重庆市外国语学校2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】

这是一份重庆市外国语学校2023年八年级数学第一学期期末联考试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了若分式的值为零，那么x的值为，如图，点A的坐标为，若点A等内容，欢迎下载使用。

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．9的平方根是( )
A．B．C．D．
3．如图，在等边△ABC中，AB＝15，BD＝6，BE＝3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）
A．8B．10C．D．12
4．如图，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上．轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
5．若分式的值为零，那么x的值为
A．或B．C．D．
6．如图，已知△ABC中，∠A=75°，则∠BDE+∠DEC =（ ）
A．335°B．135°C．255°D．150°
7．已知a﹣b=2，则a2﹣b2﹣4b的值为( )
A．2B．4C．6D．8
8．如图，点A的坐标为（8，0），点B为y轴负半轴上的一动点，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF，等腰直角三角形ABE，连接EF交y轴与P点，当点B在y轴上移动时，则PB的长度是（ ）
A．2B．4C．不是已知数的定值D．PB的长度随点B的运动而变化
9．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列各式中计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
12．某一次函数的图象过点（1，-2），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）
A．y=2x-4B．y=3x-1C．y=-3x+1D．y=-2x+4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，是边长为的等边三角形，为的中点，延长到，使，于点，求线段的长，______________．
14．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_________.
15．一次函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，则平移后的图像所对应的函数表达为_____．
16．正比例函数的图像经过第______________________象限.
17．用反证法证明命题“在一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，应假设________．
18．如果方程组的解满足，则的值为___________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x−1）−（x+1）（3x−2），其中x= −1．
20．（8分）在中，，，点是上一点．
（1）如图，平分．求证：；
（2）如图，点在线段上，且，，求证：．
（3）如图，，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于，求证：．
21．（8分）猜想与证明：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的和）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的和边．
（1）请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？若能，请你帮他写出至少两种以上恢复的方法并在备用图上恢复原来的样子．
（2）你能够证明这样的三角形是等腰三角形吗？（至少用两种方法证明）
22．（10分）观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,a,b,c.
根据你发现的规律,请写出:
(1)当a=19时,求b,c的值;
(2)当a=2n+1时,求b,c的值;
(3)用(2)的结论判断15,111,112,是否为一组勾股数,并说明理由.
23．（10分）2019年5月20日是第30个中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的300克早餐食品中，蛋白质总含量为8%，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为60g，蛋白质含量占15%；谷物食品和牛奶的部分营养成分下表所示）．
（1）设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克．（用含有x，y的式子表示）
（2）求出x，y的值．
（3）该公司为学校提供的午餐有A，B两种套餐（每天只提供一种）：
为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量．如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不超过830克，那么该校在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计算）
24．（10分）已知，，求的值．
25．（12分）如图（1），在ABC中，，BC=9cm, AC=12cm, AB=15cm.现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边ACCBBA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s．
（1）如图（1），当t=______时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，，DE=4cm, DF=5cm, ． 在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着ABBCCA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
26．因式分解
（1）；（2）．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】首先根据Rt△ABC的勾股定理得出AB的长度，根据AM=AC得出BM的长度，然后根据BN=BC得出BN的长度，从而根据MN=BN－BM得出答案．
【详解】∠ACB=90°，AC=40，CB=9
AB===41
又AM=AC，BN=BC
AM=40，BN=9
BM=AB-AM=41-40=1
MN=BN-BM=9-1=8
故选C
考点：勾股定理
2、C
【分析】根据平方根的定义进行求解即可.
【详解】解：9的平方根是.
故选C.
【点睛】
本题考查平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数.
3、D
【分析】首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用，判定△DPE≌△FDH，△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：
则BE′=BD=3，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE=BE=3，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，，
∴△DPE≌△FDH（AAS），
∴FH=DE=3，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为3，
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则四边形DF1F2Q是矩形，
∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，
∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠F2DQ=∠DAE，
在△DF2Q和△ADE中，，
