西安市铁一中学2024届九年级下学期中考六模数学试卷(含解析)

这是一份西安市铁一中学2024届九年级下学期中考六模数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 我市某天最高气温是4℃，最低气温是℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为（ ）
A 6℃B. 2℃C. ℃D. ℃
答案：A
解析：
详解：解：根据题意得：，
则这一天的最高气温与最低气温的差为6℃．
故选：A．
2. 某几何体的平面展开图如图所示，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱
答案：C
解析：
详解：观察图可得，这是个下底面为正方形，侧面有四个正三角形的四棱锥的展开图，则该几何体为四棱锥．
故选C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
4. 某乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，再沿方向修建．若直线，则、与满足的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：解：，
，
,
，
，
，
故选：A．
5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，、分别为、的中点，连接．若，矩形的周长是，则的周长是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：四边形是矩形，
，，，，
，
设，，
，
矩形的周长是，
，
，即，
解得：，
，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
，、分别为、的中点，
，
的周长是，
故选：C．
6. 正比例函数的图象向右平移2个单位后与一次函数的图象交于点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：正比例函数的图象向右平移2个单位后的解析式为，
∵平移后的直线与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，一次函数的解析式为，
∴，
解得，
故选：B．
7. 如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D
8. 抛物线经过点、、，且，则该抛物线的顶点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
详解：解：抛物线经过点，，
该抛物线的对称轴为，
，
，
抛物线经过，且，
，
，即，
，
，
该抛物线的对称轴在轴的左侧，开口向下，
又时，，
该抛物线的顶点在第二象限，
故选：B．
二、填空题（共5小题）
9. 分解因式：_____．
答案：
解析：
详解：解：，
故答案为：．
10. 正十边形一共有_____条对称轴．
答案：10
解析：
详解：解：正十边形一共有10条对称轴．
故答案为：10．
11. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，如图所示是一个未完成的“幻方”，若把这个数分别填入方格中，使其任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，则其中的值为___．
答案：
解析：
详解：解：设左下角的数字为，
根据题意可得：，
可得：，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、B均在第一象限，点C在x轴正半轴上，，平分，，．若双曲线的图象经过点B，则k的值为____．
答案：
解析：
详解：解：延长，过作于点D，过点B作于点E，如图所示：
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线的图象在第一象限，
∴．
故答案为：．
13. 如图，等边的边长是，、分别是边、上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为____．
答案：或
解析：
详解：解：当、分别在线段、上时，如图，过点作交于点，连接，过点作于点，
是等边三角形，且边长是，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
点、、在同一条直线上，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
；
当、分别在线段、的延长线上时，如图，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，
同理可证明是等边三角形，
，
，
，
为的中点，
，
同理可证明，
，，
点、、在同一条直线上，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
，
；
综上所述，的长为或．
三、解答题（共13小题，解答应写出过程）
14. 计算：．
答案：
解析：
详解：解：
原式
15. 解不等式组：．
答案：
解析：
详解：解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
16. 解分式方程：．
答案：
解析：
详解：解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
17. 如图，已知点在圆上，请你利用尺规在圆上求作线段，使得是该圆中最长的弦（保留作图痕迹，不写作法）．
答案：见解析
解析：
详解：解：如图，即为所求．
18. 如图，在中，，点D在延长线上，点E是外一点，连接．若，，求证：．
答案：证明见解析
解析：
详解：证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
19. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？
答案：绢有12疋，布有18疋
解析：
详解：解：设绢有x疋，布有y疋，
由题意得，，
解得 ，
答：绢有12疋，布有18疋．
20. “二十四节气”是反映气候和物候变化、掌握农事季节的工具，蕴含着中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．慕梓睿和晏瑞所在班级近期开展以“二十四节气”为内容的传承中国传统文化系列的主题班会，他俩都对反映物候现象或农事活动的四个节气—惊蛰、清明、小满、芒种很感兴趣，想从中选出一个深入了解并在班会上分享．于是，他们制作了如图所示的可以自由转动的转盘，且转盘被分成四个面积相等的扇形区域，并分别标上字母A（代表惊蛰）、B（代表清明）、C（代表小满）、D（代表芒种），转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形区域的字母对应的节气即为转动转盘者选到的节气（若指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．
