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新高考数学一轮复习课件 第5章 §5.4 平面向量中的综合问题 培优课
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第5章 §5.4 平面向量中的综合问题 培优课，共58页。PPT课件主要包含了课时精练等内容，欢迎下载使用。
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§5.4 平面向量中的综合问题 培优课
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足则BC的长为
平面向量在几何中的应用
即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ＝1，则点C的轨迹为A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
＝x2＋y2－a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C的轨迹为圆.
则四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，1＋2m·n＋1＝1，
所以〈m，n〉＝120°，
且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，
例2 (2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若 的最大值为
和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
因为O，F，B三点共线，
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是A.(－2,6) B.(－6,2)C.(－2,4) D.(－4,6)
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
例4 已知向量a＝(cs θ，sin θ)，b＝(－ ，1)，则|2a－b|的最大值为___.
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
方法一 由题意得|a|＝1，|b|＝2，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
方法三 由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4.
向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
跟踪训练2 (1)(2022·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足
由平面向量模的三角不等式可得
因为点E在线段AD上移动(不含端点)，
KESHIJINGLIAN
因为点M在△ABC内部(包括边界)，
即点P的轨迹经过△ABC的垂心.
如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
4.(2022·长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为 ，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大值为A.18 B.24 C.36 D.48
骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动.如图，以AD所在直线为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，
圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，
5.(2022·合肥模拟)P为双曲线x2－y2＝1左支上任意一点，EF为圆C：(x－2)2＋y2＝4的任意一条直径，则 的最小值为A.3 B.4 C.5 D.9
如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r＝2，
如图分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设P(t，t)，Q(cs θ，1＋sin θ)，
7.(多选)(2022·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则 的值A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与点A，B的位置有关
如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
8.(多选)(2022·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心.下列四个选项中结论正确的是
对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，
所以△AGH∽△DGO，
9.(2022·潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为1， ＝c，则|a＋b＋c|＝________.
方法一 根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y).
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1].
方法二 如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以可设P(cs α，sin α)(0≤α＜2π)，
当且仅当cs α＝1，即α＝0，P(1,0)时等号成立.
在△ABC中，设角A，B，C所对的边的长为a，b，c，因为sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，所以由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
所以C＝60°，因为A，P，D三点共线，
当且仅当a＝3b时等号成立.
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则 的最小值为________.
如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§5.4 平面向量中的综合问题 培优课
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足则BC的长为
平面向量在几何中的应用
即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
用向量方法解决平面几何问题的步骤
跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ＝1，则点C的轨迹为A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
＝x2＋y2－a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C的轨迹为圆.
则四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，1＋2m·n＋1＝1，
所以〈m，n〉＝120°，
且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，
例2 (2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若 的最大值为
和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
因为O，F，B三点共线，
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是A.(－2,6) B.(－6,2)C.(－2,4) D.(－4,6)
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
例4 已知向量a＝(cs θ，sin θ)，b＝(－ ，1)，则|2a－b|的最大值为___.
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
方法一 由题意得|a|＝1，|b|＝2，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
方法三 由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4.
向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
跟踪训练2 (1)(2022·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足
由平面向量模的三角不等式可得
因为点E在线段AD上移动(不含端点)，
KESHIJINGLIAN
因为点M在△ABC内部(包括边界)，
即点P的轨迹经过△ABC的垂心.
如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
4.(2022·长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为 ，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大值为A.18 B.24 C.36 D.48
骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动.如图，以AD所在直线为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，
圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，
5.(2022·合肥模拟)P为双曲线x2－y2＝1左支上任意一点，EF为圆C：(x－2)2＋y2＝4的任意一条直径，则 的最小值为A.3 B.4 C.5 D.9
如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r＝2，
如图分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设P(t，t)，Q(cs θ，1＋sin θ)，
7.(多选)(2022·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则 的值A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与点A，B的位置有关
如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
8.(多选)(2022·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心.下列四个选项中结论正确的是
对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，
所以△AGH∽△DGO，
9.(2022·潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为1， ＝c，则|a＋b＋c|＝________.
方法一 根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y).
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1].
方法二 如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以可设P(cs α，sin α)(0≤α＜2π)，
当且仅当cs α＝1，即α＝0，P(1,0)时等号成立.
在△ABC中，设角A，B，C所对的边的长为a，b，c，因为sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，所以由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
所以C＝60°，因为A，P，D三点共线，
当且仅当a＝3b时等号成立.
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则 的最小值为________.
如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，
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