2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第三节第1课时两角和与差的三角函数讲义（Word附解析）

第三节　三角恒等变换第1课时　两角和与差的三角函数【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β; (2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β; (4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β; (5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.2.辅助角公式asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ),其中sin φ=ba2+b2,cos φ=aa2+b2.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的有(　　)A.存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin βB.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角C.两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角D.公式asin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关【解析】选AB.当α=β=0时,sin(α+β)=sin α+sin β,所以选项A正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成立的条件可知,选项B正确,选项C错误;由辅助角公式可知,asin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值有关,所以选项D错误.2.(必修第一册P219例4改条件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　)A.-32 B.32 C.-12 D.12【解析】选D.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12.3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ,则(　　)A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sin β,所以2sin(α+β+π4)=22cos(α+π4)sin β,即sin(α+β+π4)=2cos(α+π4)sin β,所以sin(α+π4)cos β+sin βcos(α+π4)=2cos(α+π4)sin β,所以sinvα+π4)cos β-sin βcos(α+π4)=0,所以sin(α+π4-β)=0,所以α+π4-β=kπ,k∈Z,所以α-β=kπ-π4,所以tan(α-β)=-1.方法二:由题意可得,sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,故tan(α-β)=-1.4.(记错公式形式导致错误)若将sin x-3cos x写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则φ=π3. 【解析】因为sin x-3cos x=2(12sin x-32cos x),所以cos φ=12,sin φ=32,因为0≤φ<π,所以φ=π3.【核心考点·分类突破】考点一　两角和与差的三角函数公式的应用角度1 给值求值[例1](2023·南宁模拟)已知sin(α+π4)=45,α∈(π4,π2),则cos α=(　　)A.210 B.3210 C.22 D.7210【解析】选A.由α∈(π4,π2),得α+π4∈(π2,3π4),则cos(α+π4)=-1-sin2(α+π4)=-35,cos α=cos(α+π4)-π4=cos(α+π4)cos π4+sin(α+π4)sin π4=-35×22+45×22=210.【解题技法】三角函数给值求值问题的解题思路　(1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式;常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=(α+β2)-(α2+β)等.(2)当已知角有一个时,此时寻找所求角与已知角及特殊角的和或差的关系,再应用诱导公式把所求角变成已知角.角度2 给值求角[例2]已知角α,β均为锐角,且cos α=255,sin β=31010,则α-β的值为(　　)A.π3　　B.π4　　C.-π4　　D.π4或-π4【解析】选C.因为0<α<π2,0<β<π2,所以-π2<α-β<π2.又根据cos α=255,sin β=31010,得sin α=55,cos β=1010,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=5050-65050=-22,又-π2<α-β<π2,所以α-β=-π4.【解题技法】给值求角的方法(1)确定所求角的取值范围;(2)依据角的范围及题设条件确定求这个角的范围内严格单调的三角函数值;(3)由角的范围及其三角函数值得出角的值.角度3 给角求值[例3]计算:cos55°+sin25°cos60°cos25°等于(　　)A.-32 B.32 C.-12 D.12【解析】选B.cos55°+sin25°cos60°cos25°=cos(30°+25°)+12sin25°cos25°=32cos25°-12sin25°+12sin25°cos25°=32.【解题技法】给角求值的方法(1)观察所给角之间的关系或所给角与特殊角的关系;(2)依据上面的关系,选择应用哪个公式变形、化简或求值;(3)依据公式或运算法则得出结果.【对点训练】1.(2023·肇庆模拟)已知cos α=45,0<α<π2,则sin(α+π4)等于(　　)A.210　　B.7210　　C.-210　　D.-7210【解析】选B.由cos α=45,0<α<π2,得sin α=35,所以sin(α+π4)=22sin α+22cos α=22×35+22×45=7210.2.(2023·青岛模拟)已知tan α=1+m,tan β=m,且α+β=π4,则实数m的值为(　　)A.-1 B.1C.0或-3 D.0或1【解析】选C.因为α+β=π4,所以tan(α+β)=tan π4⇒tanα+tanβ1-tanαtanβ=1⇒1+m+m1-m(m+1)=1⇒m2+3m=0,解得m=0或m=-3.3.(2023·扬州质检)已知sin α=55,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为(　　)A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π3【解析】选B.sin α=55,且α为锐角,则cos α=1-sin2α=1-(55) 2=255,tan α=sinαcosα=12.所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=12-31-12×(-3)=-1.又β为钝角,则α+β∈(π2,3π2),故α+β=3π4.【加练备选】1.已知2tan θ-tan(θ+π4)=7,则tan θ=(　　)A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.由已知,得2tan θ-tanθ+11-tanθ=7,得tan θ=2.2.已知α,β∈(π3,5π6),若sin(α+π6)=45,cos(β-5π6)=513,则sin(α-β)的值为(　　)A.1665 B.3365 C.5665 D.6365【解析】选A.由题意可得α+π6∈(π2,π),β-5π6∈(-π2,0),所以cos(α+π6)=-35,sin(β-5π6)=-1213,所以sin(α-β)=-sin[(α+π6)-(β-5π6)]=-45×513+(-35)×(-1213)=1665.3.已知sin α=55,sin(α-β)=-1010,α,β均为锐角,则β=π4. 【解析】因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π2.因为sin(α-β)=-1010,所以cos(α-β)=31010.又sin α=55,所以cos α=255,所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=55×31010-255×(-1010)=22.所以β=π4.考点二　两角和与差的三角函数公式的逆向应用[例4](1)(2023·苏州模拟)cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°等于(　　)A.cos 12° B.-cos 12°C.-12 D.12【解析】选D.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°=cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°=cos(24°+36°)=cos 60°=12.(2)已知sin θ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π6)=(　　)A.12 B.33 C.23 D.22【解析】选B.由题意可得:sin θ+12sin θ+32cos θ=1,则32sin θ+32cos θ=1,32sin θ+12cos θ=33,所以sin θcos π6+cos θsin π6=33,即sin(θ+π6)=33.【解题技法】1.两角和与差的三角函数公式逆向应用的解题策略(1)注意已知解析式与两角和与差的三角函数公式右边的结构、形式之间的异同;(2)如果不同,想办法化为与公式相同的形式;(3)逆向应用公式,写出结果.2.形如y=asin x+bcos x化为y=a2+b2sin(x+φ)两个注意:(1)注意y=asin x+bcos x的结构特点;(2)注意y=a2+b2sin(x+φ)中φ所在的象限及其三角函数值.【对点训练】1.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=233,则tan Atan B的值为(　　)A.14 B.13 C.12 D.53【解析】选B.在△ABC中,因为C=120°,所以tan C=-3.因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tan C=3.所以tan A+tan B=3(1-tan Atan B),又因为tan A+tan B=233,所以tan Atan B=13.2.已知3sin x-4cos x=5sin(x+φ),则φ所在的象限为(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.3sin x-4cos x=5[35sin x+(-45)cos x]=5sin(x+φ),其中sin φ=-45,cos φ=35,所以φ所在的象限为第四象限.【加练备选】sin10°1-3tan10°=14. 【解析】sin10°1-3tan10°=sin10°cos10°cos10°-3sin10°=2sin10°cos10°4(12cos10°-32sin10°)=sin20°4sin(30°-10°)=14.【课程标准】1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算类型辨析改编易错高考题号1243