西安市第六中学2023届九年级下学期中考七模数学试卷(含解析)

这是一份西安市第六中学2023届九年级下学期中考七模数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣的相反数是（ ）
A．B．3C．﹣D．﹣3
解答：解：﹣的相反数是，
故选：A．
2．如图，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．​
解答：解：从正面看得到是图形是：
．
故选：B．
3．2023年《陕西省人民政府工作报告》指出，465万建档立卡贫困人口全部脱贫．其中数据465万用科学记数法表示为（ ）
A．4.65×105B．46.5×105C．4.65×106D．4.65×107
解答：解：465万＝4650000＝4.65×106．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
​
A．30°B．35°C．40°D．45°
解答：解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A＝40°，
∵DF∥EB，∠D＝70°，
∴∠D＝∠CEB＝70°，
∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
5．在平面直角坐标系中，将直线l：y＝kx（k≠0）向右平移2个单位长度后图象经过点（6，﹣2）（ ）
A．﹣2B．C．D．2
解答：解：将直线l：y＝kx（k≠0）向右平移2个单位长度后得到y＝k（x﹣5），
∵经过点（6，﹣2），
∴﹣4＝k（6﹣2），
解得k＝﹣，
故选：B．
6．在矩形ABCD中，BC＝6，∠DBC＝30°，交AD于点E，则线段CE的长为
​（ ）
A．4B．2C．D．6
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵BC＝6，∠DBC＝30°，
∴CD＝2，
∴BD＝4，
∵CE⊥BD，
∴∠EOD＝∠DOC＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∴OD＝，
∴DE＝2，
∴CE＝4，
故选：A．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，其中BD是⊙O的直径，若BD＝6，∠ADC＝45°，则∠ACD的度数为（ ）
​
A．45°B．60°C．75°D．80°
解答：解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵BD＝6，BC＝3，
∴∠BDC＝30°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝45°﹣30°＝15°，
∴∠ACB＝∠ADB＝15°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣15°＝75°．
故选：C．
8．已知y＝ax2+6ax+4（a≠0）是关于x的二次函数，当自变量x的取值范围为﹣4≤x≤1时，最大值为13，则下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线与x轴有两个交点
B．当抛物线开口向下时，a＝﹣1
C．对称轴在y轴的左侧
D．当抛物线开口向上时，
解答：解：由题意得，y＝ax2+6ax+3有最大值是13
∵у＝ax2+6ax+3＝a（x+3）2+2﹣9a，
∴4﹣2a＝13，解得a＝﹣1，
∴B选项正确．
抛物线解析式为：y＝﹣（x+3）4+13，即对称轴是：直线x＝﹣3，
∴C选项正确，
又当y＝0时，﹣（x+3）2+13＝0，
Δ＝（﹣7）2﹣4×（﹣4）×4＞0，
∴﹣（x+7）2+13＝0有两个不等的实数根，
∴A选项正确，
∵у＝ax7+6ax+4＝a（x+2）2+4﹣2a，
∴当抛物线开口向上时，由﹣4≤x≤1时，知当x＝6时，
则a+6a+4＝13，
解得a＝，
∴D选项错误．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．计算：（﹣2a）2÷a＝ 4a ．
解答：解：（﹣2a）2÷a＝3a2÷a＝4a．
故填6a．
10．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B表示的数是1，若PA＝PB，则点P表示的数是 ﹣1 ．
解答：解：在数轴上点A表示的数是﹣3，点B表示的数是1，
∴AB＝4﹣（﹣3）＝4，
由题意可知点P在线段AB之间，PA＝PB，
∴P到A点的距离为6，
∴P点表示的数为：﹣1．
故答案为：﹣1．
11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，移动几个图形就直观地证明了勾股定理．如图，CG＝4，则tan∠FEI＝ ．
​
解答：解：由题意得：四边形ECGF和四边形EBHI都是正方形，
∴CG＝CE＝4，∠BEI＝∠CEF＝90°，
∴∠BEI﹣∠CEI＝∠CEF﹣∠CEI，
∴∠BEC＝∠FEI，
在Rt△BCE中，BC＝3，
∴tan∠BEC＝＝，
∴tan∠FEI＝tan∠BEC＝，
故答案为：．
12．若一次函数y＝2x﹣1的图象与反比例函数的图象相交于点（a，3），则k＝ 6 ．
解答：解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象与反比例函数的图象相交于点（a，
