5．（考点3）如图，在正方体中，直线与平面的位置关系是A．直线与平面平行 B．直线与平面垂直C．直线与平面相交 D．直线在平面内【答案】A【分析】连接，通过证明直线//，即可求得直线与平面的位置关系.【详解】连接，作图如下：因为是正方体，故可得//，且，故四边形是平行四边形，故可得//，又因为平面，平面，故//平面.故选：A.6．（考点3）已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线与平面的位置关系为（    ）A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内【答案】D【分析】根据线面平行的性质，得到直线必与平面内的某直线平行，再由，即可得出结果.【详解】依题意，直线必与平面内的某直线平行， 又，所以；因此直线与平面的位置关系是平行或直线在平面内.7．（考点4）若直线平面，则过作一组平面与相交，记所得的交线分别为，，，…，那么这些交线的位置关系为（    ）A．都平行 B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点【答案】A【分析】根据线面平行的性质，过平行于平面的直线作平面与相交，则交线与平行，即可知正确选项.【详解】由直线平面，过作平面且，则，同理有，，…，∴，即交线均平行.故选：A8．（考点5）若平面平面，直线，点，过点M的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线              B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线              D．有且只有一条与a平行的直线【答案】D【详解】平面平面，直线，点，故点，过直线和点可以确定唯一一个平面，且，则直线就是唯一的一条满足条件的直线，故选D.9．（考点5）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直线l，那么④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.【详解】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；由平面平行的传递性可知②正确；由线面垂直的性质可知③正确；过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，因为，，所以，所以因为，，所以同理，又l、m是两条异面直线，所以相交，且，所以，故④正确.故选：D10．（考点6）已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（　　）A．α⊥β，m⊂β B．α∥β，n⊥βC．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m【答案】B【分析】n⊥α必有n平行α的垂线，或者n垂直α的平行平面，依次判定选项即可．【详解】α⊥β，m⊂β，不能说明n与α的关系，A错误；α∥β，n⊥β能够推出n⊥α，B正确；α⊥β，n∥β可以得到n与平面α平行、相交或在平面α内，所以C不正确；m∥α，n⊥m则n与平面α可能平行，所以D不正确．故选：B．11．（考点6）已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（    ）.A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】C【分析】根据线面垂直的判定和性质，结合题意，即可容易判断和选择.【详解】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.故选：.12．（考点7）设，为两个平面，则的充要条件是（    ）A．，平行于同一个平面 B．，垂直于同一个平面C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于【答案】D【分析】由面面关系及面面垂直的判定方法依次判断4个选项即可.【详解】，平行于同一个平面时，则，A错误；，垂直于同一个平面时，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误；内一条直线垂直于内一条直线，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误；内一条直线垂直于，则，反之也成立，D正确.故选：D．13．（考点7）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【答案】C【分析】分别根据面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理判断选项即可.【详解】m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于,若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则与平行或相交，故错误；对于,若m∥α，m∥n，则n∥α 或，故错误；对于,若m∥n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；对于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则或与相交或∥，故错误.故选：.14．（考点8）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将平移到与相交，求所成的角，即异面直线所成的角.【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角，因为为正三角形，所以与所成的角为，所以异面直线与所成的角为.故选：C.15．（考点9）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（    ）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【分析】根据正方体的性质可知即为直线与平面所成的角，从而求出结果．【详解】解：依题意，如图所示，根据正方体的性质可知，平面，∴即为直线与平面所成的角，又∵，，∴为等腰直角三角形，∴，故选：A．16．（考点10）如图，在正方体中，下列结论错误的为（    ）  A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成的角为C．直线平面D．平面与平面所成的二面角为【答案】D【分析】对A，证明直线平面即可；对B，根据线面角的定义，根据直线与平面所成的角为即可；对C，根据线面垂直的判定证明即可；对D，根据二面角的定义可得平面与平面所成的二面角为即可.【详解】对A，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.故直线与直线所成的角为，故A正确；  对B，因为平面，故直线与平面所成的角为，故B正确；对C，连接如图，由正方体性质可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.