2023-2024学年广东省梅州市丰顺县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广东省梅州市丰顺县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列中国新能源汽车标志是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若x>y，则下列结论不成立的是( )
A. x+2>y+2B. x−2>y−2C. 2x>2yD. −x>−y
3.下列各式中，是分式的是( )
A. 2xB. xπC. x−13D. x2+1
4.利用因式分解计算2023×2024−20232=( )
A. 1B. 2023C. 2024D. 20232
5.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象.如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为( )
A. 1080∘
B. 900∘
C. 720∘
D. 540∘
6.随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC=OD，∠BOD=100∘，则凳腿与地面所成的角∠ODC为( )
A. 36∘B. 50∘C. 54∘D. 72∘
7.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC，则点D在( )
A. AC的垂直平分线上
B. ∠BAC的平分线上
C. BC的中点
D. AB的垂直平分线上
8.若2n=m−1，则12n−m的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
9.如图，已知▱ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为36cm，则对角线AC的长为( )
A. 8cmB. 16cmC. 18cmD. 20cm
10.对实数x，y定义一种新的运算F，规定F(x,y)=x−y(x≥y)y−x(x4F(−1,x)A. 8二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，则x ______80.(填“>”“<”或“=”)
12.计算：12ba÷3b2a=______.
13.因式分解：3a2b−9ab=______.
14.如图，在一个三角形的纸片(△ABC)中，∠C=90∘，则图中∠1+∠2的度数为______ ∘.
15.如图，已知△ABC，点A在直线MN上，∠BAN=∠C=20∘，将△ABC绕点A逆时针旋转100∘到△ADE位置，点B、点C分别对应点D、点E，如果DE//MN，那么∠DAC=______ ∘.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，BC=6.点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上.则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式：1+2x3−1≥0.
18.(本小题6分)
解方程：x−3x+3−2x−3=1.
19.(本小题6分)
如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB.点A、B都在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中画出钝角△ABC，且AB=AC；
(2)在方格纸中将线段AB绕点A逆时针旋转90∘得到线段AF，连接CF，直接写出线段CF的长.
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−xx+2)÷x2−4x2+4x+4，其中x=2024.
21.(本小题8分)
已知一次函数y1=(a−1)x−2a+1，其中a≠1.
(1)若点(1,−12)在y1的图象上，求a的值；
(2)当−2≤x≤3时，若函数有最大值2，求y1的函数表达式；
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE.
(1)求∠A的度数；
(2)AE=2，求△ABC的面积.
23.(本小题8分)
如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G.
(1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
(2)若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长．
24.(本小题10分)
“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样).
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
25.(本小题12分)
如图，已知△ABC中，∠B=90∘，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t=2秒时，求PQ的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B.
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵x>y，
∴x+2>y+2，
故A不符合题意；
B、∵x>y，
∴x−2>y−2，
故B不符合题意；
C、∵x>y，
∴2x>2y，
故C不符合题意；
D、∵x>y，
∴−x<−y，
故D符合题意；
故选：D.
利用不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、2x的分母含有未知数，故该选项是正确的；
B、xπ的分母是数值，故该选项是错误的；
C、x−13的分母是数值，故该选项是错误的；
D、x2+1的分母是数值，故该选项是错误的；
故选：A.
根据分母含有未知数的即为分式，据此逐项分析，即可作答．
本题考查了分式的定义，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
4.【答案】B
【解析】解：2023×2024−20232=2023(2024−2023)=2023×1=2023.
故选：B.
提取公因式2023，再化简，整理即可．
本题考查因式分解的应用．找到公因式并合理提取是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵正八边形的内角和为：
(8−2)×180∘
=6×180∘
=1080∘，
∴正八边形的窗户它的内角和为1080∘，
故选：A.
根据多边形的内角和公式，求出正八边形的内角和即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，解题关键是熟练掌握利用多边形内角和公式求出正八边形的内角和．
6.【答案】B
【解析】解：∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠BOD=100∘，
∴∠BOD=∠OCD+∠ODC=2∠ODC=100∘，
∴∠ODC=50∘，
故选：B.
根据三角形的外角的性质及等腰三角形的性质求得答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角的性质，解题的关键是了解等腰三角形的两底角相等，难度不大．
7.【答案】A
【解析】解：∵BD+DC=BC，BD+AD=BC，
∴DC=DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A.
根据题意得到DC=DA，根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键
8.【答案】B
【解析】解：∵2n=m−1，
∴2n−m=−1，
∴12n−m=1−1=−1.
故选：B.
由2n=m−1得2n−m=−1，然后代入12n−m计算即可．
本题考查了求代数式的值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵▱ABCD的周长为40cm，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AB+BC=20cm，
∵△ABC的周长为36cm，
∴AB+BC+AC=36cm，
∴AC=16cm.
故选：B.
