2023-2024学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市天河区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，能使二次根式 x−5在实数范围内有意义的是( )
A. 6B. 3C. 0D. −5
2.在校园歌手大奖赛中，评委会给某参赛选手打分，成绩是：95，94，97，97，96，97，96，则该选手成绩的众数是( )
A. 98B. 97C. 96D. 95
3.下列算式正确的是( )
A. 15 5=3B. 13= 33C. (−3)2=−3D. 414=212
4.一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，则木杆折断之前的高度为( )
A. 5米
B. 7米
C. 8米
D. 9米
5.如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h(m)随飞行时间t(min)的变化情况，则下列说法错误的是( )
A. 风筝最初的高度为30m
B. 1min时高度和5min时高度相同
C. 3min时风筝达到最高高度为60m
D. 2min到4min之间，风筝飞行高度持续上升
6.直线y1=kx(k≠0)与直线y2=ax+4(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则由图象可知不等式kxA. x<−1
B. x>−1
C. x>1
D. x<1
7.下列说法正确的是( )
A. 四条边相等的四边形是矩形
B. 有一个角是90∘的平行四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，则GH的长是( )
A. 6
B. 5.5
C. 6.5
D. 5
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上，且不与A，C重合，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接ED，FG，下列结论正确的是( )
A. AC=4 2
B. 若AE= 2，则DE=2
C. DE=FG
D. FG的最小值为2 2
10.关于函数y=kx+k−2(k为常数)，下列说法正确的是( )
A. 当k≠0时，该函数是一次函数
B. 若点A(−1,y1)，B(3,y2)在该函数图象上，且y10
C. 若该函数图象不经过第四象限，则k>2
D. 该函数图象恒过点(−1,−2)
三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： 18+ 2=______.
12.已知正比例函数y=3x的图象经过点(m,6)，则m的值为______.
13.已知菱形ABCD的对角线AC=4 3，BD=6 3，则菱形ABCD的面积为______.
14.某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按3：2：1：2：2对员工进行年终考评.公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为______分.
15.某市出租车白天的收费起步价为12元，即路程不超过3公里时收费12元，超过部分每公里收费2.6元.如果乘客白天乘坐出租车的路程x公里(x>3)，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为______.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，CB=3，点D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点A′处，当A′D平行于Rt△ABC的一条直角边时，AD的长为______.
四、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算： 8− 27+ 3× 6.
18.(本小题4分)
如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=DF.
19.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.
(1)填空：AB=______，CD=______；
(2)在图中画出一条线段EF，使得EF= 10，判断以AB，CD，EF三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由.
20.(本小题6分)
为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全区跳水比赛，对他们的跳水技能进行考核.在6月1日至10日在相同条件下进行测试，成绩(单位：分)如图：
(1)填空：①s甲2______s乙2；(填写“<”，“>”或“=”)②乙运动员成绩的中位数为______.
(2)假如你是教练，会选哪位运动员去参加比赛，请说明选派理由.
21.(本小题8分)
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 7+ 3和 7− 3.求这个直角三角形的斜边长和面积.
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为边AB的中点，BE//CD，CE//AB.
(1)求证：四边形BDCE是菱形；
(2)若∠A=60∘，BC=3，求四边形BDCE的周长.
23.(本小题10分)
用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%(如图1).经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象分别为图2中的线段AB，AC.根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：用普通充电器充电，3小时后该手机电量为______%；
(2)先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象，并标注出a所对应的值.
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为A(0,3)、B(−1,0)、C(3,0).
(1)求直线AC的解析式；
(2)以BC为边在x轴上方作矩形BCDE，且CD= 2，若过点A的直线l平分该矩形的面积，求直线l与矩形的边的交点坐标；
(3)以BC为边作▱BCDE，且四边形的一个内角为45∘，一条边长为 2，若过点A的直线y=kx+b(k≠0)与▱BCDE有两个交点时，请直接写出k的取值范围.
25.(本小题12分)
如图是以AC为对角线的矩形ABCD和矩形AFCE，且CF平分∠ACB.
(1)连接DE，BF，求证DE=BF；
(2)尺规作图：作∠CAB的平分线AG交CF于点G，连接BF.
①求证AF=FG；
②若AC=10，AG=2 10，求BF和AB的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题可知，
x−5≥0，
解得x≥5.
