2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第二节三角函数的同角关系、诱导公式讲义（Word附解析）

第二节　三角函数的同角关系、诱导公式【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:__sin2α+cos2α=1__. (2)商数关系:sinαcosα=tan α(α≠π2+kπ,k∈Z).2.三角函数的诱导公式(k∈Z)【微点拨】诱导公式的记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限.”其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的有(　　)A.使sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角B.若α∈R,则sin(π2-α)=sinαC.若α∈R,则sin2α+cos2α=1D.若α∈R,则tan α=sinαcosα恒成立【解析】选ABD.因为α∈R,sin(π+α)=-sin α成立,所以选项A错误;因为α∈R,sin(π2-α)=cos α,所以选项B错误;由同角三角函数间的关系可知,选项C正确;因为tan α=sinαcosα在α≠π2+kπ(k∈Z)时成立,所以选项D错误.2.(必修第一册P183例6变题型)已知α是第四象限角,且sin α=-12,则cos α=32. 【解析】已知α是第四象限角,且sin α=-12,所以cos α=1-sin2α=32.3.(必修第一册P186T15变结论)已知tan α=-2,则2sinα+cosαcosα-sinα=(　　)A.-4 B.-12 C.-1 D.-13【解析】选C.2sinα+cosαcosα-sinα=2tanα+11-tanα=-4+11-(-2)=-1.4.(记错公式)下列等式恒成立的是(　　)A.cos(-α)=-cosαB.sin(360°-α)=sin αC.tan(2π-α)=tan(π+α)D.cos(π+α)=cos(π-α)【解析】选D.因为cos(-α)=cos α;sin(360°-α)=-sin α;tan(2π-α)=-tan α,tan(π+α)=tan α;cos(π+α)=-cos α,cos(π-α)=-cos α.【巧记结论·速算】sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α);(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.【即时练】若sin α+cos α=22,则sin αcos α等于(　　)A.-12 B.-14 C.22 D.2【解析】选B.因为sin α+cos α=22,所以(sin α+cos α)2=12,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=12,即1+2sin αcos α=12,所以sin αcos α=-14.【核心考点·分类突破】考点一　同角三角函数间的关系[例1](1)已知sin α+cos α=-713,α∈(π2,π),则sin α-cos α=(　　)A.1213 B.-1213 C.1713 D.-1713【解析】选C.因为sin α+cos α=-713,所以(sin α+cos α)2=(-713)2,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=(-713)2,2sin αcos α=-120169,所以sin2α+cos2α-2sin αcos α=289169,即(sin α-cos α)2=289169,因为α∈(π2,π),所以sin α-cos α>0,sin α-cos α=1713.(2)已知sin θ+cos θ=15,θ∈(π2,π),则tan θ=-43. 【解析】因为θ∈(π2,π),且sin θ+cos θ=15>0,平方可得sin θcos θ=-1225,且sin θ>0,cos θ<0,结合sin2θ+cos2θ=1,可得sin θ=45,cos θ=-35,所以tan θ=sinθcosθ=-43.(3)已知tan α=2,则3sinα-2cosαsinα+cosα=43. 【解析】因为tan α=2,所以3sinα-2cosαsinα+cosα=3tanα-2tanα+1=3×2-22+1=43.【解题技法】应用同角三角函数间的关系的两点注意　(1)注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.(2)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.【对点训练】1.若cos α=13,α∈(-π2,0),则tan α等于(　　)A.-24 B.24 C.-22 D.22【解析】选C.由已知得,sin α=-1-cos2α=-1-19=-223,所以tan α=sinαcosα=-22.2.已知sin αcos α=-16,π4<α<3π4,则sin α-cos α=233. 【解析】由于sin αcos α=-16,π4<α<3π4,所以sin α>0,cos α<0,故sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+13=233.【加练备选】设sin 23°=m,则tan 67°=(　　)A.-m1-m2 B.m1-m2C.1m2-m D.1m2-1【解析】选D.因为sin 23°=m,所以cos 67°=m,所以sin 67°=1-m2,所以tan 67°=1-m2m,因为sin 23°=m>0,所以tan 67°=1-m2m=1m2-1.考点二　诱导公式及其应用[例2]已知f(x)=cos(π+x)cos(3π2+x)cos(7π2+x)cos(3π-x)sin(-π+x)sin(5π2+x).(1)化简f(x);(2)若x是第三象限角,且cos(x-3π2)=15,求f(x)的值;(3)求f(-31π3).