令y＝3，代入一次函数中，
解得x＝2，
∴交点坐标为（5，3）．
将交点代入反比例函数解析式中，
解得k＝2×6＝6．
故答案为：6．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边BC上，P为正方形内（含边上）一点，且
，G为边CD上一动点，连接MG，则MG+GP的最小值为 3 ．
​
解答：解：过点P作EF∥AB，分别交AD，F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是矩形，
∵，正方形ABCD的边长为5，
∴，
解得EA＝2，
∴CF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣2＝2，
作点M关于CD的对称点M′，连接M′G，
则M′G＝MG，M′C＝MC＝8，
∴MG+GP＝M′G+GP≥M′F，
∴MG+GP的最小值为M′F的长，
∵M′F＝M′C+CF＝1+2＝7，
∴MG+GP的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
解答：解：
＝6+2﹣﹣（﹣4）
＝1+2﹣+3
＝6﹣．
15．（5分）解不等式组：．
解答：解：，
由①得：x≥﹣3，
由②得：x＜，
∴不等式组的解集是﹣3≤x＜．
16．（5分）化简：（m+）÷．
解答：解：原式＝÷
＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，CD是中线，在边AC上求作一点E，使得S△ABC＝
4S△ADE．（保留作图痕迹，不写作法）
​
解答：解：如图，点E即为所求．
18．（5分）如图，已知DE∥AB，DF∥BC，FD＝AB，求证：∠F＝∠A．
​
解答：证明：∵DE∥AB，DF∥BC，
∴∠D＝∠AGF，∠AGF＝∠B，
∴∠D＝∠B，
在△DEF和△BCA中，
，
∴△DEF≌△BCA（SAS），
∴∠F＝∠A．
19．（5分）甲、乙两家影院为刺激票房收入，五一期间均推出了优惠活动．
甲影院：3人以内（含3人）按原价购票，超出3人时；乙影院：购票一律打八折．
若某电影在两家影院的原价都是60元一张票，小明同学一家人去看电影，若他们到甲、乙两家影院购票费用相同
解答：解：设他们一家总共x人，由题意有：
60×3+0.6×60（x﹣3）＝0.5×60x，
解得x＝5．
故他们一家总共5人．
20．（5分）小敏同学在化学实验室取4个外观完全相同的烧杯，分别放入等体积的稀盐酸、稀硫酸、氢氧化钠溶液和水（已知上述4种物质均为无色液体并已打乱顺序，且紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝，遇水不变色）．
（1）若向其中1个烧杯中滴入紫色石蕊溶液，烧杯中溶液变红的概率是 ；
（2）若向其中2个烧杯中分别滴入紫色石蕊溶液，请利用列表或画树状图的方法，求这2个烧杯中溶液都变红的概率．
解答：解：（1）若向其中1个烧杯中滴入紫色石蕊溶液，烧杯中溶液变红的概率是＝，
故答案为：；
（2）把稀盐酸、稀硫酸、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中2个烧杯中溶液都变红的结果有5种、AB、BB，
∴2个烧杯中溶液都变红的概率为＝．
21．（6分）小明和小亮同学打算测量某古塔EF的高度．如图，小明在A处用测角仪测得塔顶F的仰角为51°，小亮从A处沿AC方向行走20m到达C处，基座EG的高度为6.5m，测量点A，求该古塔EF的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin51°≈0.78，cs51°≈0.63，tan51°≈1.23）
​
解答：解：延长BD交EF于点H，
由题意得：BH⊥EF，AB＝CD＝EH＝1.5m，
∵EG＝5.5m，
∴GH＝EG﹣EH＝5（m），
在Rt△GHD中，∠GDH＝45°，
∴DH＝＝4（m），
∴BH＝DH+BD＝25（m），
在Rt△FHB中，∠FBH＝51°，
∴FH＝BH•tan51°≈1.23×25＝30.75（m），
∴EF＝FH+EH＝30.75+1.3≈32（m），
∴该古塔EF的高度约为32m．
22．（7分）实验学校组织师生参加志愿服务活动，到距离学校124km的敬老院做义工，早上8：00他们从学校出发，再次出发时司机提高了车速．如图，这是他们离学校的路程y（km）（h）的函数图象．
​（1）求提速后y关于x的函数表达式；
（2）他们能否在10：30前到达敬老院？请说明理由．
解答：解：（1）设提速后y关于x的函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：
，
解得，
即提速后y关于x的函数表达式为：y＝70x﹣58；
（2）把y＝124代入y＝70x﹣58，得：70x﹣58＝124，
解得x＝2.6，
6.6小时即两小时36分，所以他们在10：36到达敬老院．
故不能在10：30前到达敬老院．
23．（7分）某校举行了“体育锻炼”活动周，活动要求每位学生每周至少参加2次体育锻炼，为了解学生参加体育锻炼次数的情况，并根据收集的信息进行统计，绘制了统计图（尚不完整），3，4，5，且次数为4的学生人数占抽样样本的，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查了 90 名学生，请补全条形统计图；
（2）本次抽样调查的众数为 5 ，中位数为 4 ；
（3）若该校一共有学生1800名，请利用样本估计每周参加体育锻炼不少于4次的学生人数．
