陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列为正数的是( )
A. -|-2|B. - 3C. 0D. -(-5)
2.下列立体图形中，主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
3.计算(-2x2)3的结果是
( )
A. -8x6B. -6x6C. -8x5D. -6x5
4.如图，直线AB/​/CD，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF.若∠1=55°，则∠2的大小为( )
A. 145°
B. 135°
C. 125°
D. 120°
5.如图，直线y=-x+b与直线y=2x交于点A的横坐标为-1，则不等式-x+b>2x的解集为( )
A. x<-2
B. x<-1
C. -2D. -16.如图，▱ABCD中，AB=3，BE平分∠ABC，交AD于点E，DE=2，点F，G分别是BE和CE的中点，则FG的长为( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 5
7.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C=20°，∠BPC=70°，则∠ADC=( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
8.若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m,n)，B(m-2,n)，则n=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.将数据32000000用科学记数法表示为______．
10.如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正______边形．
11.分解因式：a2b-b= ．
12.如图，正方形ABCD的顶点C，D均在双曲线y=10x在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ 32FB的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 2× 6-|2- 3|+(3-π)0．
15.(本小题5分)
解不等式组：3(x-4)>7x2x+416.(本小题5分)
解方程：x+3x-6x-3=1．
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法，在边AB上求作一点D，使点D到点A的距离与点D到点C的距离相等.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形.求证：∠CBF=∠CDG．
19.(本小题5分)
某社区组织志愿者服务小组利用周末时间购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？
20.(本小题5分)
某校一年一度的英语风采大赛总决赛即将举行，现需从七、八年级遴选2名主持人.七年级推荐了1名女生和2名男生，八年级推荐了2名女生和1名男生．
(1)若从推荐的女生中，随机选一人，则来自七年级的概率是______；
(2)若从七、八年级分别随机选一位主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好是一男一女的概率．
21.(本小题6分)
如图，某数学小组测量街阳三塔之一“来雁塔”AB的高度，在坡底D处测得塔顶A的仰角为45°，沿坡比为5：12的斜坡CD前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为60°；
(1)求坡顶C到地面的距离；
(2)计算来雁塔AB的高度．
22.(本小题7分)
受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求出当0≤x≤50和x>50时，y与x之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？最少是多少元？
23.(本小题7分)
逸翠园中学八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了两幅不完整统计图．

(1)求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
(2)捐款金额的平均数是______，中位数是______；
(3)请你估算八年级800名学生中捐款大于等于20元的学生人数．
24.(本小题8分)
已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE=AD．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)当BC=5，AD=2时，求⊙O的半径．
25.(本小题8分)
如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)．
26.(本小题10分)
问题提出：

(1)如图①，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为______．
问题探究：
(2)如图②，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点D为AB边的中点，且∠EDF=90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F.求四边形DECF的面积．
问题解决：
(3)某观光景区准备在景区内设计修建一个大型儿童游乐园.如图③，四边形ABCD为儿童游乐园的大致示意图，并将儿童游乐园分成△EDM、△BFM、△DCB和四边形AEMF四部分，其中在△EDM和△BFM两区域修建益智区，在△DCB区域修建角色游戏区，在四边形AEMF区域修建木工区.根据设计要求：四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，点E、点F、点M分别在边AD、边AB和对角线BD上，且EM=FM，∠EMF=60°，四边形AEMF的面积为200 3平方米，现需在四边形ABCD的四周修建护栏起到保护乐园的作用，为了节约修建成本，四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出四边形ABCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.答案：D
