第五章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个　　　　向量，那么对于这一平面内的任一向量a，　　　　　一对实数λ1，λ2，使a＝ .若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个　　 .2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个　　　　　的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝　　　　　　　　，a－b＝　　　　　　　　，λa＝　　　　　，|a|＝　　　　　.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则　　　坐标即为向量的坐标.
(x2－x1，y2－y1)
4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔　　　　　　　.
x1y2－x2y1＝0
1.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(　　)(2)基底中可以含有零向量.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.(　　)
2.若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的一个基底的是A.e1与e1＋e2 B.e1－2e2与2e1＋e2C.e1－2e2与e1＋2e2 D.e1－e2与e2－e1
因为e2－e1＝－(e1－e2)，故e1－e2与e2－e1共线，不能构成基底.
3.(必修第二册P31例7改编)若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m等于
4.(2023·石嘴山模拟)已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是__________.
设点O为坐标原点，∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，
∴点P的坐标为(－2,15).
题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
跟踪训练1　(1)平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是A.向量a，b的方向相同B.向量a，b中至少有一个是零向量C.向量a，b的方向相反D.当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确.
如图，取CD中点G，连接BG，交AC于点H，∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，又E为AB中点，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，
题型二　平面向量的坐标运算
设点P的坐标为(x，y)，∵A(－1,2)，B(3,0)
在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
跟踪训练2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于
∵a－2b＋3c＝0，
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b
则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，
题型三　向量共线的坐标表示
例3　(1)(2023·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝______.
a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，则a＋2b＝(－1＋2m，－4)，由题意得(a＋2b)∥a，
(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为________.
建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(0,4)，E(1,0)，F(1,2)，设AF与CE交点为D(x，y)，
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3　(1)(2024·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为
因为a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，又c＝(2，cs α)且(a＋b)∥c，
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为______.
∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，
设点D的坐标为(x，y)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
∴点D的坐标为(2,4).
一、单项选择题1.下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是A.e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2)B.e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1)C.e1＝(3,3)，e2＝(－1,1)D.e1＝(2,3)，e2＝(－1,3)
对于A，C，D，因为两向量不共线，所以{e1，e2}能作为一个基底；对于B，因为e1＝－2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为一个基底.
2.(2024·齐齐哈尔模拟)已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于
3.(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝　　 ，则a等于A.(－6,4) B.(－4,6)C.(4，－6) D.(6，－4)
∵a与b的方向相反，∴a＝λb(λ<0).设a＝(x，y)，则(x，y)＝λ(－2,3)，
得x2＋y2＝52，即4λ2＋9λ2＝13λ2＝52，∴λ2＝4，又λ<0，∴λ＝－2，∴a＝(4，－6).
A.(－4,2) B.(－4，－2)C.(4，－2) D.(4,2)
由题意知，G是△ABC的重心，设C(x，y)，
故点C的坐标为(4，－2).
如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6，则B(6,0)，D(0,6)，C(6,6)，E(6,3)，F(3,6)，
以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则以AC为直径的圆的方程为
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形.
8.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则
建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，
∵点A(1,3)，B(4，－1)，
10.已知向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝______.
向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，则2a＋b＝(1,8－2λ)，由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ，解得λ＝6.
方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，
所以∠B1OC＝90°.
所以λ＋μ＝6.方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
(1)求点B，C的坐标；
(2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长.
∴四边形OABC为等腰梯形.
∴四边形OABC的周长为8.
(2)若b＝1，求△ABC面积的最大值.
a＝2sin A，c＝2sin C，
因为CB＝CD＝1，∠DCB＝90°＋45°＝135°，故∠BDC＝22.5°，
建立如图所示的平面直角坐标系，