西安市铁一中学2024届九年级下学期中考四模数学试卷(含解析)

这是一份西安市铁一中学2024届九年级下学期中考四模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2的相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
答案：B
解析：2的相反数是-2.
故选：B.
2. 如图，直线，直线l分别交直线a、b于A、B两点．点C在直线b上，且，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：解：如图，

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：A．，故错误，不符合题意；
B．，故正确，符合题意；
C．，故错误，不符合题意；
D．，故错误，不符合题意；
故选：B．
4. 如图、直线经过A，B两点，直线经过C，D两点，则a，b，c，d从小到大的排列顺序为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：解：由图可得：直线与y轴交点D位于直线与y轴交点B上方，且都在x轴上方，
∴，
∵两条直线都经过第一、二、四象限，
∴，，
且直线比直线的图象更陡，
则，
∴，
，
故选：D．
5. 如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
A. B. 2C. D. 3
答案：C
解析：解：∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4，
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD===，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°==，
∴AE=AD-DE=，
故选C.
6. 如图，在中，，，于D点，F边上一动点，过F作交的延长线于点E，当四边形的面积与的面积相等时，的长度为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：解：，，
，，
，
，
，
四边形的面积与的面积相等，
与面积比，
，即，
，
．
故选：D．
7. 如图，点B，C在上，点A在内，，，，的半径长为（ ）
A. B. 5C. D.
答案：A
解析：解：延长交于，作于，连接，
，于，
，
，
为等边三角形；
，，
，
，
，
，
的半径长为，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（ ）
A. 48B. 36C. 24D. 12
答案：B
解析：解：由题意，
，
又抛物线过点，，
、关于直线对称，
，，，，
把点坐标代入，
，
，
．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9. 比较大小：________（“”或“”或“”）．
答案：
解析：解：，，
．
故答案为：．
10. 把边长相等的正五边形和正六边形的边重合，按照如图的方式叠放在一起，连接，交于点K，则的大小为________．
答案：
解析：解：由正五边形内角，得
，
由正六边形内角，得
，
∵平分，
∴，
由四边形的内角和，得
．
故答案为：．
11. 如图，已知菱形的边长为a，E为对角线边上一点，且，若，则a的值为________．
答案：
解析：解：连接，交于点，
四边形是菱形，连接，交于点，
，，，
，，
在中，，
在中，，
即，
即，
解得：（舍去），
故答案为：．
12. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若．则的面积为________．
答案：
解析：解：如图，作于，于．设．
于，于，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，，，若，则的长为________．
答案：##
解析：解：过点作，交于点，连接，
∵，，
∴，，
∴点为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴为顶角的等腰三角形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，共81分，解答题应写出必要过程）
14. 计算：
答案：
解析：解：
．
15. 解不等式组：
答案：
解析：解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是．
16. 解分式方程：．
答案：
解析：解：，
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
17. 如图，已知等边，D为边上一点，请用尺规作图，在射线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
答案：见解析
解析：解：如图，作，交射线于点，
，
．
为等边三角形，
．
．
则点即为所求．
18. 如图，在平行四边形中，点E为边的中点，于点F，G为的中点，分别延长，交于点H，求证：．