解析：解：-|-2|=-2，- 3是负数；0既不是正数也不是负数；-(-5)=5是正数；
故选：D．
大于0的数即为正数，据此进行判断即可．
本题考查正数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.答案：A
解析：解：A.圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
B.三棱柱的主视图的矩形(矩形内部有一条纵向的实线)，故本选项不符合题意；
C.圆柱的主视图的矩形，故本选项不符合题意；
D.球的主视图是圆，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提．
3.答案：A
解析：解：(-2x2)3=(-2)3⋅(x2)3=-8x6．
故选：A．
根据积的乘方计算即可．
本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4.答案：A
解析：解：∵EG⊥EF，∠1=55°，
∴∠BEG=90°-55°=35°，
∵AB/​/CD，
∴∠2=180°-∠BEG=180°-35°=145°，
故选：A．
根据垂直的定义和角的关系得出∠BEG，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
5.答案：B
解析：解：观察图象可知，
∵当x<-1时，直线y=-x+b在直线y=2x的上方，
∴不等式-x+b>2x的解集为x<-1．
故选：B．
不等式-x+b>2x的解集，就是指直线y=-x+b在直线y=2x的上方的自变量的取值范围．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
6.答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=3，
∴AD=BC=AE+ED=3+2=5，
∵点F，G分别是BE和CE的中点，
∴FG是△BEC的中位线，
∴FG=12BC=2.5，
故选：B．
根据平行四边形的性质得出AD//BC，进而利用平行线的性质和三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AD//BC解答．
7.答案：D
解析：解：连接OD，如图，
∵∠C=20°，
∴∠B=20°，
∵∠BPC=70°，
∴∠BDP=∠BPC-∠B=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=∠ADB-∠BDP=40°，
故选：D．
先根据同弧所对的圆周角相等求得∠B=20°，再由AB是⊙O的直径得∠ADB=90°即可求得∠ADC．
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
8.答案：A
解析：解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A(m,n)、B(m-2,n)，
∴对称轴是直线x=m-1，
又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为(m-1,0)，
∴设抛物线解析式为y=(x-m+1)2，
把A(m,n)代入，得：
n=(m-m+1)2=1，
即n=1．
故选：A．
根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x=m-2.故设抛物线解析式为y=(x-m+2)2，直接将A(m,n)代入，通过解方程来求n的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
9.答案：3.2×107
解析：解：32000000=3.2×107，
故答案为：3.2×107．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
10.答案：七
解析：解：设这个正多边形的边数是n，则
(n-2)⋅180°=900°，
解得：n=7．
则这个正多边形是正七边形．
n边形的内角和可以表示成(n-2)⋅180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数．
此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．
11.答案：b(a+1)(a-1)
解析：解答：
解：a2b-b
=b(a2-1)
=b(a+1)(a-1)．
故答案为：b(a+1)(a-1)．
12.答案： 10
解析：解：作DE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F．
∴∠DEA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠ABO，
又∵AB=AD，
∴△ABO≌△DAE．
同理，△ABO≌△BCF．
设OA=a，AE=b，则OB=b，BF=a，DE=a，CF=b．
则D的坐标是(a+b,a)，C的坐标是(b,a+b)．
∵C、D的两个顶点在双曲线y=10x在第一象限的分支上，
∴a(a+b)=b(a+b)=10，
∴a=b，即△ABO是等腰直角三角形．
则D的坐标是(2a,a)代入函数解析式得：2a2=10
∴a2=5，
∴OB2+OA2=10，
则AB= 10，
故答案是： 10．
作DE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F.可以证明，△ABO≌△DAE≌△BCF，即可表示出C，D的坐标，即可证得△ABO是等腰直角三角形，再根据D在函数的图象上，即可求解．
本题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．
13.答案：254
解析：解：∵AE⊥CD，
∴∠AGC=90°，
∴点G在以AC为直径的圆上运动，
过B作BH⊥AB，作FH⊥BH于H，如图，
∵∠B=30°，
∴∠FBH=60°，
在Rt△FBH中，FH=sin60°×BF= 32BF，
∴GF+ 32FB=GF+FH，
∴当G、F、H共线时，GF+FH最小，
∴过O作OM⊥BH于M，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，
∴AC=5，
∴OA=52，
∴AK=54，
作OK⊥AB于K，
∴四边形OMBK是矩形，
∴BK=OM=10-54=354，
∵OG+GH≥OM，