∴△DF2Q≌△ADE（AAS），
∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，
∴F1F2=DQ=12，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为12，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线.
4、D
【分析】根据题中所给信息，求出△ABC是等腰直角三角形，然后根据已知数据得出AC=BC的值即可．
【详解】解：根据题意，∠BCD=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°-30°=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25（海里），
∴AC=BC=25（海里），
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形与方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
5、C
【分析】根据分式的值为0的条件分子为0，分母不能为0，得到关于x的方程以及不等式，求解即可得出答案．
【详解】分式的值为零，
，，
解得：，
故选C．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键.
6、C
【分析】先由三角形内角和定理得出∠B+∠C=180°-∠A=105°，再根据四边形内角和定理即可求出∠BDE+∠DEC =360°-105°=255°.
【详解】：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=105°，
∵∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°，
∴∠BDE+∠DEC=360°-105°=255°；
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n边形内角和为（n-2）•180°（n≥3且n为整数）是解题的关键．
7、B
【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】∵a﹣b=2，
∴原式=(a+b)(a﹣b)﹣1b=2(a+b)﹣1b=2a+2b﹣1b=2(a﹣b)=1．
故选：B．
【点睛】
此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8、B
【分析】作EN⊥y轴于N，求出∠NBE=∠BAO，证△ABO≌△BEN，求出∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，证△BFP≌△NEP，推出BP=NP，即可得出答案．
【详解】解：如图，作EN⊥y轴于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，
在△BFP和△NEP中，
，
∴△BFP≌△NEP（AAS），
∴BP=NP，
又∵点A的坐标为（8，0），
∴OA=BN=8，
∴BP=NP=4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
9、D
【解析】分析：直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a，b的符号，进而得出答案．
详解：∵点A（a+1，b-2）在第二象限，
∴a+1＜0，b-2＞0，
解得：a＜-1，b＞2，
则-a＞1，1-b＜-1，
故点B（-a，1-b）在第四象限．
故选D．
点睛：此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
10、A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
【详解】A. ∵1 + =2，
∴此三角形是直角三角形，正确；
B. ∵1+3≠4，
∴此三角形不是直角三角形，不符合题意；
C. ∵2+3≠6，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意；
D. ∵4+5≠6，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意.
故选：A.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握计算公式.
11、B
【分析】利用同底数幂的乘法运算公式即可得出答案．
【详解】A、x3和x2不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、x3·x2=x3+2=x5，故此选项正确；
C、x·x3=x1+3=x4，故此选项错误；
D、x7和-x2不是同类项，不能合并，故此选项错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解决此题的关键．
12、C
【分析】根据一次函数的增减性可得k＜0，排除A，B，然后将点（1，-2）代入C，D选项的解析式验证即可.
【详解】解：根据一次函数y随x的增大而减小可得：k＜0，排除A，B，
把x=1代入y=-3x+1得y=-2，即该函数图象过点（1，-2），符合题意，
把x=1代入y=-2x+4得y=2，即该函数图象过点（1，2），不符合题意，
故选：C.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，熟知函数图象上的点满足函数解析式是解题关键.．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、6
【分析】根据等边三角形的性质可得∠DBC=30°，∠DCB=60°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠E=30°，可得BD=DE，根据等腰三角形的“三线合一”可得BF=BE即可求解．
【详解】∵是边长为的等边三角形，为的中点
∴∠DBC=∠ABC=30°，∠DCB=60°，BC=8，CD=4
∵CE=CD
∴CE=4，∠E=∠CDE=30°
∴∠DBC=∠E，BE=BC+CE=12
∴BD=DE
∴BF=BE=6
故答案为：6
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，掌握图形的性质并能根据三角形的外角的性质求出∠E的度数是关键．
14、
【解析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
【详解】分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x的值再进行分析
15、
【分析】根据”上加下减”的平移规律解答即可.
【详解】解: 一次函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，则平移后的图像所对应的函数表达为: .
故答案:
【点睛】
本题考查了一次函数图像与几何变换,求直线平移后的解析式要注意平移时候k值不变,解析式变化的规律是:上加下减, 左加右减.
16、二、四
【分析】根据正比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵﹣5＜0，
∴正比例函数的图像经过第二、四象限．
故答案为：二、四．
【点睛】
本题考查了正比例函数的图象与性质，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
17、在一个三角形中三个角都大于60°
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进行解答即可．
【详解】由反证法的一般步骤，第一步是假设命题的结论不成立，
所以应假设在一个三角形中三个角都大于60°，
故答案为：在一个三角形中三个角都大于60°．
【点睛】
本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
18、
【分析】先利用方程组求出a的值，再代入求解即可得．
【详解】
②①得：，即
由题意得：
解得
将代入得：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解定义、代数式的化简求值等知识点，掌握理解二元一次方程组的解定义是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；3
