2023-2024学年广东省深圳大学附中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年广东省深圳大学附中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知aA. a−1>b−1B. ac3.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是( )边形．
A. 三B. 四C. 五D. 六
4.如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在( )
A. 三角形三条中线的交点B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
5.下列命题中，假命题的是( )
A. 矩形的对角线相等B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是( )
A. 480x−20−480x=4B. 480x−480x+4=20
C. 480x−480x+20=4D. 480x−4−480x=20
7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为16=52−32，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
8.如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM.则下列结论，其中正确的是( )
①∠1=∠2；
②∠3=∠4；
③GD= 2CM；
④若AG=1，GD=2，则BM= 5.
A. ①②③④B. ①②C. ③④D. ①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.因式分解：ax2+4ax+4a=______.
10.如图，已知一次函数y=kx+3和y=−x+b的图象交于点P(2,4)，则关于x的不等式kx+3>−x+b的解是______.
11.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=140∘，则∠EFP的度数是______.
12.如图，在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置(阴影部分)，若小平行四边形的面积是2，则▱ABCD面积是______.
13.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54∘，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
计算
(1)解不等式组：{2x−1>x①x−13⩽1②.
(2)解分式方程：x2x−5+55−2x=1.
15.(本小题7分)
化简：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x2−16x2+4x，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值.
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,3)、B(4,1)、C(5,3).
(1)将△ABC通过平移得到△A1B1C1使得A的对应点为A1(−5,4)，请画出△A1B1C1；
(2)△A2B2C2是由△ABC绕某一点M旋转得到，请通过画图找到旋转中心M.
17.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)若四边形ABCD的面积为4 3，AO=1，求BD的长.
18.(本小题8分)
某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
19.(本小题12分)
【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较M与N的大小.
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较x2+1与2x−1的大小.
小华：∵(x2+1)−(2x−1)=x2+1−2x+1=(x−1)2+1>0
∴x2+1>2x−1.
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论.现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度(即糖与糖水的质量比)为ba.
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为ba+m﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：ba>ba+m，我们趣称为“糖水不等式”.
(2)实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：______，并验证你写的不等式的正确性.
(3)设a、b、c为△ABC三边的长，根据上述实验2的结论，求证：ca+b+ab+c+ba+c<2.
20.(本小题12分)
【课本再现】
(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形A1B1C1O可绕点O转动.则下列结论正确的是______(填序号即可).
①△AEO≌△BFO；
②OE=OF；
③四边形OEBF的面积总等于14；
④连接EF，总有AE2+CF2=EF2.
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=3cm，BC=4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=2cm时，求线段EF的长度.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A符合题意；
B、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形、轴对称图形的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、不等式两边同时减去1，不等号方向不变，即a−1B、当c<0时，ac>bc，故这个选项不符合题意；
C、不等式两边同时乘以13，不等号方向不变，式子a3D、不等式两边同时除以负数−1，不等号方向改变，即−a>−b；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即3−a>3−b，故这个选项不符合题意．
故选：C.
利用不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3.【答案】B
【解析】解：设多边形的边数为n.
根据题意得：(n−2)×180∘=360∘，
解得：n=4.
故选：B.
任意多边形的外角和为360∘，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360∘和多边形的内角和公式是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等，
∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D.
根据线段垂直平分线的性质进行判断．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5.【答案】D
【解析】解：A、矩形的对角线相等，是真命题；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，是假命题；
故选：D.
根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线进行判断即可．
本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
设原计划每天挖x米，则实际每天挖(x+20)米，由题意可得等量关系：原计划所用时间-实际所用时间=4，根据等量关系列出方程即可．
【解答】
解：设原计划每天挖x米，由题意得：
480x−480x+20=4.
7.【答案】B
【解析】解：设k是正整数，
∵(k+1)2−k2=(k+1+k)(k+1−k)=2k+1，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵(k+1)2−(k−1)2=(k+1+k−1)(k+1−k+1)=4k，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选：B.
设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案．
本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
①正确．如图1中，过点B作BK⊥GH于K.想办法证明Rt△BHK≌Rt△BHC(HL)可得结论．
②正确．分别证明∠GBH=45∘，∠4=45∘即可解决问题．
③正确．如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T.首先证明MG=MD，再证明△BTM≌△MWG(AAS)，推出MT=WG可得结论．
④正确．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判断．
【解答】
解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K.
