2025届高考数学一轮复习教师用书第十一章第一节排列与组合讲义（Word附解析）

第一节　排列与组合【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.计数原理(1)完成一件事,如果有n类方案,且第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__m1+m2+…+mn__种不同的方法. (2)完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=__m1×m2×…×mn__种不同的方法. 2.排列与组合的概念3.排列数与组合数(1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同排列__的个数,用符号表示. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同组合__的个数,用符号表示. 4.排列数、组合数的公式及性质【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 (　　)A.在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事B.在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成C.Cnm=n(n-1)(n-2)…(n-m)D.Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m)【解析】选AB.由两个计数原理可知,选项A,B正确;由组合数、排列数公式可知,选项C和D都错误.2.(选修第三册P27T13改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女同学都有的选法种数是 (　　)A.18 B.24 C.30 D.36【解析】选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的选法有C42C31=18(种),选出的3人中有1名男同学2名女同学的选法有C41C32=12(种),故3名学生中男、女同学都有的选法有C42C31+C41C32=30(种).3.(忽视隐含条件)随着经济的发展,私家车成为居民的标配.某小区为了适应这一变化,在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位.现有3位私家车车主要使用这些备用车位.现规定3位私家车车主随机停车,任意两辆车都不相邻,则共有不同停车种数为 (　　)A.144 B.24 C.72 D.60【解析】选D.由题可知7个车位停3辆车,则会产生4个空位,故可先摆好4个空车位,4个空车位会产生5个空隙可供3辆车选择停车.因此,任意两辆车都不相邻的停车种数共有A53=5×4×3=60.4.(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 (　　)A.C40045·C20015种 B.C40020·C20040种C.C40030·C20030种 D.C40040·C20020种【解析】选D.根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400600=40人,高中部共抽取60×200600=20人,根据组合数公式和分步乘法计数原理,则不同的抽样结果共有C40040·C20020种.【巧记结论·速算】　若Cnx=Cny,则x=y或x+y=n.【即时练】　若C20x=C202x-7,则x= (　　)A.7 B.12 C.9 D.7或9【解析】选D.因为C20x=C202x-7,所以x=2x-7或x+2x-7=20,解得x=7或x=9.【核心考点·分类突破】考点一　　两个计数原理的应用[例1](1)(2023·济宁模拟)某省新高考采用“3+1+2”模式:“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史科目中选择1个科目;“2”为再选科目,考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学,那么他可选择的方案共有 (　　)A.4种 B.6种 C.8种 D.12种【解析】选B.根据题意得,分两步进行分析:①小明必选化学,则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目,选法有3种;②小明在物理、历史科目中选出1个,选法有2种.由分步乘法计数原理知,小明可选择的方案共有3×2=6(种).(2)如图所示,在由正八边形的三个顶点构成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答). 【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形,共有8×4=32(个);第二类,有两条公共边的三角形,共有8个.由分类加法计数原理可知,共有32+8=40(个).答案:40【解题技法】利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事.(2)分类时,标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图.(3)对于复杂问题,一般是先分类再分步.【对点训练】1.由于用具简单、趣味性强,象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示,若不考虑这部分以外棋子的影响,且“马”和“炮”不动,“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线,其中也能把“炮”吃掉的可能路线有 (　　)A.10条 B.8条 C.6条 D.4条【解析】选C.由题意可知,“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步,竖走两步;其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步:第一步,横走两步,竖走一步,有3种走法;第二步,横走一步,竖走一步,有2种走法.所以所求路线共有3×2=6(条).2.(2023·南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为________. 【解析】5日至9日,日期分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有2×2=4(种)用车方案;第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12(种)用车方案,第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有23=8(种)用车方案,共计12+8=20(种)用车方案.