∴52+GH≥354，
∴GH≥254，
∴GH最小值为254，
∴GF+ 32FB最小值为254．
故答案为：254．
首先由∠AGC=90°，AC=5，发现G在以AC为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将 32FB转化为FH，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决．
本题主要考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，解决问题的关键是发现G点的运动路径．
14.答案：解：原式= 12-(2- 3)+1
=2 3-2+ 3+1
=3 3-1．
解析：根据题目逐步计算即可．
本题考查的是实数的运算和零指数幂，正确掌握实数运算的“三个关键”是解题的关键．
15.答案：解：3(x-4)>7x①2x+4解不等式①得x<-3，
解不等式②得：x<-103，
则不等式组的解集为x<-103．
解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.答案：解：原方程两边同乘x(x-3)，去分母得：(x+3)(x-3)-6x=x(x-3)，
整理得：x2-9-6x=x2-3x，
移项，合并同类项得：3x=-9，
系数化为1得：x=-3，
检验：将x=-3代入x(x-3)得：-3×(-6)=18≠0，
故原分式方程的解为：x=-3．
解析：根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
17.答案：解：如图，点D即为所求．

解析：作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求．
本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.答案：证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，
∴CB=CD，CF=CG，∠BCD=∠FCG=90°，
∴∠BCF+∠DCF=∠DCF+∠DCG=90°，
∴∠BCF=∠DCG，
在△BCF和△DCG中，
CB=CD∠BCF=∠DCGCF=CG，
∴△BCF≌△DCG(SAS)，
∴∠CBF=∠CDG．
解析：由四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，根据正方形的性质可得：CB=CD，CF=CG，∠BCD=∠FCG=90°，进而可得∠BCF=∠DCG，利用SAS即可证得△CBF≌△CDG，根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠CBF=∠CDG．
此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．此题属于基础题，注意数形结合思想的应用．
19.答案：解：设敬老院一共有x位老人，
根据题意得：3x+12=4x-24，
解得：x=36．
答：敬老院一共有36位老人．
解析：设敬老院一共有x位老人，根据“如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋”，结合购买的中老年奶粉袋数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.答案：13
解析：解：(1)由题意知，七年级推荐了1名女生，八年级推荐了2名女生，
∴从推荐的女生中随机选一人，来自七年级的概率是13．
故答案为：13．
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有5种，
∴恰好是一男一女的概率为59．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.答案：解：(1)延长AB交PQ于点E，过点C作CF⊥PQ，垂足为F，

则CF=BE，EF=BC，
设BE=CF=5x米，则DF=12x米，
在Rt△DCF中，DC=26米，
∴CF2+DF2=CD2，
∴(5x)2+(12x)2=262，
解得，x=2(负䐈舍去)，
∴CF=5×2=10米，DF=12×2=24米；
即坡顶C到地面的距离为10米；
(2)设BC=EF=y米，
在Rt△ABC中，AB=BC⋅tan60°= 3y，
∴AE=10+ 3y,DE=24+y；
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，∠AED=90°，
∴∠DAE=∠AED=45°，
∴AE=DE，
∴10+ 3y=24+y，解得y=7 3+7，
∴AB= 3(7 3+7)=(21+7 3)米．
解析：(1)延长AB交PQ于点E，过点C作CF⊥PQ，垂足为F，则CF=BE，BC=EF，先设CF=5x米，则DF=12x，由勾股定理列方程，求出x的值即可解决问题；
(2)在Rt△ABC中，设BC=EF=y，用含有y的式子表示AB，再根据AE=DE求出y的值，即可得出AB．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题：
22.答案：解：(1)当0≤x≤50时，设y=k1x(k1≠0)，根据题意得50k1=1500，
解得k1=30；
∴y=30x；
当x>50时，设y=k2x+b(k2≠0)，
根据题意得，50k2+b=150070k2+b=1980，
解得：k2=24b=300，
∴y=24x+300．
∴y=30x(0≤x≤50)24x+300(x>50)；
(2)购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果(100-x)千克，
∵50≤x≤60，
∴w=24x+300+25(100-x)=-x+2800．
∵-1<0
∴y随x的增大而减小，
∴当x=60时，wmin=2740元，
此时乙种水果100-60=40(千克)．
答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少，最少是2740元．
解析：(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
(2)购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果(100-x)千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以知道最少费用为多少．