（1）慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是________．
（2）慕梓睿和晏瑞每人各转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：∵一共有4个区域，且每个区域的大小相同，即每个区域被转到的概率相同，
∴慕梓睿任意转动转盘一次，选到“D”的概率是，
故答案为：；
小问2详解：
解：列表如下：
由表格可知一共有16种等可能性的结果数，其中他们选到的节气一个是清明一个是芒种的结果数有2种，
∴他们选到的节气一个是清明一个是芒种的概率为．
21. 近年来，大唐不夜城已经成为西安的新名片，这里精彩的演出让游客流连忘返，其中“不倒翁小姐姐”、“盛唐密盒”、“旋转的胡璇”、“华灯下的李白”迅速火出圈，成为游客心中的“网红天团”．格格和走走也都很喜欢网红天团，就随机抽取了所在学校部分同学，调查他们最喜欢的表演类型，要求每位被抽取的同学必须从“A（不倒翁小姐姐），B（盛唐密盒），C（旋转的胡璇），D（华灯下的李白）”四个类型中选择一项，格格将收集的数据整理后，走走绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为________；
（2）被调查学生中，“最喜欢的表演类型”的“众数”为________；
（3）若该校共有2000名学生，估计该校最喜欢“不倒翁小姐姐”的学生人数．
答案：（1）见解析，
（2）B（盛唐密盒） （3）600名
解析：
小问1详解：
解：，
∴组人数为：；组人数为：，
补全条形图如图：
A部分所占圆心角的度数为；
故答案为：；
小问2详解：
由条形图可知：B（盛唐密盒）的人数最多，
故众数为：B（盛唐密盒）；
故答案为：B（盛唐密盒）．
小问3详解：
（名），
答：估计该校最喜欢“不倒翁小姐姐”的学生有600名．
22. 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是古都西安的标志性建筑．慕梓睿想利用所学的知识测量大雁塔的高度，由于无法直接测量到塔的底部，于是他设计了如下测量方案：如图，先用纸折出一个等腰直角，，保持与水平面平行，调整他与大雁塔的距离，当他站在点E处时，观察到C、D、B三点共线，表示慕梓睿眼睛到地面的距离，然后他沿的方向前进75步到点F处，将镜面做有标记的平面镜水平放置在距F点2步远的点G处（G在线段上），镜面上的标记与点G重合，他站在点F处，恰好在平面镜内看到大雁塔顶端点B与镜面上的标记重合．已知，，，，慕梓睿每步步长约为，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计，结果保留整数）
答案：大雁塔高度约为65米
解析：
详解：解：如图所示，延长交于M，则四边形是矩形，
∴；，
∵，，
∴，
由光的反射定律可知，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∴大雁塔的高度约为65米．
23. 西安是今年五一假期热门旅游城市之一，在这里，人们穿着汉服拍照，实现了传统与时尚的融合．汉服热销，晏瑞抓住商机，多次购进汉服并销售．经过调查发现，每套汉服的售价（元）与进价（元）之间满足一次函数关系，当进价为元时，售价为元；当进价为元时，售价为元．
（1）求售价（元）与进价（元）之间的函数关系式；
（2）若晏瑞以元/套的进价购进套汉服，则销售完这批汉服可获利多少元？
答案：（1）
（2）元
解析：
小问1详解：
解：设售价（元）与进价（元）之间的函数关系式为，
根据题意可得：，
解得：，
售价（元）与进价（元）之间函数关系式为；
小问2详解：
当时，，
利润：（元），
销售完这批汉服可获利元．
24. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，与相交于点E，与相交于点G，过点C作的垂线交延长线于点F，连接．

（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
小问2详解：
解：在中，，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
25. “昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面米高的墙体的端点处，墙体、均垂直于水平面．测得、两墙体之间的水平距离为米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．
请根据以上信息解决下列问题：
（1）求雷莹家大棚的最高处到地面的距离；
（2）现要对入口处进行加固，如图所示：
方式一：雷莹在距离墙体左侧米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上；
方式二：在距离墙体、等距（即中点）处以相同的方式放置管材、．
已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？
答案：（1）米
（2）方式二使用管材更少，见解析
解析：
小问1详解：
解：根据题意得：，，
将，代入得：
，
解得：，
，
雷莹家大棚的最高处到地面的距离为米；
小问2详解：
方式一：
根据题意可得：米，米，，
米，
，，
四边形是矩形，
米，
令，则，
，
米，
所使用的管材长度为：米；
方式二：
米，点是的中点，
米，
同理可证明四边形是矩形，
米，
令，则，
，
米，
所使用的管材长度为：米；
，
方式二使用管材更少．
26. 问题探究：
（1）如图1，已知中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________．
（2）如图2，已知中，，P为内一点，且，，请求出的长度；
问题解决：
（3）如图3，四边形中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．
答案：（1）5；（2）；（3）存在，的最小值为
解析：
详解：解：（1）∵在中，，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5；
（2）如图所示，将绕点B顺时针旋转90度得到，
由旋转的性质可得，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得；
（3）如图所示，取中点O，连接，将绕点C逆时针旋转60度得到，连接，
∵，， 点O为的中点，
∴；
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当四点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长；
如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，；
设，则，
由勾股定理得
∴，
解得，
∴，，
∴，
同理可证明四边形和四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．