重庆市实验外国语学校2023年数学八年级第一学期期末监测模拟试题【含解析】

这是一份重庆市实验外国语学校2023年数学八年级第一学期期末监测模拟试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了式子的值不可能等于等内容，欢迎下载使用。

请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
2． “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为41，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=41；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=1．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②③④C．①③D．②④
3．二元一次方程 2x−y＝1 有无数多个解，下列四组值中是该方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．如图1，已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC完全重合的是（）
A．丙和乙B．甲和丙C．只有甲D．只有丙
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE=3，CF=2，则线段EF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．1，，
7．式子的值不可能等于( )
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
8．已知直线，将一块含角的直角三角板()按如图所示的位置摆放，若， 则的度数为( )
A．B．C．D．
9．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为（ ）
A．44°B．66°C．96°D．92°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图所示，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位到达点，点表示，设点所表示的数为，则的值是__________．
12．命题“两直线平行,同位角相等”的逆命题是 ．
13．计算：23×20.2＋77×20.2=______．
14．已知，，则_________
15．在△ABC中，已知AB=15，AC=11，则BC边上的中线AD的取值范围是____．
16．已知，则 _________．
17．如图,四边形ABCD沿直线l对折后互相重合,如果AD∥BC,有下列结论:①AB∥CD ②AB=CD ③AB⊥BC ④AO=OC其中正确的结论是_______________. (把你认为正确的结论的序号都填上)
18．如图，等边三角形ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为直线l上一动点，则AD＋CD的最小值是________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图在中，,将三角板中30度角的顶点D放在AB边上移动，使这个30度角的两边分别与的边AC,BC相交于点E,F,且使DE,始终与AB垂直
（1）求证：是等边三角形
（2）若移动点D，使EF//AB时，求AD的长
20．（6分）先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
21．（6分）如图，有一个池塘，要到池塘两侧AB的距离，可先在平地上取一个点C，从C不经过池塘可以到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？
22．（8分）全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了，两种型号的空气净化器，已知一台型空气净化器的进价比一台型空气净化器的进价多300元，用7500元购进型空气净化器和用6000元购进型空气净化器的台数相同．
（1）求一台型空气净化器和一台型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，型空气净化器因为净化能力强，噪声小而更受消费者的欢迎．商社电器计划型净化器的进货量不少于20台且是型净化器进货量的三倍，在总进货款不超过5万元的前提下，试问有多少种进货方案？
23．（8分）如图，在中，平分．
（1）若为线段上的一个点，过点作交线段的延长线于点．
①若，，则_______；
②猜想与、之间的数量关系，并给出证明．
（2）若在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与、的数量关系．
24．（8分）如图，和都是等腰直角三角形，为上一点．
（1）求证：
（2）若，,求的值．
25．（10分）如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，
(1)M点如图1的位置时，如果AM=5,求BN的长；
(2)M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系__________________；
(3)M点在如图3位置时，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．
26．（10分）阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题解析：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，
∴∠ADB=90°-15°=75°．
∵∠C=35°，
∴∠CAD=75°-35°=40°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠CAD=80°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-35°=65°．
故选A．
2、A
【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.
【详解】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴斜边的平方= a2+b2，
由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，
∴大正方形的面积=斜边的平方= a2+b2，
即a2+b2=41，故①正确；
根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，
4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形 =41-4=45，
即2ab=45，故③正确；
由①③可得a2+b2+2ab=41+45=14，
即(a+b)2=14，
∵a+b>0，
∴a+b=，故④错误，
由①③可得a2+b2-2ab=41-45=4，
即(a-b)2=4，
∵a-b>0，
∴a-b=2，故②正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键．
3、D
【分析】将各项中x与y的值代入方程检验即可得到结果．
【详解】A、把代入方程得：左边，右边=1，不相等，不合题意；
B、把代入方程得：左边，右边=1，不相等，不合题意；
C、把代入方程得：左边，右边=1，不相等，不合题意；
D、把代入方程得：左边，右边=1，相等，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4、B
【解析】根据全等三角形的判定ASA，SAS，AAS，SSS，看图形中含有的条件是否与定理相符合即可．
解：甲、边a、c夹角是50°，符合SAS∴甲正确；
乙、边a、c夹角不是50°，∴乙错误；
丙、两角是50°、72°，72°角对的边是a，符合AAS，∴丙正确．
故选B．
点评：本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行判断是解此题的关键
5、A
【分析】利用角平分线性质结合平行线性质，可以证出∠EBO=∠BOE，∠COF=∠OCF，由等角对等边可得线段相等，等量代换即可得．
【详解】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
又∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠BOE，∠BCO=∠COF，
∴∠EBO=∠BOE， ∠OCF=∠COF，
∴BE=EO，FO=CF，
∴EF=EO+FO=BE+CF=3+2=5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，线段相等的等量代换，熟记图形的性质是解题的关键．
6、D
【解析】试题分析：A．，不能组成直角三角形，故错误；
B．，不能组成直角三角形，故错误；
C．，不能组成直角三角形，故错误；
D．，能够组成直角三角形，故正确．
故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
7、C
【分析】根据分式的加减运算，对式子进行化简，然后根据分式有意义，即可得出答案.