根据分步乘法计数原理可知,不同的用车方案种数为4×20=80.答案:80【加练备选】1.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,若从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,则不同的取法种数是 (　　)A.14 B.23 C.48 D.120【解析】选C.分两步:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是8×6=48.2.(2023·宿州模拟)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数为(　　)A.12 B.24 C.36 D.48【解析】选C.第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).考点二　排列与组合的简单应用角度1 排列问题[例2](2023·泉州模拟)将0,1,2,3,10任意排成一行,可以组成________个不同的6位数.(用数字作答) 【解析】将0,1,2,3,10任意排成一行,且数字0不在首位,则有4A44=96种,数字1和0相邻且1在0之前的排法有A44=24种,故所求满足题意的6位数有96-242=84(个).答案:84【解题技法】对于有限制条件排列问题的解题策略(1)分析问题时,有位置分析法、元素分析法;(2)在实际进行排列时,先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.【对点训练】8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有________种排法. 【解析】先排甲、乙,有A42种排法,再排丙,有A41种排法,其余5人有A55种排法,故不同的排法共有A42A41A55=5 760(种).答案:5 760【加练备选】　现有0,1,2,3,4,5六个数字,可组成多少个没有重复数字的偶数?【解析】当组成的数是一位数时,一位偶数有C31=3个;当组成的数是两位数时,可分两类:末位是0时,有A51=5个,末位是2或4时,有C21A41=8个,两位偶数共有13个;当组成的数是三位数时,可分两类:末位是0时,有A52=20个,末位是2或4时,有C21C41A41=32个,三位偶数共有52个;当组成的数是四位数时,可分两类:末位是0时,有A53=60个,末位是2或4时,有C21C41A42=96个,四位偶数共有156个;当组成的数是五位数时,可分两类:末位是0时,有A54=120个,末位是2或4时,有C21C41A43=192个,五位偶数共有312个;当组成的数是六位数时,可分两类:末位是0时,有A55=120个,末位是2或4时,有C21C41A44=192个,六位偶数共有312个;综上,组成的没有重复数字的偶数的个数为3+13+52+156+312+312=848.角度2 组合问题[例3] (2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修 1 门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答). 【解析】若选修 2 门课,则需要从体育类和艺术类中各选择 1 门,共有C41C41= 16 种;若选修 3 门课,则分为两种情况,2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类,共有2C42C41 = 48种.故选课方案一共有48+16 = 64种.答案:64【解题技法】组合问题两类题型的解题策略(1)“含有”或“不含有”问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“最多”问题:用直接法和间接法都可以求解;通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.【对点训练】1.(2023·茂名模拟)将4个6和2个8随机排成一行,则2个8不相邻的情况有 (　　)A.480种 B.240种 C.15种 D.10种【解析】选D.将2个8插空放入不相邻的5个空位(4个6之间及首尾有5个空位)中有C52=10种方法,故2个8不相邻的情况有10种.2.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为(　　)A.10 B.20 C.30 D.40【解析】选B.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么必然是一个宿舍2名,而另一个宿舍3名,共有C53C22A22=20(种).【加练备选】　　　　　 　　　　　 　　　　　 如图是由6个正方形拼成的矩形图案,从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为 (　　)A.208 B.204 C.200 D.196　【解析】选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线上的4个点,其组数为3C43;二是4条竖线上的3个点,其组数为4C33;三是4条对角线上的3个点,其组数为4C33,所以可以构成三角形的组数为C123-3C43-8C33=200.考点三　排列与组合的综合问题角度1 相邻与不相邻问题[例4](多选题)有3名男生,4名女生,在下列不同条件下,正确的是 (　　)A.全体站成一排,女生必须站在一起有144种排法B.全体站成一排,男生互不相邻有1 440种排法C.任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有70种D.全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾有3 720种排法【解析】选BCD.对于A,将女生看成一个整体,考虑女生之间的顺序,有A44种排法,再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列,有A44种排法,故共有A44·A44=576(种)排法,故A错误;对于B,先排女生,将4名女生全排列,有A44种排法,再排男生,由于男生互不相邻,可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A53种排法,故共有A44·A53=1 440(种)排法,故B正确;对于C,任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有C73×2×1=70(种),故C正确;对于D,若甲站在排尾,则有A66种排法,若甲不站在排尾,则有A51A51A55种排法,故共有A66+A51A51A55=3 720(种)排法,故D正确.