2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第一节任意角和弧度制及三角函数的概念讲义（Word附解析）

第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__. (4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式3.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sin α=yr,cos α=xr,tan α=yx(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是(　　)A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cos α=-35C.若sin α>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sin α>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于(　　)A.-133π B.-256π C.-113π D.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=45,则x=(　　)A.-3 B.-4C.-6 D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sin α=45,所以sin α=8x2+82=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】　α所在象限与α2所在象限的关系【即时练】设θ是第三象限角,且|cos θ2|=-cos θ2,则θ2是(　　)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以θ2的终边落在第二、四象限,又|cos θ2|=-cos θ2,所以cos θ2<0,所以θ2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一　象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则(　　)A.-α是第一象限角B.α2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,α2位于第一象限;当k为奇数时,α2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°. 【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,αk(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或αk的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】　已知角θ在第二象限,且|sin θ2|=-sin θ2,则角θ2在(　　)A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以θ2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角θ2在第一或第三象限.又|sin θ2|=-sin θ2,所以sin θ2<0,所以角θ2在第三象限.考点二　弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10 cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16 cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10 cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(00,则角α是(　　)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选B.由sin αtan α<0,知α是第二象限或第三象限角,由cosαtanα>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin 2cos 3tan 4的值(　　)A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0.所以sin 2cos 3tan 4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是(　　)A.tan A与cos B B.cos B与sin CC.tan B2与cos C2 D.tan A2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以B2,C2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为00,又因为00,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cos θ=35,则实数a的值是(　　)A.-2 B.211C.-2或211 D.1【解析】选B.由题设可知,2a+1(2a+1)2+(a-2)2=35且2a+1>0,即a>-12,所以4a2+4a+15a2+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin 5π6,cos 5π6),则角α的最小正值为 5π3.　【解析】因为sin 5π6>0,cos 5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sin α=cos 5π6=-32,　故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角角α的弧度数公式|α|=lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=π180rad;1 rad=(180π)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r2三角函数sin αcos αtan α定义域RR{α|α≠kπ+π2,k∈Z}类型辨析改编易错题号12,34α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四