【详解】解：
= ，
分式的值不能为0，因为只有a=b=c时，分母才为0，此时分式没意义，
故选：C．
【点睛】
本题主要考察了分式的加减运算以及分式有意义的定义，解题的关键是分式的加减运算要正确进行通分，以及注意分式的分母不能为零.
8、A
【分析】给图中各角标上序号，由同位角相等和邻补角的性质可求出∠5的度数，再结合三角板的性质以及外角的性质可得出∠4，最后利用对顶角相等得出∠1的度数．
【详解】解：∵，
∴∠2=∠3=75°，
∴∠5=180°-75°=105°，
又∵直角三角板中，∠B=45°，∠5=∠B+∠4，
∠4=105°-45°=60°，
∴∠1=60°.
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9、B
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选B．
10、C
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝42°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵PA＝PB，
∴∠A＝∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK＝∠BKN，
∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝42°，
∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝96°，
故选C．
【点睛】
此题主要考查利用等腰三角形的性质判定三角形全等，以及三角形的外教性质和内角和定理的运用，熟练掌握，即可解题.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先根据数轴上点的平移的性质求得m，将m的值代入，根据绝对值的性质（）进行化简即可．
【详解】解：由题意知，A点和B点的距离为2，A的坐标为，
∴B点的坐标为；
∴
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数与数轴，化简绝对值，无理数的估算．能估算的正负，并且根据绝对值的意义化简是解决此题的关键．
12、同位角相等，两直线平行
【详解】逆命题是原命题的反命题，故本题中“两直线平行,同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行
【点睛】
本题属于对逆命题的基本知识的考查以及逆命题的反命题的考查和运用
13、1
【分析】先把20.2提取出来，再把其它的数相加，然后再进行计算即可．
【详解】根据题意得：
=1．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是找出公因式，再进行提取，是一道基础题．
14、1
【分析】根据提公因式得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：，，
∴，
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了提公因式和整体代入的方法，熟悉相关性质是解题的关键．
15、2【分析】延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，然后根据“边角边”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后利用三角形任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，从而得解．
【详解】解：如图，延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AB=15，
∴CE=15，
∵AC=11，
∴在△ACE中，15－11=4，15＋11=26，
∴4＜AE＜26，
∴2＜AD＜1；
故答案为：2＜AD＜1．
【点睛】
本题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是将中线AD延长得AD=DE，构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
16、1
【分析】令，，根据完全平方公式的变形公式，即可求解．
【详解】令，，则x-y=1，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，即：xy=1，
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查通过完全平方公式进行计算，掌握完全平方公式及其变形，是解题的关键．
17、①②④
【分析】四边形ABCD沿直线l对折后互相重合，即△ABC与△ADC关于L对称，又有AD∥BC，则有四边形ABCD为平行四边形．根据轴对称的性质可知．
【详解】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC；
∴△AOD≌△BOC；
∴AD=BC=CD，OC=AO，且四边形ABCD为平行四边形．故②④正确；
又∵AD四边形ABCD是平行四边形；
∴AB∥CD．故①正确．
18、
【分析】连接CC´，根据△ABC与△A′BC′均为等边三角形即可得到四边形ABC´C为菱形，因为点C关于直线l对称的点是C´，以此确定当点D与点D´重合时，AD+CD的值最小，求出AC´即可．
【详解】解：连接CC´，如图所示
∵△ABC与△A′BC′均为等边三角形，
∴∠A´BC´=∠CAB=60°，AB=BC´=AC，
∴AC∥BC´，
∴四边形ABC´C为菱形，
∴BC⊥AC´，CA=CC´，∠ACC´=180°-∠CAB=120°，
∴∠CAC´=(180°-∠ACC´)= (180°-120°)=30°，
∴∠C´AB=∠CAB-∠CAC´=30°，
∵∠A´=60°，
∴∠AC´A´=180°-∠C´AB-∠A´=180°-30°-60°=90°，
∵点C关于直线l对称的点是C´，
∴当点D与点D´重合时，AD+CD取最小值，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路径问题，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识．解题的关键是学会利用轴对称解决问题．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，从而可得到△BDF是等边三角形；
（2）设AD=x，CF=y，求出y与x之间的关系式，当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF=EF，EF=DF，代入计算即可求得AD的长．
【详解】解：（1）∵ED⊥AB，∠EDF=30°，
∴∠FDB=60°，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∴∠DFB=60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）设AD=x，CF=y，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2，
∵CF=y，
∴BF=1-y，
又△BDF是等边三角形，
∴BD=BF=1-y，
∴x=2-（1-y）=1+y，
∴y=x-1，
当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，
∴CF=EF，EF=DF，
∵DF=BF=1-y，
∴4y=1-y，
∴y=，
∴x=y+1=，
即AD=．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，等边三角形的判定与性质，知识点比较多，难度较大．
20、；当x=2时，原式=-1．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出x的值代入原式即可求出答案．
【详解】
=
=
=
=．
∵有意义，
∴x≠0，x≠±3，
∵，x为整数，
∴当x=2时，原式==-1．
【点睛】
本题考查分式的化简求值及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．
21、量出DE的长就等于AB的长，理由详见解析.