【解题技法】1.相邻问题的求解策略把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列(捆绑法).2.不相邻问题的求解策略对于不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面已经排列元素的空档中(插空法).【对点训练】1.(2023·苏州模拟)三个家庭的3位母亲带着3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,三位母亲互不相邻照顾孩子;3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男孩打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有 (　　)A.144种 B.216种 C.288种 D.432种【解析】选C.第一步:先将3位母亲全排列,共有A33种排法;第二步:将3名女孩“捆绑”在一起,共有A33种排法;第三步:将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素,在第一步形成的2个空中选择1个插入,有A21种排法;第四步:首先将2名男孩之中的一人,插入第三步后相邻的两位母亲中间,然后将另一个男孩插入由女孩与母亲形成的2个空中的其中1个,共有C21C21种排法.所以不同的排法共有A33A33A21C21C21=288(种).2.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 (　　)A.1 440种 B.960种 C.720种 D.480种【解析】选B.先将5名志愿者排好,有A55种排法,2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中,先将2位老人排好,有A22种排法,再把他们作为一个元素插入空隙中,有4种插法.所以共有不同的排法4A22A55=960(种).【加练备选】某次联欢会要安排3个歌舞节目,2个小品节目和1个相声节目的演出顺序,同类节目不相邻的排法种数是 (　　)A.72 B.120 C.144 D.168【解析】选B.先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品,小品,相声”“小品,相声,小品”和“相声,小品,小品”.对于第一种情况,形式为“□、小品、歌舞、小品、□、相声、□”,有A22C31A32=36(种)安排方法;　同理,第三种情况也有36种安排方法;对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□、小品、□、相声、□、小品、□”,有A22A43=48(种)安排方法,故共有36+36+48=120(种)安排方法.角度2 定序问题[例5]有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有________种. 【解析】7名学生的排列共有A77种,其中女生的排列共有A33种,按照从左到右,女生从矮到高的排列只是其中的一种,故有A77A33=A74=840(种)不同的排法.答案:840【解题技法】定序问题的求解策略对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.【对点训练】某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲,并要将这三个不同节目添入节目单,且不改变原来的节目顺序,则不同的安排方式有________种. 【解析】原先七个节目的不同安排方法共有A77种,添加三个节目后,节目单中共有十个节目,先将这十个节目进行全排列,不同的排列方法有A1010种,而原先七个节目的顺序一定,故不同的安排方式共有A1010A77=720(种).答案:720【加练备选】身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有(　　)A.5 040种 B.720种 C.240种 D.20种【解析】选D.最高的学生站在中间,只需排好左右两边.第一步:排左边,因顺序固定,有C63=20种排法,第二步:排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有20×1=20种.角度3 分组与分配问题[例6]中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排6名航天员开展实验,其中每个舱安排2人.若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验,则不同的安排方案共有 (　　)A.20种 B.36种 C.72种 D.84种【解析】选C.每个舱安排2名航天员开展实验的所有安排方案数为C62C42C22,其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方案数为C22·C42C22A22·A33,所以满足条件的不同的安排方案数为C62C42C22-C22·C42C22A22·A33=90-18=72.【解题技法】分组、分配问题的解题策略(1)先分组后分配.(2)分组问题与顺序无关,属于“组合”问题;均分与顺序无关,需考虑重复的情况,完全非均分不考虑重复现象.(3)分配问题与顺序有关,属于“排列”问题;相同元素的分配可用挡板法.【对点训练】(2024·如皋模拟)7个人分乘三辆不同的汽车,每辆车最多坐3人,则不同的乘车方法有________种.(用数字作答) 【解析】根据题意知分两步进行分析,①将7人分为3组,若7人分为1,3,3的三组,分组方法有C73C43A22=70种,若分为2,2,3的三组,分组方法有C72C52C33A22=105种,所以共有70+105=175(种)分组方法.②将分好的三组全排列,安排到三辆车上,安排方法有A33=6种.故不同的乘车方法共有175×6=1 050(种).答案:1 050【课程标准】1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查两个计数原理、排列与组合;排列与组合的应用是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照__一定的顺序__排成一列 组合作为一组公式Anm=__n(n-1)(n-2)…(n-m+1)__= n!(n-m)!Cnm=AnmAmm= =n!m!(n-m)!性质0!=__1__,Ann=__n!__ , Cn+1m= 类型辨析改编易错高考题号1234