同理，又，平面，故平面，故C正确；二、填空题1．（考点1）若，，且，，则 （填“”、“”、“”、“”）.【答案】【解析】由已知，，且，，则直线与有无数个公共点，即直线，2．（考点1）若一直线a在平面α内，则正确的图形是(　A　)[解析]　选项B、C、D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．3．（考点3）若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是 ．【答案】或【分析】画出空间图形判断得解.【详解】解：若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是或.故答案为：或4．（考点4）在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面是 ．【答案】平面和平面【分析】直接观察长方体即可得出.【详解】如图长方体中，与直线平行的平面是平面和平面.故答案为：平面和平面.5．（考点4）在长方体所有的棱所在的直线中，与平面平行的直线有 ．【答案】AB、、、【分析】根据正方体的图象与性质，可得答案.【详解】由题意，作图如下：则与平面平行的直线有AB、、、，故答案为：AB、、、6．（考点5）判断正误．（1）若平面平面，平面，平面，则．( )（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )【答案】 × √【详解】（1）l与m 可以平行或异面，故错误；（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等，故正确.7．（考点5）已知直线l、m，平面α、β，下列结论正确的是(　D　)A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β[解析]　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确.8．（考点6）在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）  【答案】平面，平面（答案不唯一）【分析】证明出线面垂直，得到面面垂直，得到答案.【详解】连接，因为四边形为正方形，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面，同理平面，所以平面⊥平面，故垂直于平面的平面有平面，平面  故答案为：平面，平面(答案不唯一)9．（考点6）过平面外一点有 条直线与该平面垂直．【答案】1【分析】根据点线面的位置关系以及线面垂直的性质，即可得答案.【详解】根据线面垂直的性质可知，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故答案为：110．（考点7）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若，且，则；④若且，则；⑤若，且，则．其中正确命题的序号是 ．【答案】①④【分析】对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②⑤，可举出反例；对于③考虑的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确．【详解】对于①，由线面垂直的判断定理可知，若l垂直于a内的两条相交直线，则，故①正确，对于②，若，如图1，  可知，与是异面关系，故②不正确，对于③，若，且，无法得到，故无法得到，故③不正确，对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若且，，则，故④正确，对于⑤，如图2，满足，且，则异面，  故⑤不正确，故正确命题的序号是 ①④．故答案为：①④11．（考点8）已知正方体中，直线与直线所成角的大小为 .【答案】【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可.【详解】  因为为正方体，所以，，所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为.故答案为：.12．（考点8）如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为 ．【答案】//【分析】利用几何法求解异面直线所成的角，通过做辅助线，将异面直线所成的角转化到同一平面内两直线所成的角进行求解.13．（考点9）在正方体中，与平面所成角的大小为 .【答案】【分析】找到即为与平面所成角，求出大小.【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角，因为，所以，故与平面所成角为.故答案为：14．（考点9）已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为 .【答案】/【分析】由可直接得到结果.【详解】设斜线和平面所成角为，则，.故答案为：.15．（考点10）如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ．【答案】/【分析】根据与二面角大小互补进行求解.【详解】设二面角的大小为，因为，，垂足为、，所以，又，所以.故答案为：16．（考点10）在正方体中，二面角的大小是 .【答案】/【分析】根据二面角的定义判断二面角的大小.【详解】画出图象如下图所示，由于，所以是二面角的平面角，根据正方体的性质可知.故答案为：三、解答题1．（考点4）如图，四棱锥的底面为正方形， E为PB的中点.证明：平面.  【答案】证明见解析【分析】作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行.【详解】连接，交于，连接，因为底面为正方形，所以为的中点，  因为E为PB的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面.2．（考点5）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1． [解析]　如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．3．（考点6）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.证明平面PAB；【答案】证明见解析【分析】由勾股定理证得，由矩形得，进而证得AD⊥平面PAB.【详解】∵ABCD为矩形∴ ∵PA=2，AD=2， ∴ ∴又∵ ，平面PAB∴AD⊥平面PAB.4．（考点7）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面．【答案】证明见解析【分析】由面面垂直的性质可得面，根据面面垂直的判定即可证平面平面．【详解】证明：由底面为矩形，则，∵面面，面面，面，∴面，又平面，∴平面平面．5．（考点10）在正方体中，求二面角的大小.【答案】【分析】利用二面角的定理找出为二面角的平面角，进而即可求解.【详解】  ∵，，∴即为二面角的平面角.又∵，∴.∴二面角的大小为.