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】量出DE的长就等于AB的长，理由如下：
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB=DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
22、 (1)每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；(2)有两种方案：购B型空气净化器为7台，A型净化器为21台；购B型空气净化器为8台，A型净化器为24台.
【分析】(1)设每台B型空气净化器为x元,A型净化器为（x+300）元,由题意得,,解方程可得;
(2)设购B型空气净化器为x台,A型净化器为3x台,由题意得,且,解不等式可得.
【详解】（1）设每台B型空气净化器为x元,A型净化器为（x+300）元,
由题意得,,
解得:x=1200,
经检验x=1200是原方程的根,
则x+300=1500,
答:每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元,1500元;
(2)设购B型空气净化器为x台,A型净化器为3x台,由题意得
解得x≤
由因为,即
所以x的正整数值是:7,8.
所以3x=21或24
答:有两种方案:购B型空气净化器为7台,A型净化器为21台;购B型空气净化器为8台,A型净化器为24台.
【点睛】
考核知识点:分式方程应用.理解题列出分式方程,借助不等式分析方案是关键.
23、（1）①，②；（2）
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系；
（3）同（1）（2）的思路即可得出结论.
【详解】（1）①∵，
∴
∵AD平分
∴
∴
∵PE⊥AD
∴；
②数量关系：
，
理由如下：
设
∵AD平分
∴
∵
∴
∴
∴
∵PE⊥AD
∴
∴；
（2），
如下图：
设
∵AD平分
∴
∵
∴
∴
∴
∵PE⊥AD
∴
∴.
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线定理以及角的和差倍分计算，熟练掌握相关角的计算是解决本题的关键.
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可知BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，通过等量减等量即可推出∠ACE=∠BCD，根据全等三角形的判定定理“SAS”，即可得出结论；
（2）根据（1）中所推出的结论可知，BD=AE，∠CAE=∠B=45°，然后根据等腰直角三角形的性质推出∠CAB=45°，即可推出EA⊥BA，即△EAD为直角三角形，再根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）和都是等腰直角三角形，
,
,
即,
在和中,
,
；
（2）
,
在中，
,
,
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，关键在于认真的阅读题目，正确的运用相关的性质定理求证三角形全等．
25、（1）5；（2）AB+BM=BN；（3）详见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠APB=∠MPN，PA=PB，PM=PN，然后即可利用SAS证明△PAM≌△PBN，再利用全等三角形的性质即得结论；
（2）仿（1）的方法利用SAS证明△PAM≌△PBN，可得AM=BN，进一步即得结论；
（3）根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠BPM=∠PMB =30°，易知∠PMN=60°，问题即得解决．
【详解】解：（1）如图1，∵△PAB，△PMN都是等边三角形，
∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，
∴∠APM=∠BPN，
∴△PAM≌△PBN(SAS) ，
∴AM=BN=5，∴BN的长为5；
（2） AB+BM=BN；
理由：如图2，∵△PAB，△PMN都是等边三角形，
∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，
∴∠APM=∠BPN，
∴△PAM≌△PBN(SAS) ，
∴AM=BN，即AB+BM=BN；
故答案为：AB+BM=BN；
（3）证明：如图3，∵△PAB是等边三角形，∴AB=PB，∠ABP=60°，
∵BM=AB，∴PB=BM，∴∠BPM=∠PMB，
∵∠ABP=60°，∴∠BPM=∠PMB =30°，
∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN=60°，
∴∠AMN=90°，即MN⊥AB．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
26、 (1);(2) 是等腰三角形.
【分析】(1)首先将x2﹣6xy+9y2三项组合，﹣3x+9y两项组合，分别利用完全平方公式分解因式和提取公因式分解因式，进而利用提取公因式分解因式得出即可；
(2)首先将前两项以及后两项组合，分别利用平方差公式分解因式和提取公因式分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵是三角形的三边，
∴，
∴，得，
∴是等腰三角形.
【点睛】
此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．