【解析】(1)f(x)=cos(π+x)cos(3π2+x)cos(7π2+x)cos(3π-x)sin(-π+x)sin(5π2+x)=-cosx·sinx·sinx-cosx·(-sinx)·cosx=-tan x;(2)x为第三象限角,cos(x-3π2)=cos(3π2-x)=-sin x=15,所以sin x=-15,cos x=-1-sin2x=-265,f(x)=-tan x=-sinxcosx=-612;(3)f(-31π3)=-tan(-31π3)=tan 31π3=tan(10π+π3)=tan π3=3.【解题技法】1.诱导公式用法的一般思路(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.(2)角中含有加减π2的整数倍时,用诱导公式去掉π2的整数倍.2.常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与π4-α等.(2)常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π4-θ等.3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.提醒:利用诱导公式求解含有2π整数倍的函数关系式时,可以直接将2π整数倍去掉后求解.【对点训练】1.已知角α终边经过点P(-3,2),则cos(α+3π2)=(　　)A.21313 B.-21313C.55 D.-55【解析】选A.由题意角α终边经过点P(-3,2),可得sin α=222+(-3)2=21313,由诱导公式得cos(α+3π2)=sin α=21313.2.若sin(α+π6)=13,则cos(α+2π3)=(　　)A.13 B.-13C.79 D.-79【解析】选B.cos(α+2π3)=cos(α+π6+π2)=-sin(α+π6)=-13.【加练备选】1.化简:sin(2π+α)cos(π+α)sin(π2+α)cos(-α)cos(-π+α)tan(-α-π)=(　　)A.sin α B.-1cosαC.-1sinα D.-cos α【解析】选D.sin(2π+α)cos(π+α)sin(π2+α)cos(-α)cos(-π+α)tan(-α-π)=sinα(-cosα)cosαcosα(-cosα)(-tanα)=-sinαtanα=-cos α.2.已知3sin(π+α)+cos(-α)4sin(-α)-cos(9π+α)=2,则tan α=15. 【解析】原式=-3sinα+cosα-4sinα+cosα=-3tanα+1-4tanα+1=2,解得tan α=15.考点三　诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用[例3](1)已知sin(π-α)+sin(α-π2)=12,则cos(32π+α)1+tan(-α)的值为(　　)A.-34 B.34 C.-316 D.316【解析】选A.由已知得sin α-cos α=12,两边平方得1-2sin αcos α=14,解得sin αcos α=38,则原式=sinα1-tanα=sinα1-sinαcosα=sinαcosαcosα-sinα=-34.(2)(2023·阳泉模拟)已知sin(α+π6)=33,且α∈(-π4,π4),则sin(π3-α)= 63. 【解析】因为α∈(-π4,π4),所以α+π6∈(-π12,5π12),故cos(α+π6)>0,所以cos(α+π6)=1-(33) 2=63.sin(π3-α)=sin[π2-(α+π6) ]=cos(α+π6)=63.【解题技法】同角三角函数间的关系、诱导公式应用的技巧(1)求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.【对点训练】1.若α∈(0,π),sin(π-α)+cos α=23,则sin α-cos α的值为(　　)A.23 B.-23 C.43 D.-43【解析】选C.由诱导公式得,sin(π-α)+cos α=sin α+cos α=23,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=29,则2sin αcos α=-79<0,因为α∈(0,π),所以sin α>0,所以cos α<0,所以sin α-cos α>0,因为(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=169,所以sin α-cos α=43.2.(2023·成都模拟)已知sin α=2cos α,则sinα-sin3αsin(α+π2)=(　　)A.35 B.25 C.-25 D.-35【解析】选B.由sin α=2cos α,显然cos α≠0,可得tan α=2.因为sinα-sin3αsin(α+π2)=sinα(1-sin2α)cosα=sinα·cos2αcosα=sinα·cosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=25.【加练备选】1.(2023·衡水模拟)已知sin(3π2-α)+cos(π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α等于(　　)A.2110 B.32 C.32 D.2【解析】选D.由诱导公式可得,sin α=sin(3π2-α)+cos(π-α)=-2cos α,所以tan α=-2.因此,2sin2α-sin αcos α=2sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=2tan2α-tanαtan2α+1=105=2.2.已知α为锐角,若cos(α+π2)=-35,则tan α=34.【解析】cos(α+π2)=-sin α=-35,所以sin α=35,因为α为锐角,所以cos α=45,tan α=34.【课程标准】1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tan α;2.掌握诱导公式,并会简单应用.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查同角三角函数间的关系,诱导公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算公式角正弦余弦正切一2kπ+αsin αcos αtan α二π+α-sin α-cos αtan α三-α-sin αcos α-tan α四π-αsin α-cos α-tan α五π2-αcos αsin α六π2+αcos α-sin α类型辨析改编易错题号12,34