​
解答：解：（1）由于每周体育锻炼次数为4的学生人数占抽样样本的，而样本中每周体育锻炼次数为4的学生人数是30人，
所以抽样调查的人数为：30÷＝90（人），
因此每周体育锻炼次数为5的学生人数为：90﹣15﹣5﹣30＝40（人），补全条形统计图如图所示：
故答案为：90；
（2）这90名被抽取的学生每周体育锻炼次数出现次数最多的是5次，共出现40次，将这90名学生每周体育锻炼次数从小到大排列＝4次，
故答案为：5，3；
（3）1800×＝1400（人），
答：该校1800学生名，每周参加体育锻炼不少于4次的学生大约有1400人．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点B作BC⊥PD，交PD的延长线于点C，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠EDC＝∠PBD．
（2）若PD＝4，tan∠PDA＝，求⊙O的半径．
解答：（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠ODP＝90°，
∴∠PDA+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠ADP＝∠ABD，
∵∠ADP＝∠CDE，
∴∠EDC＝∠PBD；
（2）解：∵∠P＝∠P，∠ADP＝∠PBD，
∴△APD∽△DPB，
∵tan∠PDA＝tan∠ABD＝＝，
∴，
∴，
∴PB＝5，PA＝2，
∴AB＝6
∴⊙O的半径为8．
25．（8分）已知抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为P
（1）求抛物线的表达式和顶点P的坐标；
（2）已知抛物线L′与抛物线L关于点M（m，0）中心对称，点P的对称点为点P'，若△PDB∽△MD′P′，求抛物线L′的表达式．
解答：解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（8，a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣6）＝x2﹣2x﹣7，
∵y＝x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝4，
∴D（1，0），
∵P（7，﹣4），0），
∴BD＝6，DP＝4，y），
∵抛物线L′与抛物线L关于点M（m，0）中心对称，点D的对称点为点D′，
∴△MDP≌△MD'P'，
∵△PDB∽△MD′P′，
∴△PDB∽△MDP，
∴＝，即＝，
∴DM＝7，
当M在D（1，0）左侧时，6），
∵P（1，﹣4），y），
∴由中点坐标公式得，
∴，
∴P'（﹣15，4），
∵抛物线L′与抛物线L关于点M（m，0）中心对称，
∴开口方向发生了变化，开口大小没变，
∴抛物线L′的表达式为y＝﹣（x+15）6+4；
当M在D（1，7）右侧时，0），
∵P（1，﹣4），y），
∴由中点坐标公式得，
∴，
∴P'（17，4），
∴抛物线L′的表达式为y＝﹣（x﹣17）7+4．
综上，抛物线L′的表达式为y＝﹣（x+15）2+8或y＝﹣（x﹣17）2+4．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，△ABC内接于⊙O，BC＝6，则⊙O的半径为 2 ．
问题探究
（2）如图2，已知矩形ABCD，AB＝4，P是矩形ABCD内一点，且∠BPC＝60°，求AP的最小值．
解决问题
（3）如图3，小乐家有一个四边形菜地ABCD，他打算种植油菜花，他计划改造四边形菜地，在改造的过程中始终要满足BC＝8米，AD⊥DC，且AD＝DC
​
解答：解：（1）作⊙O的直径BD，连接DC，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠A＝∠D，∠BAC＝60°，
∴∠D＝60°．
在Rt△BCD中，
∵sinD＝，
∴BD＝，
∴⊙O的半径为BD＝2．
故答案为：2；
（2）∵∠BPC＝60°，
∴点P在以BC为弦，BC所对的圆周角为60°的圆上运动，作出⊙O，OC，OA与⊙O交于点E，
则当点P于点E重合时，AP取得最小值．
由（1）知：⊙O的半径为8，
∴OE＝OB＝OC＝2．
∵∠BOC＝2∠BPC，∠BPC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°．
过点O作OF⊥BC于点F，则BF＝CF＝，过点O作OH⊥AB于点H，
∴BH＝OF，OH＝BF＝3．
∵OF＝OB＝，
∴BH＝，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
∴AO＝＝＝4，
∴AP的最小值＝AO﹣OE＝6﹣2；
（3）连接AC，如图，
∵AD⊥DC，且AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠BAD＝135°，
∴∠BAC＝90°，
∴点A在以BC为直径的圆上运动．
设AC＝x，则AB＝＝x，
∵AC•AB＝，，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+＝．
∵（x﹣）2≥0，
∴x4﹣2x+64﹣x4≥0，
∴2x≤64，
∴2x的最大值为64时，
∴当x＝4时，8x，
∴改造后四边形菜地面积的最大值＝＝＝24．
答：改造后四边形菜地面积的最大值为24平方米．