∵B，G关于EF对称，
∴EB=EG，
∴∠EBG=∠EGB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠BCD=90∘，AD//BC，
∴∠AGB=∠EBG，
∴∠AGB=∠BGK，
∵∠A=∠BKG=90∘，BG=BG，
∴△BAG≌△BKG(AAS)，
∴BK=BA=BC，∠ABG=∠KBG，
∵∠BKH=∠BCH=90∘，BH=BH，
∴Rt△BHK≌Rt△BHC(HL)，
∴∠1=∠2，∠HBK=∠HBC，故①正确，
∴∠GBH=∠GBK+∠HBK=12∠ABC=45∘，
过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R.
∵∠1=∠2，
∴MQ=MP，
∵∠MEQ=∠MER，
∴MQ=MR，
∴MP=MR，
∴∠4=∠MCP=12∠BCD=45∘，
∴∠GBH=∠4，故②正确，
如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T.
∵B，G关于EF对称，
∴BM=MG，
∵CB=CD，∠4=∠MCD，CM=CM，
∴△MCB≌△MCD(SAS)，
∴BM=DM，
∴MG=MD，
∵MW⊥DG，
∴WG=WD，
∵∠BTM=∠MWG=∠BMG=90∘，
∴∠BMT+∠GMW=90∘，
∵∠GMW+∠MGW=90∘，
∴∠BMT=∠MGW，
∵MB=MG，
∴△BTM≌△MWG(AAS)，
∴MT=WG，
∵MC= 2TM，DG=2WG，
∴DG= 2CM，故③正确，
∵AG=1，DG=2，
∴AD=AB=TM=3，TC=WD=TM=1，BT=AW=2，
∴BM= BT2+MT2= 22+12= 5，故④正确，
故选：A.
9.【答案】a(x+2)2
【解析】解：ax2+4ax+4a
=a(x2+4x+4)
=a(x+2)2，
故答案为：a(x+2)2.
先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题主要考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键．
10.【答案】x>2
【解析】解：当x>2时，kx+3>−x+b，
即不等式kx+3>−x+b的解集为x>2.
故答案为x>2.
观察函数图象得到当x>2时，函数y=kx+3的图象都在y=−x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+3>−x+b的解集为x>2.
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11.【答案】20∘
【解析】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=12AD，
同理，PF=12BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠EFP=12×(180∘−∠EPF)=12×(180∘−140∘)=20∘，
故答案为：20∘.
根据三角形中位线定理得到PE=12AD，PF=12BC，在PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12.【答案】18
【解析】解：过A作AK⊥BC，过F作FH⊥NC，
∵在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置(阴影部分)，
∴AB=3EC，AK=3FH，
∵小平行四边形的面积是2，
∴NC⋅FH=2，
∴BC⋅AK=3CN⋅3FH=18，
故答案为：18.
过A作AK⊥BC，过F作FH⊥NC，根据平移可得AB=3EC，AK=3FH，然后再根据平行四边形的面积公式可得▱ABCD面积．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式．
13.【答案】108
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54∘，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×54∘=27∘，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=12(180∘−∠BAC)=12(180∘−54∘)=63∘，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27∘，
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=63∘−27∘=36∘，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36∘，
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36∘，
在△OCE中，∠OEC=180∘−∠COE−∠OCB=180∘−36∘−36∘=108∘.
故答案为：108.
14.【答案】解：(1){2x−1>x①x−13⩽1②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：1(2)x2x−5+55−2x=1，
方程两边同乘2x−5，得：x−5=2x−5，
解得：x=0，
检验：当x=0时，2x−5≠0
∴x=0是原分式方程的解．
【解析】(1)先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可；
(2)先将分式方程化为整式方程求解，再检验方程的解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键．
15.【答案】解：原式=[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅x(x+4)(x+4)(x−4)
=x2−4−x(x−1)x(x−2)2⋅xx−4
=x−4x(x−2)2⋅xx−4
=1(x−2)2=1x2−4x+4，
∵x≠0，2，4，−4，
∴x=1或3，
当x=1时，原式=1.
【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的性质是关键．
16.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，点M即为所求；

【解析】(1)由点A1的坐标可知，△A1B1C1是由△ABC左移6个单位，上移1个单位得到；
(2)连接任意两组对应点得到两条线段，如AA2、BB2，分别作出两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点M.
本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17.【答案】(1)证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分BD，
∴CD=CB，
∵AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴AB=AD=CD=CB，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=OA=1，
∴AC=OC+OA=1+1=2，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=4 3，
∴12×2BD=4 3，
∴BD=4 3，
∴BD的长是4 3.