则只有A选项符合；
故选：A.
根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由题中的数据可知，97出现的次数最多，所以众数为97；
故选：B.
分别根据众数的定义及中位数的定义求解即可．
此题考查了众数的定义，属于基础题，注意掌握众数的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、 15 5= 3，故此选项不符合题意；
B、 13= 33，故此选项符合题意；
C、 (−3)2=3，故此选项不符合题意；
D、 414= 174= 172，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据分母有理化、二次根式的性质逐项化简即可．
本题考查了分母有理化、二次根式的性质与化简，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵一竖直的木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4米处，
∴折断的部分长为 32+42=5(米)，
∴折断前高度为5+3=8(米).
故选：C.
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
5.【答案】D
【解析】解：A、风筝最初的高度为30m，则此项正确，不符合题意；
B、1min时高度和5min时高度相同，均为45m，则此项正确，不符合题意；
C、3min时风筝达到最高高度为60m，则此项正确，不符合题意；
D、2min到4min之间，风筝飞行高度h(m)先上升后下降，则此项错误，符合题意；
故选：D.
根据函数图象逐项判断即可得．
本题考查了函数图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图所示：直线y1=kx(k≠0)与直线y2=ax+4(a≠0)的交点坐标是(−1,1)，则不等式kx−1.
故选：B.
写出直线y=kx落在直线y2=ax+4下方时所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数的图象和一次函数与一元一次不等式，从函数图象的角度看，就是确定直线y2=ax+4在y1=kx(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】C
【解析】解：A.四条边相等的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
B.有一个角是90∘的平行四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不符合题意．
故选：C.
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法进行判断即可．
此题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，
∵AD=12，E为AD中点，
∴AE=12AD=6，
∵AB=8，
∴BE= AB2+AE2=10，
∵G，H分别为EF，BF中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴GH=12BE=5.
故选：D.
连接BE，由矩形的性质得到∠A=90∘，由勾股定理求出BE= AB2+AE2=10，由三角形中位线定理得到GH=12BE=5.
本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出GH=12BE，由勾股定理求出BE的长．
9.【答案】ACD
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴∠ABC=90∘，AB=BC=AD=4，
∴AC= AB2+BC2= 42+42=4 2，
∴A选项的结论正确；
B.如图所示：延长FE交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠FAE=45∘，∠FAD=∠ADH=90∘，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90∘，∠FAE=∠AEF=45∘，
∴AE=EF，
∵AE= 2，
∴AF=EF=1，
∵∠AFE=∠FAD=∠ADH=90∘，
∴四边形AFHD是矩形，
∴AD=FH=AB=4，∠DHF=90∘，DH=AF=1，
∴EH=FH−EF=4−1=3，
∴DE= FH2+DH2= 32+12= 10，
∴B选项的结论错误；
C.如图所示，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠FAE=∠BAE=45∘，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴DE=BE，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE=∠BGE=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90∘，
∴四边形BGEF是矩形，
∴BE=FG，
∴DE=FG，
∴C选项的结论正确；
D.由C选项可知BE=FG，
当BE⊥AC时，BE最短，
∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BE，
∵AB⋅BC=AC⋅BE，
4×4=4 2BE，
∴BE=2 2，
∴BE的最小值为2 2，
由C选项可知四边形BGEF是矩形，
∴BE=FG=2 2，
∴FG的最小值为2 2，
综上可知：结论正确的是ACD选项，
故选：ACD.
A.根据正方形性质证明AB=BC，∠ABC=90∘，然后根据勾股定理求出AC即可；
B.延长FE交CD于点H，根据已知条件证明四边形AFHD是矩形，根据矩形性质和已知条件，求出AE，AF，从而求出DH，EH，最后利用勾股定理求出DE即可；
C.连接BE，根据正方形的性质证明AB=AD，∠BAE=∠DAE，从而证明△ABE△≌△ADE，利用全等三角形的性质证明DE=BE，再证明四边形BGEF是矩形，根据矩形性质证明即可；
D.根据直线外一点到直线的垂线段最短得到当BE垂直AC时，BE最短，根据面积公式求出BE，然后根据四边形BGEF是矩形，利用矩形性质，求出答案即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线的性质和矩形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，添加辅助线帮助解题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A中，当k≠0时，x能存在，该函数是一次函数，故符合题意；
B中，∵−1<3，且y10，故符合题意；
C中，当k=2，函数也不经过第四象限，故③不符合题意；
D中，∵y=kx+k−2=k(x+1)−2，∴当x=−1时，y=−2，与k的值无关，故符合题意，
故选：ABD.
