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2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第八讲函数与方程课件
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这是一份2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第八讲函数与方程课件，共35页。PPT课件主要包含了函数的零点，函数零点存在定理，2x－1，的零点所在的区间是，答案B，答案12，答案A，区间是，A01，B12等内容，欢迎下载使用。
(1)零点的定义：对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实
数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点.
(2)零点的几个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)
的图象与 x 轴有公共点⇔函数 y＝f(x)有零点.
[注意]函数的零点不是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点，而是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解.
[注意]函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
考点一 函数零点所在区间的判定
[例 1](1)函数 f(x)＝ln x－
A.(1，2)C.(3，4)
B.(2，3)D.(4，5)
解析：函数 f(x)＝ln x－
在(1，＋∞)上单调递增，且
在(1，＋∞)上连续.因为 f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以 f(2)f(3)<0，所以函数 f(x)的零点所在的区间是(2，3).
【题后反思】判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程.(2)根据“零点存在性定理”判断.
(3)数形结合法，画出相应函数的图象，观察图象与 x 轴的交点情况来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.
【变式训练】1.若 a
解析：∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点.又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
又 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数 f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点在(1，2)内.答案：B
考点二 函数零点个数的确定
1.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上连续且单调递增，∴函数 f(x)在区间(0，1)内有且只有 1 个零点.答案：B
2.函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为( )
解析：当 x>0 时，作出函数 y＝ln x 和 y＝x2－2x 的图象，如图 D12，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以当 x>0 时，f(x)有两个零点；综上所述，f(x)有 3 个零点.
【题后反思】函数零点个数判定的方法
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就
(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且 f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)作出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
考点三 根据函数零点个数求参数
通性通法：根据函数零点个数求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通
过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中
作出函数的图象，然后数形结合求解.
在 R 上有两个零点， 则实数 a 的取值范围是(
A.(0，1]C.(0，1)
B.[1，＋∞)D.(－∞，1]
解析：画出函数 f(x)的大致图象如图 2-8-1 所示，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递增.因为函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点.当 x≤0时，f(x)有一个零点，则 f(0)＝1－a≥0，解得 a≤1；当 x>0 时，f(x)有一个零点，需－a<0，解得 a>0.综上所述，0
解析：根据题意，作出函数 f(x)的图象如图 D13 所示.
令 g(x)＝0，得 f(x)＝x＋a，
所以要使函数 g(x)＝f(x)－x－a 有且只有两个不同的零点，只需函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同的交点，根据图象可得实数 a 的取值范围为(－1，＋∞).故选 BCD.
2.若函数 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1 的两个零点分别在区间
(－1，0)和区间(1，2)内，则 m 的取值范围是________.
⊙数形结合法求解函数零点问题
(1)零点的定义：对于一般函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实
数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点.
(2)零点的几个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)
的图象与 x 轴有公共点⇔函数 y＝f(x)有零点.
[注意]函数的零点不是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点，而是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解.
[注意]函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
考点一 函数零点所在区间的判定
[例 1](1)函数 f(x)＝ln x－
A.(1，2)C.(3，4)
B.(2，3)D.(4，5)
解析：函数 f(x)＝ln x－
在(1，＋∞)上单调递增，且
在(1，＋∞)上连续.因为 f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以 f(2)f(3)<0，所以函数 f(x)的零点所在的区间是(2，3).
【题后反思】判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程.(2)根据“零点存在性定理”判断.
(3)数形结合法，画出相应函数的图象，观察图象与 x 轴的交点情况来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.
【变式训练】1.若 a
解析：∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点.又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
又 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数 f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点在(1，2)内.答案：B
考点二 函数零点个数的确定
1.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
解析：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上连续且单调递增，∴函数 f(x)在区间(0，1)内有且只有 1 个零点.答案：B
2.函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为( )
解析：当 x>0 时，作出函数 y＝ln x 和 y＝x2－2x 的图象，如图 D12，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以当 x>0 时，f(x)有两个零点；综上所述，f(x)有 3 个零点.
【题后反思】函数零点个数判定的方法
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就
(2)函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且 f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)作出两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的
横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
考点三 根据函数零点个数求参数
通性通法：根据函数零点个数求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通
过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中
作出函数的图象，然后数形结合求解.
在 R 上有两个零点， 则实数 a 的取值范围是(
A.(0，1]C.(0，1)
B.[1，＋∞)D.(－∞，1]
解析：画出函数 f(x)的大致图象如图 2-8-1 所示，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递增.因为函数 f(x)在 R 上有两个零点，所以 f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点.当 x≤0时，f(x)有一个零点，则 f(0)＝1－a≥0，解得 a≤1；当 x>0 时，f(x)有一个零点，需－a<0，解得 a>0.综上所述，0
解析：根据题意，作出函数 f(x)的图象如图 D13 所示.
令 g(x)＝0，得 f(x)＝x＋a，
所以要使函数 g(x)＝f(x)－x－a 有且只有两个不同的零点，只需函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同的交点，根据图象可得实数 a 的取值范围为(－1，＋∞).故选 BCD.
2.若函数 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1 的两个零点分别在区间
(－1，0)和区间(1，2)内，则 m 的取值范围是________.
⊙数形结合法求解函数零点问题
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