【解析】(1)由AB=AD，AC平分∠BAD，得AC垂直平分BD，则CD=CB，由∠BAC=∠DCA，∠BAC=∠DAC，证明∠DCA=∠DAC，则AD=CD，所以AB=AD=CD=CB，即可证明四边形ABCD是菱形；
(2)由菱形的性质得AC⊥BD，OC=OA=1，则AC=2，即可由S菱形ABCD=12×2BD=4 3，求得BD=4 3.
此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、菱形的面积公式等知识，证明AC垂直平分BD及∠DCA=∠DAC是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+30)元．
由题意：1500x+30=600x×2，
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
(2)因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100−m，m≤50，
由题意：w=m(200−150)+(100−m)(180−120)=−10m+6000，
∵−10<0，
∴m=50时，w有最小值=5500(元)
【解析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+10)元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
(2)因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．根据一次函数即可解决问题；
19.【答案】ba【解析】解：(1)M−N=ab−a+1b+3=a(b+3)b(b+3)−b(a+1)b(b+3)=ab+3a−ab−bb(b+3)=3a−bb(b+3)
∵3a>b>0
∴3a−b>0，b(b+1)>0，
∴3a−bb(b+3)>0
∴M>N；
(2)ba证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为b+ma+m，
b+ma+m−ba
=a(b+m)−b(a+m)a(a+m)
=m(a−b)a(a+m)，
∵a>b>0，
∴a−b>0，
又∵m>0
∴m(a−b)a(a+m)>0
∴b+ma+m−ba>0，
∴ba故答案为：ba(3)证明：∵a、b、c为△ABC的三边长，
∴a+b>c，b+c>a，c+a>b
∴ca+b<1，ab+c<1，ba+c<1.
∴由(2)的结论知道：ca+b<2ca+b+c，ab+c<2aa+b+c，bc+a<2ba+b+c，
三式相加得：
ca+b+ab+c+ba+c<2ca+b+c+2aa+b+c+2ca+b+c=2(a+b+c)a+b+c=2.
(1)根据分式的加减法运算求解即可；
(2)根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为b+ma+m，然后利用分式作差求解即可；
(3)根据三角形三边关系得出a+b>c，b+c>a，c+a>b，再由分式的性质及加减法证明即可．
题目主要考查分式的混合运算及分式的性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键．
20.【答案】①②③④
【解析】解：(1)如图1中，连接EF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∵∠AOB=∠A1OC1=90∘，
∴∠AOE=∠BOF，
∵∠OAE=∠OBF=45∘，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，故①正确，
∴OE=OF，AE=BF故②正确，
∴S四边形OEBF=S△ABO=14S正方形ABCD，故③正确，
∵∠EBF=90∘，
∴EF2=BE2+BF2，
∵AB=BC，AE=BF，
∴BE=CF，
∴EF2=AE2+CF2，故④正确，
故答案为：①②③④；
(2)猜想：AE2+CF2=EF2，理由如下：
连接AC，∵O是矩形ABCD的中心，
∴点O是AC的中心．
∴AO=CO，
延长EO交CD于点G，连接FG，
在矩形ABCD中，∠BCD=90∘，AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO(AAS)，
∴AE=CG，OE=OG，
在矩形A1B1C1O中，∠A1OC1=900，
∴EF=FG，
在Rt△FCG中，CG2+CF2=GF2
∴AE2+CF2=EF2；
(3)设CF=xcm.
①当点E在线段AC上时，
∵AE=2cm，
∴CE=1cm
在Rt△FCE中，∠C=90∘，
∴12+x2=EF2，
又由(2)易知EF2=AE2+BF2，
∴EF2=22+BF2
∴12+x2=22+(4−x)2，
解得x=198.
∴EF= 12+(198)2=5 178.
②当点E在CA延长线上时，同理可证EF2=AE2+BF2.
∴EF2=22+(4+x)2，
又在Rt△FCE中，EF2=x2+(3+2)2.
∴x2+(3+2)2=22+(4+x)2.
解得x=58.
∴EF= 52+(58)2=5 658.
故EF的长度为5 178cm或5 658cm.
(1)证明△AOE≌△BOF(ASA)，可得结论；
(2)猜想：AE2+CF2=EF2，连接AC，△AEO≌△CGO(AAS)，再利用勾股定理证明即可；
(3)设CF=xcm.分两种情形：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，就提到过房间数正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．