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第五章 §5.4 平面向量中的综合问题-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§5.4 平面向量中的综合问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，
又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；
∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，
设△ABC外接圆的半径为R，
用向量方法解决平面几何问题的步骤
得四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p，则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1，
所以〈m，n〉＝120°，
即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6(舍负)，即AB＝6，
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
当且仅当x＝y时，等号成立.故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
方法一 如图，建立平面直角坐标系，设P(cs θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
设P(x，y)，则点P在以A为圆心，1为半径的圆上，
命题点3 与模有关的最值(范围)问题例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是
a，b是单位向量，a·b＝0，
∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
跟踪训练2 (1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________.
方法一 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则c－a＝(x－1，y)，c－b＝(x，y－1)，∵(c－a)⊥(c－b)，∴x(x－1)＋y(y－1)＝0，
则AC⊥BC，又OA⊥OB，则四边形OBCA四点共圆，则(OC)max为圆直径AB，
因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则C(6,0)，A(0,8)，D(3,4)，设M(x,0)，－6≤x≤6，
已知a，b是单位向量，
二、多项选择题6.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有
即点D是边BC的中点，故A正确；
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.
如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(2cs θ，2sin θ)，θ∈[0，π]，又A(－2,0)，B(2,0)，E(2,2)，D(－2,4)，C(2,4)，
即(2cs θ＋2,2sin θ)＝λ(0,4)＋μ(4,2)
∵θ∈[0，π]，则－1≤cs θ≤1,0≤sin θ≤1，
三、填空题8.已知向量a，b，|b|＝2，|a－b|＝1，则|a|的最大值为________.
|a|＝|a－b＋b|≤|a－b|＋|b|＝1＋2＝3，当a－b与b方向相同时，等号成立.
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
10.(2023·福州模拟)已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋b·e|的最大值为________.
∵a·b＝|a|＝|b|＝2，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cs θ＝2×2×cs θ＝2，
再设e＝(cs α，sin α)，
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§5.4 平面向量中的综合问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是
所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；
以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，
又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；
∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，
设△ABC外接圆的半径为R，
用向量方法解决平面几何问题的步骤
得四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p，则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1，
所以〈m，n〉＝120°，
即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6(舍负)，即AB＝6，
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
当且仅当x＝y时，等号成立.故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
方法一 如图，建立平面直角坐标系，设P(cs θ，sin θ)，θ∈[0,2π]，
设P(x，y)，则点P在以A为圆心，1为半径的圆上，
命题点3 与模有关的最值(范围)问题例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是
a，b是单位向量，a·b＝0，
∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
跟踪训练2 (1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________.
方法一 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则c－a＝(x－1，y)，c－b＝(x，y－1)，∵(c－a)⊥(c－b)，∴x(x－1)＋y(y－1)＝0，
则AC⊥BC，又OA⊥OB，则四边形OBCA四点共圆，则(OC)max为圆直径AB，
因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则C(6,0)，A(0,8)，D(3,4)，设M(x,0)，－6≤x≤6，
已知a，b是单位向量，
二、多项选择题6.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有
即点D是边BC的中点，故A正确；
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.
如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(2cs θ，2sin θ)，θ∈[0，π]，又A(－2,0)，B(2,0)，E(2,2)，D(－2,4)，C(2,4)，
即(2cs θ＋2,2sin θ)＝λ(0,4)＋μ(4,2)
∵θ∈[0，π]，则－1≤cs θ≤1,0≤sin θ≤1，
三、填空题8.已知向量a，b，|b|＝2，|a－b|＝1，则|a|的最大值为________.
|a|＝|a－b＋b|≤|a－b|＋|b|＝1＋2＝3，当a－b与b方向相同时，等号成立.
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
10.(2023·福州模拟)已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋b·e|的最大值为________.
∵a·b＝|a|＝|b|＝2，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cs θ＝2×2×cs θ＝2，
再设e＝(cs α，sin α)，
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