根据一次函数的定义、一次函数图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征逐项分析求解即可．
本题考查了一次函数的性质和点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
11.【答案】4 2
【解析】解：原式=3 2+ 2=4 2.
根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
12.【答案】2
【解析】解：∵正比例函数y=3x的图象经过点(m,6)，
∴6=3m，
∴m=2，
故答案为：2.
把点(m,6)代入解析式解答即可．
此题考查一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标适合解析式是解题的关键．
13.【答案】36
【解析】解：∵菱形ABCD中，对角线AC=4 3，BD=6 3，
∴S菱形ABCD=12×AC×BD=12×4 3×6 3=36.
故答案为：36.
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半代入数据计算即可．
本题主要考查了菱形的面积求法，除了利用平行四边形的面积公式：底×高，经常利用对角线乘积的一半进行求解．
14.【答案】7.6
【解析】解：由题意可得，该职员的年终考评为8×3+8×2+10×1+6×2+7×23+1+1+2+2=7.6(分)，
故答案为：7.6.
根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15.【答案】y=2.6x+4.2
【解析】解：由题意得：y=12+2.6×(x−3)
=2.6x+4.2；
故答案为：y=2.6x+4.2.
等量关系式：乘车费=12元+超过3公里的车费．
本题考查了一次函数的应用，找出等量关系式是解题的关键．
16.【答案】3或3 3
【解析】解：当A′D//BC时，
∵△ACD和△A′CD关于CD对称，
∴∠ACD=∠A′CD，∠A′=∠A=30∘，
∵A′D//BC，
∴∠A′CB=∠A′=30∘，
∴∠ACA′=90∘−30∘=60∘，
∴∠ACD=12∠ACA′=30∘，
∴∠BCD=90∘−30∘=60∘，
∵∠B=90∘−∠A=60∘，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=3，
∵AB=2BC=6，
∴AD=AB−BD=6−3=3；
当A′D//AC时，
∵△ACD和△A′CD关于CD对称，
∴AD=DA′，∠ADC=∠CDA′，
∵DA′//AC，
∴∠ACD=∠CDA′，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AD=AC，
在Rt△ABC中，∠A=30∘，
∴AC= 3BC=3 3，
∴AD的长是3或3 3，
故答案为：3或3 3.
分两种情况，当A′D//BC时，证得△BCD是等边三角形，得到BD=BC=3，推导出AD=AB−BD=3；当A′D//AC时，推导出AD=AC，在Rt△ABC中，∠A=30∘，进而得到AC= 3BC=3 3.
本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17.【答案】解： 8− 27+ 3× 6
=2 2−3 3+3 2
=5 2−3 3.
【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD(平行四边形对边平行且相等)，
∴∠BAE=∠DCF(两直线平行内错角相等)，
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB=∠CFD=90∘(垂直定义)，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF(全等三角形的对应边相等).
【解析】可以把要证明相等的线段BE、DF分别放到两个三角形中，即△ABE和△CDF中，寻找它们全等的条件(AAS)，得出对应边相等BE=DF.
此题主要考查平行四边形的性质及三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】 5 13
【解析】解：(1)线段AB的长是： 12+22= 5，线段CD的长是： 32+22= 13；
故答案为： 5， 13；
(2)∵EF= 10= 12+32，
如图所示：EF即为所求，
AB、CD、EF三条线段的长不能成为一个直角三角形三边的长；
理由：∵AB2+EF2=( 5)2+( 10)2≠( 13)2，即AB2+EF2≠CD2，
∴AB、CD、EF三条线段的长不能成为一个直角三角形三边的长．
(1)直接利用勾股定理得出AB、CD的长；
(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确结合网格分析是解题关键．
20.【答案】<82
【解析】解：(1)①由统计图可知，甲的成绩的波动比乙的小，所以甲的方差比乙小，即s甲2故答案为：<；
②把乙的10次成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是81，83，故乙运动员成绩的中位数为81+832=82，
故答案为：82；
(2)我会选乙参加比赛，理由如下：
虽然甲的成绩比乙稳定，但得到高分比乙少得多，且乙的成绩呈现上升趋势，所以我会选乙参加比赛．
(1)①根据方差的定义解答即可；②根据中位数的定义可得答案；
(2)根据统计图数据解答即可(答案不唯一).