【分析】利用平方差公式以及多项式乘多项式展开后，再合并同类项，代入x= −1即可求解．
【详解】
，
当时，
原式．
【点睛】
本题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握整式乘法的计算法则，正确把式子化简．
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）延长AC至E，使CE=CD，利用AAS证出△BAD≌△EAD，从而得出AB=AE，即可证出结论；
（2）过点C作CF⊥EC交AD的延长线于点F，连接BF，先利用SAS证出△ACE≌△BCF，从而证出AE=BF，∠CEA=∠CFB，再证出∠EFB=90°，利用30°所对的直角边是斜边的一半即可证出结论；
（3）过点C作CE⊥AM于M，先利用AAS证出△CNA≌△CMB，即可证出CN=CM，根据等腰三角形的性质可得NE=EM，然后利用AAS证出△CED≌△BMD，从而得出ED=DM，然后根据线段的关系即可得出结论．
【详解】解：（1）延长AC至E，使CE=CD
∵，
∴∠ECD=180°－∠ACB=90°，∠B=∠CAB=（180°－∠ACB）=45°
∴△CDE为等腰三角形
∴∠E=45°
∴∠B=∠E
∵平分
∴∠BAD=∠EAD
在△BAD和△EAD中
∴△BAD≌△EAD
∴AB=AE
∵AE=AC＋CE=AC＋CD
∴AB= AC＋CD
（2）过点C作CF⊥EC交AD的延长线于点F，连接BF
∵∠CED=45°
∴△CEF为等腰直角三角形
∴CE=CF，∠CFE=∠CEF=45°
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ACE＋∠ECB=90°，∠BCF＋∠ECB=90°
∴∠ACE=∠BCF
在△ACE和△BCF中
∴△ACE≌△BCF
∴AE=BF，∠CEA=∠CFB
∵∠CEA=180°－∠CEF=135°
∴∠CFB=135°
∴∠EFB=∠CFB－∠CFE=90°
在Rt△EFB中，∠BEF=30°
∴BE=2BF
∴BE=2AE
（3）过点C作CE⊥AM于M，
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ACB=90°，CA=CB
∵CN⊥CM，BM⊥AM
∴∠NCM=90°，∠BMA=90°
∴∠ACN+∠NCB=90°，∠BCM＋∠NCB=90°，
∴∠ACN=∠BCM
∴∠CNA=∠NCM＋∠CMN=90°＋∠CMN=∠CMB
在△CNA和△CMB中
∴△CNA≌△CMB
∴CN=CM
∴△CNM为等腰直角三角形
∴NE=EM
在△CED和△BMD中
∴△CED≌△BMD
∴ED=DM
∴EM=2DM
∴NE=2DM
∴DN=NE＋ED=3DM
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
21、（1）能，具体见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A；方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB即可；方法3：将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB即可；
（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论；证法2：过A作AD⊥BC于D，利用AAS即可证出△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC，根据等腰三角形的定义即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A．如下图所示：△ABC即为所求
方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求．
方法3：如图，将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠ C的另一边的延长线与折痕的交点A，连接AB，如下图所示：△ABC即为所求
（2）证法1：作∠A的平分线AD，交BC与点D
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形；
证法2：过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC，
即△ABC为等腰三角形．
【点睛】
此题考查的是根据一个底角和底边构造等腰三角形、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握垂直平分线的性质、等角对等边、等腰三角形的定义和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
22、 (1) b=180.c=181；(2) b=2n2+2n,c=2n2+2n+1；(3) 不是,理由见解析
【解析】试题分析：（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值．
（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值．
（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．
试题解析：解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b=1．
∵a=19，a2+b2=c2，∴192+b2=（b+1）2，∴b=180，∴c=181；
（2）通过观察知c﹣b=1，∵（2n+1）2+b2=c2，∴c2﹣b2=（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，又c=b+1，∴2b+1=（2n+1）2，∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15，112﹣111=1，但2n2+2n=112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．
点睛：此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力．
23、（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据统计表列出算式即可求解；
（2）根据等量关系：蛋白质总含量为8%；300克早餐食品；列出方程组求解即可；
（3）设该学校一周里共有a天选择A套餐，则有（5-a）天选择B套餐，根据学生午餐主食摄入总量不超过830克列出不等式求解即可．
【详解】（1）谷物食品中所含的蛋白质为9%克，牛奶中所含的蛋白质为 3%克；
故答案为：，；
（2）依题意，列方程组为，
解得 ；
（3）设该学校一周里共有a天选择A套餐，则有（）天选择B套餐，
依题意，得：150a＋180(5－a)≤830，
解得 ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系和不等关系．
24、-1．
【分析】先对多项式进行因式分解，再代入求值，即可得到答案．
【详解】
，
当，时，原式．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式，是解题的关键．
25、（1）t=或；（2）
【分析】（1）先求出△ABC面积，进而可求出△APC的面积，分P点运动到BC边上时和P点运动到AB边上时两种情况分别讨论即可；
（2）由全等三角形的性质得出，进而可求出P的运动时间，即Q的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．
【详解】（1）
∵△APC的面积等于△ABC面积的一半
当P点运动到BC边上时，此时
即

此时
当P点运动到AB边上时，作PQ⊥AC于Q
此时
即


∴此时P点在AB边的中点
此时
综上所述，当t=或时，△APC的面积等于△ABC面积的一半
（2）∵，DE=4cm, DF=5cm,

此时P点运动的时间为
∵P,Q同时出发，所以Q运动的时间也是
∴Q运动的速度为
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
26、（1）；（2）．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
方案
A套餐
B套餐
方案1
3天
2天
方案2
4天
1天
方案3
5天
0天