答案：见解析
证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
解析：解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点为边中点，
，
在与中，
，
，
，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，即，
．
19. 在一个不透明的袋子中装有2个红球、2个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）从袋子中随机摸出1个球，则摸出的这个球是红球的概率为________．
（2）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球；请利用列表法或画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：由题意得，摸出的这个球是红球的概率为．
故答案为：．
小问2解析：
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种，
两次摸出的球都是白球的概率为．
20. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？
答案：有39人，15辆车
解析：解：设有人，辆车，依题意得：
，
解得
答：有39人，15辆车．
21. 某校组织全校学生进行了一场数学竞赛，根据竞赛结果，随机抽取了若干名学生的成绩(得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀)进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
数学竞赛成绩频数统计表
请结合图表解决下列问题：
（1）请将频数分布直方图补充完整；
（2）抽取的若干名学生竞赛成绩的中位数落在________组；
（3）若该校共有1500名学生，请估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
答案：（1）见解析 （2）C
（3）825人
小问1解析：
解：，
，
补全频数分布直方图如下：
小问2解析：
按大小顺序排列后第100和101个数据在C组，
∴抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；
故答案：C；
小问3解析：
，
(人)，
答：估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数有825人．
22. 慕梓睿与走走要测量一建筑物的高度，如图，慕梓睿在点A处测得此建筑物最高点C的仰角，再沿正对建筑物方向前进到达B处（即），测得最高点C的仰角；走走在点G处竖立标杆，当走走的所在位置点D，标杆顶F，最高点C在一条直线上时，测得，．
（1）求此建筑物的高度；
（2）求走走与建筑物之间的距离．
（注：结果精确到，参考数据：，，）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：在中，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得；
答：此建筑物的高度约为；
小问2解析：
由题意知：，，
，
，即，
解得，
答：小亮与建筑物之间的距离约是．
23. 一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，慕梓睿购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据：
（1）根据表中数据规律，求y与x的函数关系式；
（2）按慕梓睿的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时双层部分的长度．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：观察表格可知，是的一次函数，设，
把双层部分长度为，单层部分长度为和双层部分长度为，单层部分长度为代入得：
，
解得，
与的函数关系式为；
小问2解析：
根据题意得：，
，
解得，
双层部分的长度为．
24. 如用，在中，平分，交于点F，交外接圆于点E．过点E作的切线交延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
解：证明：连接，如图，
平分，
，
，
．
为的切线，
．
；
小问2解析：
由（1）知：，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
25. 公园里一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置，喷水口A距离水面的距离米，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下，为了方便研究，以O为坐标原点，方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系．
（1）若此时，测得喷出的水流在离水平距离为米的B处达到距水面的最大高度，同时经过距水平距离为2米，距水面的高度为米的C点．若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？
答案：（1）米
（2）米
小问1解析：
解：由题意，顶点的横坐标为，
可设解析式为．
又过，，
．
．
抛物线为．
令，
．
或（舍去）．
水池的半径至少为米．
小问2解析：
由题意，可设，
把点，代入抛物线解析式得，
．
．
．
水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．
26. 提出问题如图①，与的两边，相切于点P，Q，则，的数量关系为________．
探究问题如图②，矩形的边，，点P在上，连接，，求的最大值．
问题解决如图③，慕梓睿和格格在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条，让一圆盘在木条上做无滑动的滚动，将一根弹性良好的橡皮筋的两端固定在木条的两端点处，再紧绷在圆盘边上，此时，，，分别与圆盘相切于点C，D，E，当圆盘滚动时橡皮筋也随之伸缩变化（即的长度会发生变化）．已知，圆盘直径为，请你帮助慕梓睿和格格探究：的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由．
答案：（提出问题）：；（探究问题）：的最大值为；（问题解决）：
解析：（提出问题）：连接，
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴．
（探究问题）：过作与相切于点，交于F，连接连接并延长交于点，
，
，
与相切于点，
，
，
设则，
又，
在中，
，
，
，
，
，
即的最大值为．
．
（问题解决）：如图，连接，
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
，
∵，
∴当最小时，长取到最小值，
又∵，
∴当最大时，最小，
，
∴点在直线上运动，
作的外切圆，则与直线相切于点，连接，
则有，
，
，
，
，
，
最小值为，
最小值，
最小值为．
红
红
白
白
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
红
（红，红）
（红，白）
（红，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）
白
（白，红）
（白，红）
（白，白）
组别
频数
频率
A组
a
B组
30
C组
50
b
D组
60
双层部分长度x（）
2
8
14
20
单层部分长度y（）
148
136
124
112