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第五章 培优点8 等和(高)线定理与奔驰定理-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
培优点8 等和(高)线定理与奔驰定理
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
题型一 利用等和线求基底系数和的值
方法一 (常规方法)∵E为线段AO的中点，
方法二 (等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，
利用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
方法一 (常规方法)由题意作图如图.
设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，
题型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)
如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.
作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1；当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1,3].
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.
由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
∴M为△ABC的重心，如图，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，
方法二 (等和线法)BC是值为1的等和线，过M作BC的平行线，
方法二 (等和线法)如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，
A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3
根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.
A.[0,1] B.[0,2]C.[0,3] D.[0,4]
如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB的延长线于点G，H，
∵△BCD与△ABC的面积之比为2∶1，∴AC′＝3AC，AB′＝3AB，
∴λ＝3y，μ＝3x⇒λ＋μ＝3x＋3y＝3.当点P位于A点时，显然有λ＋μ＝0，综上，λ＋μ的取值范围是[0,3].
方法一 (常规方法)设圆O的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，
方法二 (等和线法)设λ＋μ＝k，如图，当C位于点A或点B时，A，B，C三点共线，所以k＝λ＋μ＝1，
所以λ＋μ∈[1,2].
如图，BC是值为1的等和线，过点O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，
由题设知O为△ABC的重心，
方法一 如图，设AC的中点为M，BC的中点为N.
所以O为线段MN的中点，
根据奔驰定理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB＝1∶3∶5，
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
培优点8 等和(高)线定理与奔驰定理
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
题型一 利用等和线求基底系数和的值
方法一 (常规方法)∵E为线段AO的中点，
方法二 (等和线法)如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，
利用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
方法一 (常规方法)由题意作图如图.
设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，
题型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)
如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.
作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，当点C与点B重合时，3x＋y取得最小值1；当点C与点A重合时，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范围是[1,3].
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.
由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
∴M为△ABC的重心，如图，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点，
方法二 (等和线法)BC是值为1的等和线，过M作BC的平行线，
方法二 (等和线法)如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，
A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3
根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.
A.[0,1] B.[0,2]C.[0,3] D.[0,4]
如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB的延长线于点G，H，
∵△BCD与△ABC的面积之比为2∶1，∴AC′＝3AC，AB′＝3AB，
∴λ＝3y，μ＝3x⇒λ＋μ＝3x＋3y＝3.当点P位于A点时，显然有λ＋μ＝0，综上，λ＋μ的取值范围是[0,3].
方法一 (常规方法)设圆O的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略)，
方法二 (等和线法)设λ＋μ＝k，如图，当C位于点A或点B时，A，B，C三点共线，所以k＝λ＋μ＝1，
所以λ＋μ∈[1,2].
如图，BC是值为1的等和线，过点O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，
由题设知O为△ABC的重心，
方法一 如图，设AC的中点为M，BC的中点为N.
所以O为线段MN的中点，
根据奔驰定理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB＝1∶3∶5，
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