本题考查方差以及中位数，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
21.【答案】解：由题意得
斜边为： ( 7+ 3)2+( 7− 3)2
= 10+2 21+10−2 21
= 20
=2 5，
面积为：12( 7+ 3)( 7− 3)
=12×4
=2；
故这个直角三角形的斜边长为2 5，面积为2.
【解析】由勾股定理得 ( 7+ 3)2+( 7− 3)2，由面积得12( 7+ 3)( 7− 3)，即可求解．
本题考查了二次根式混合运算，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵BE//CD，CE//AB，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为边AB的中点，
∴CD=BD，
∴四边形BDCE是菱形．
(2)解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，
∴∠ABC=30∘，
∴AB=2AC，设AC=x(x>0)，
则AB=2x，
∵BC=3，AC2+BC2=AB2，
∴BC= AB2−AC2= 3x=3，
解得x= 3，
∴AB=2 3，
∵D为边AB的中点，
∴BD=12AB= 3，
则四边形BDCE的周长为4BD=4 3.
【解析】(1)先证出四边形BDCE是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得CD=BD，然后根据菱形的判定即可得证；(2)先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得 AB的长，从而可得BD的长，再根据菱形的性质求解即可得．
本题考查了菱形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
23.【答案】60
【解析】解：(1)设线段AC对应的函数表达式为y=kx+b，将(0,20)，(6,100)代入得：
20=b100=6k+b，
解得k=403b=20，
∴线段AC对应的函数表达式为y=403x+20；
当x=3时，y=403×3+20=60.
故答案为：60.
(2)根据题意得：100−206a+100−202(3−a)+20=100，
解得a=1.5，
画出电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象如下：
(1)用待定系数法可得函数关系式，再将x=3代入解析式求出y值即可；
(2)根据一共用时3h，列方程求出a的值，再画出图象即可．
本题考查了函数与图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
24.【答案】解：(1)设直线AC的解析式为y=mx+n，将A(0,3)、C(3,0)两点坐标代入的：
n=33m+n=0，
解得m=−1n=3，
∴直线AC的解析式为y=−x+3；
(2)连接BD，CE交于M，过A，M的直线l即平分该矩形的面积，设直线l交DE于K，交BC于T，如图：
∵四边形BCDE是矩形，B(−1,0)、C(3,0)，CD= 2，
∴D(3, 2)，
∴BD中点M坐标为(1, 22)，
设直线l解析式为y=ax+t，把A(0,3)，M(1, 22)代入得：
t=3a+t= 22，
解得a= 22−3t=3，
∴直线l解析式为y=( 22−3)x+3，
在y=( 22−3)x+3中，令y= 2得 2=( 22−3)x+3，
解得x=16−3 217，
∴K(16−3 217, 2)，
在y=( 22−3)x+3中，令y=0得0=( 22−3)x+3，
解得x=18+3 217，
∴T(18+3 217,0)；
∴直线l与矩形的边的交点坐标为(16−3 217, 2)和(18+3 217,0)；
(3)①若∠EBC=45∘时，过D作DH⊥x轴于H，
当D，E在x轴上方时，如图：
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠DCH=∠EBC=45∘，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH=DH=CD 2= 2 2=1，
∴D(4,1)，
由A(0,3)，D(4,1)得直线AD解析式为y=−12x+3，
由A(0,3)，B(−1,0)得直线AB解析式为y=3x+3，
∵过点A(0,3)的直线y=kx+b(k≠0)与▱BCDE有两个交点，
∴由图可得：k<−12或k>3；
当D，E在x轴下方时，如图：
同理可得k<−1或k>3；
②若∠BED=45∘，过E作EG⊥x轴于G，
当D，E在x轴上方时，如图：
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠EBG=∠BED=45∘，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴BG=EG=BE 2= 2 2=1，
∴E(−2,1)，
由A(0,3)，C(3,0)得直线AC解析式为y=−x+3，
由A(0,3)，E(−2,1)得直线AB解析式为y=x+3，
∵过点A(0,3)的直线y=kx+b(k≠0)与▱BCDE有两个交点，
∴由图可得：k<−1或k>1；
当D，E在x轴下方时，如图：
同理可得k<−1或k>2；
综上所述，若∠EBC=45∘，当D，E在x轴上方时，k<−12或k>3，当D，E在x轴下方时，k<−1或k>3；若∠BED=45∘，D，E在x轴上方时，k<−1或k>1，当D，E在x轴下方时，k<−1或k>2.
