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第五章 培优点7 极化恒等式-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.极化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
题型一 利用极化恒等式求值
A.1 B.2 C.3 D.5
方法一(极化恒等式法)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.由向量的极化恒等式，知
方法二(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a,3b)，B(－c,0)，C(c,0)，则E(2a,2b)，F(a，b)，
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决.
题型二 利用极化恒等式求最值(范围)
记线段PQ的中点为H(图略)，点O到直线AB的距离为d，
设MN的中点为A，连接OA，
方法二(极化恒等式法)
(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.
如图所示，设P是线段AB上的任意一点，
由于P是线段AB上的任意一点，
如图所示，取BC的中点O，过点O作OH⊥BC交AD于点H，
如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，
当且仅当M与P重合时取等号.
设圆C的半径为r，则r＝1，
(PM)min＝CM－r＝2－1＝1，
如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标为(a,1－a)，则点C在直线l：x＋y－1＝0上，
因为点C是直线l：x＋y－1＝0上的动点，
5.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是
∵(a－c)·(b－c)＝0，∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c，
在平行四边形ABOC中，因为OB＝OC，
设菱形ABOC对角线的交点为E，则由极化恒等式得
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
1.极化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
题型一 利用极化恒等式求值
A.1 B.2 C.3 D.5
方法一(极化恒等式法)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.由向量的极化恒等式，知
方法二(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设A(3a,3b)，B(－c,0)，C(c,0)，则E(2a,2b)，F(a，b)，
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而利用极化恒等式解决.
题型二 利用极化恒等式求最值(范围)
记线段PQ的中点为H(图略)，点O到直线AB的距离为d，
设MN的中点为A，连接OA，
方法二(极化恒等式法)
(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.
如图所示，设P是线段AB上的任意一点，
由于P是线段AB上的任意一点，
如图所示，取BC的中点O，过点O作OH⊥BC交AD于点H，
如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，
当且仅当M与P重合时取等号.
设圆C的半径为r，则r＝1，
(PM)min＝CM－r＝2－1＝1，
如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标为(a,1－a)，则点C在直线l：x＋y－1＝0上，
因为点C是直线l：x＋y－1＝0上的动点，
5.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是
∵(a－c)·(b－c)＝0，∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c，
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