本题主要考查了一次函数的图象与性质以及一次函数的实际应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
23.答案：13.1 12.5
解析：解(1)本次抽查的学生有：14÷28%=50(人)．
则捐款10元的有：50-9-14-7-4=16(人)．
补全条形统计图图形如下：
．
(2)这组数据的平均数为：5×9+10×16+15×14+20×17+25×450=13.1(元)．
中位数是10+152=12.5(元)．
故答案为：13.1元，12.5元．
(3)捐款大于等于20元的学生人数：7+450×800=176(人)．
(1)由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数．将总人数减去其他各组频数即可求得答案，进而补全条形统计图．
(2)将50人的捐款总额除以总人数即可得到平均数，求出第25，26个数据的平均数即可得到这组数据的中位数．
(3)由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占的比例估计总体的人数．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24.答案：解：(1)如图，连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
∵OA=OE，DE=DA，OD=OD，
∴△AOD≌△EOD(SSS)，
∴∠OED=∠BAC=90°，
∴DE是⊙O的切线；
(2)∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠AOE=∠B+∠OEB，
∴∠BEO=∠EOD，
∴OD//BC，
又∵AO=BO，
∴OD=12BC=52，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AO= OD2-AD2=32，
即：⊙O的半径为32．
解析：(1)连接OE，根据切线的判定方法，只要证明OE⊥DE即可；
(2)证出OD是△ABC的中位线，进而求出OD，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可．
本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法．
25.答案：解：(1)如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B (4,4)，点O (0,0)，
设二次函数的表达式为y=a(x-4)2+4，
将点O (0,0)代入函数表达式，
解得：a=-14，
∴二次函数的表达式为y=-14(x-4)2+4，
即y=-14x2+2x (0≤x≤8)；
(2)工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+12×1.2=1，
∴将=1代入y=-14x2+2x，
解得：y=74=1.75
∵1.75m>1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
解析：(1)根据题意结合图象可以求出函数的顶点B(4,4)，先设抛物线的顶点式y=a(x-4)2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
(2)先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
26.答案：6013
解析：解：(1)在△ABC中，AB=AC=13，AD平分∠CAB，
∴BD=CD=12BC，AD⊥BC．
∵BC=10，
∴CD=5．
∴AD= AC2-CD2= 132-52=12．
当DE⊥AC时，DE最小，
∴S△ACD=&12⋅AD⋅CD=12⋅AC⋅DE，
∴DE=5×1213=6013．
故答案为：6013．
(2)∵∠C=90°，AC=BC=8，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠A=45°．
∵点D为AB边的中点，连接CD，
∴CD⊥AB，∠BCD=∠ACD=12∠ACB=45°．
∴∠ECD=∠A．
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDC=∠FDA，
∵CD=12AB=AD，
∴△ECD≌△FAD(ASA)．
∴S△ECD=S△FAD．
∴S四边形ECFD=S△ACD=12SABC=12×12×8×8=16．
所以，四边形DECF的面积为16．
(3)过点M作MG⊥AD，MH⊥AB，连接AM，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD．
∵∠ADC=60°，
∴∠DAB=180°-60°=120°．
∵∠MGA=∠MHA=90°，∠DAB=120°，
∴∠GMH=60°．
∵∠EMF=60°，
∴∠EMG=∠FMH．
∵∠MGE=∠MHF=90°，EM=FM，
∴△EMG≌△FMH(AAS)．
∴S四边形EAFM=S四边形GAHM=200 3．
∴MG=MH．
∴AM是∠DAB的角平分线，
∴∠MAD=∠MAB=60°．
设AH=x,MH= 3x，
∴S四边形GAHM= 3x⋅x=200 3．
∴x=10 2．
∴AM=2AH=20 2．
∵AM与∠DAB都为定值，
当AM⊥BD时，此时四边形ABCD周长最小，
∴AD=AB．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴AB=2AM=40 2．
∴四边形ABCD的周长最小为：40 2×4=160 2．
(1)根据过直线外一点到直线的距离垂线段最短可判断当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理以及等腰三角形的性质求出AD，再利用面积法求解即可；
(2)连接CD，利用等腰直角三角形的性质以及同角的余角相等证明△ECD≌△FAD，将所求四边形的面积转化为△ACD的面积，然后求解即可；
(3)过点M作MG⊥AD，MH⊥AB，连接AM，利用同角的补角相等得到∠GMH为60°，利用等量代换并结合已知条件证得△EMG≌△FMH，再利用角平分线的逆定理得到AM为角平分线并且为定值，最后判断并求解即可．
本题主要考查三角形的全等及线段最值问题，熟练掌握线段公理，含30°角的直角三角形的性质及三角形全等的判定及其性质的运用是解决本题的关键．女
女
男
女
(女，女)
(女，女)
(女，男)
男
(男，女)
(男，女)
(男，男)
男
(男，女)
(男，女)
(男，男)