【解析】(1)设直线AC的解析式为y=mx+n，将A(0,3)、C(3,0)两点坐标代入可得：n=33m+n=0，即可解得答案；
(2)连接BD，CE交于M，过A，M的直线l即平分该矩形的面积，设直线l交DE于K，交BC于T，求出D(3, 2)，可得BD中点M坐标为(1, 22)，故直线l解析式为y=( 22−3)x+3，令y= 2得 2=( 22−3)x+3，可解得K(16−3 217, 2)，令y=0得0=( 22−3)x+3，可得T(18+3 217,0)；
(3)①若∠EBC=45∘时，过D作DH⊥x轴于H，当D，E在x轴上方时，求出直线AD解析式为y=−12x+3，直线AB解析式为y=3x+3，可得k<−12或k>3；当D，E在x轴下方时，同理可得k<−1或k>3；②若∠BED=45∘，过E作EG⊥x轴于G，当D，E在x轴上方时，求出直线AC解析式为y=−x+3，直线AB解析式为y=x+3，故k<−1或k>1；当D，E在x轴下方时，同理可得k<−1或k>2.
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，矩形的性质，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25.【答案】(1)证明：连接DE，BF，
∵四边形ABCD，四边形AFCE都是矩形，
∴AD=CB，AE=CF，AD//CB，AE//CF，
∴∠DAC=∠BCA，∠EAC=∠FCA，
∴∠DAC−∠EAC=∠BCA−∠FCA，
即∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠DAE=∠BCFAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE=BF；
(2)①证明：尺规作图：
由(1)已证：∠DAE=∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ACF，
∴∠DAE=∠ACF，
∵四边形ABCD和四边形AFCE都是矩形，
∴∠BAD=∠EAF=∠AFC=90∘，
∴∠BAD−∠BAE=∠EAF−∠BAE，
即∠DAE=∠BAF，
∴∠ACF=∠BAF，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠BAG，
又∵∠AFC=90∘，
∴∠ACF+∠BAF+∠CAG+∠BAG=90∘，
∴∠BAF+∠BAG=45∘，
即∠GAF=45∘，
∴Rt△AFG是等腰直角三角形，
∴АF=FG，
②解：设AF=FG=x(x>0)，
АG= АF2+FG2= 2х=2 10，
解得x=2 5，
∴AF=2 5，
∵AC=10，
∴СF= АС2−АF2=4 5，
如图，延长AF，CB，交于点M，
∵∠BCF=∠ACF，CF⊥AF，
∴90∘−∠BCF=90∘−∠ACF，
即∠M=∠CAM，
∴СМ=АС=10，
又∵CF⊥AF，
∴AM=2AF=4 5，点F是AM的中点，
在Rt△ABM中，BF=12AM=2 5，
S△ACM=12CM⋅АВ=12АМ⋅СF，
∴AB=AM⋅CFCM=4 5×4 510=8，
∴BF的长为2 5，AB的长为8.
【解析】(1)先根据矩形的性质可得AD=CB，AE=CF，AD//CB，AE//CF，再根据平行线的性质可得∠DAC=∠BCA，∠EAC=∠FCA，从而可得∠DAE=∠BCF，然后证出△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质即可得证；
(2)①先根据角平分线的尺规作图的方法作∠CAB的平分线AG，再交CF于点G，连接BF即可；先证出∠DAE=∠ACF，再证出∠DAE=∠BAF，从而可得∠ACF=∠BAF，然后证出Rt△AFG是等腰直角三角形，由此即可得证；
②先利用勾股定理求出AF，CF，再延长AF，CB，交于点M，证出△ACM是等腰三角形，然后利用等腰三角形的三线合一可得AF=MF=12AM，利用直角三角形的性质即可得BF的长，利用△ACM的面积公式即可得AB的长．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质．