由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，由线段的和差关系可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵F(x,y)=x−y(x≥y)y−x(x4F(−1,x)∴①若04F(−1,x)4x+1解1−x>4，得：x<−3，与0②若x≥1，由F(x,1)>4F(−1,x)4x+1解得x>5x∵不等式组恰好有3个整数解，
∴8解得：9故选：C.
分04F(−1,x)本题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
11.【答案】>
【解析】解：根据图可得：
x>80；
故答案为：>.
根据不等式的定义即可得出答案．
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：>、<、≤、≥、≠.
12.【答案】8
【解析】解：原式=12ba⋅2a3b=8
故答案为：8
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
13.【答案】3ab(a−3)
【解析】解：3a2b−9ab
=3ab(a−3)，
故答案为：3ab(a−3).
提取公因式，即可得出答案．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键．
14.【答案】270
【解析】解：∵∠C=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360∘，
∴∠1+∠2=360∘−90∘=270∘，
故答案为：270.
由三角形的内角和定理求解∠A+∠B=90∘，再结合四边形的内角和定理可得答案．
本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和与四边形的内角和是解本题的关键．
15.【答案】60
【解析】解：如图所示，
由旋转可知，
∠EAC=∠DAB=100∘，∠E=∠C=20∘.
∵∠BAN=20∘，
∴∠DAN=100∘+20∘=120∘.
∵DE//MN，
∴∠D=∠DAN=120∘.
∴∠DAE=180∘−20∘−120∘=40∘，
∴∠DAC=∠EAC−∠DAE=100∘−40∘=60∘.
故答案为：60.
根据题意，画出示意图，再结合旋转的性质及平行线的性质即可解决问题．
本题考查旋转的性质及平行线的性质，熟知图形旋转的性质及平行线的性质是解题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：∵∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
由平移得：DF//EC，DF=EC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∵点F是AB中点，
∴点D是AC的中点，
∴DF是△ACB的中位线，
∴DF=12BC=3，
∵点D是AC的中点，
∴DC=12AC=4，
∴四边形CFDE的面积=DF⋅CD=3×4=12，
故答案为：12.
先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据平移的性质可得：DF//EC，DF=EC，从而可得四边形DFCE是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点D是AC的中点，从而可得DF是△ACB的中位线，进而可得DF=12BC=3，最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及平移的性质是解题的关键．
17.【答案】解：1+2x3−1≥0
去分母，得1+2x−3≥0，
移项，得2x≥−1+3，
合并同类项，得2x≥2，
系数化为1，得x≥1.
【解析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可
本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
18.【答案】解：(x−3)2−2(x+3)=x2−9，
x2−6x+9−2x−6=x2−9，
−8x=−12，
x=32，
经检验x=32为原方程的根．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由勾股定理得，AB= 32+42=5.
如图，钝角△ABC即为所求．
(2)画出AF如图所示，
由勾股定理得，CF= 12+32= 10.
【解析】(1)由勾股定理得AB=5，结合钝角三角形的定义画图即可．
(2)根据旋转的性质作图，再利用勾股定理计算即可．
本题考查作图-旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、钝角三角形的定义是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1−xx+2)÷x2−4x2+4x+4
=x+2−xx+2⋅(x+2)2(x+2)(x−2)
=2x+2⋅(x+2)2(x+2)(x−2)
=2x−2，
当x=2024时，原式=22024−2=22022=11011.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将点(1,−12)代入函数解析式得，
(a−1)−2a+1=−12，
解得a=12，
(2)当a−1=<0，
∴函数y随x增大而减小，
当−2≤x≤3时，若函数有最大值2，
∴x=−2时，函数有最大值2，
把(−2,2)代入函数解析式得，
解得a=14，
则y的函数表达式为y=−34x+12.
当a−1>0，即a>1时，
函数y随x增大而增大，
∴x=3时，函数有最大值2，
把(3,2)代入函数解析式得，
解得a=4，
则y的函数表达式为y=3x−7.
综上所述，y的表达式为y=−34x+12或y=3x−7.
【解析】(1)将点(1,−12)的坐标代入即可解决问题．
(2)对k+1的正负进行分类讨论即可解决问题．
本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
22.【答案】(1)解：设∠A的度数为x，则∠ACB=4∠A=4x，
∵CA=CB，
∴∠B=∠A=x，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180∘，
∴x+x+4x=180∘，
解得：x=30∘，
∴∠A=30∘；
(2)证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC，AE=2，
∴AE=CE=2，
∴∠ECA=∠A=30∘，
又∵∠ACB=4∠A=120∘，
∴∠BCE=120∘−30∘=90∘，
∵∠B=30∘，
∴BE=2CE=4，
∴根据勾股定理得：BC= BE2−CE2=2 3，
∴AC=BC=2 3，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90∘，
∵∠A=30∘，
∴DE=12AE=1，
∴S△ABC=S△BCE+S△ACE
=12BC×CE+12AC×DE
=12×2 3×2+12×2 3×1
=2 3+ 3
=3 3.
【解析】(1)设∠A的度数为x，则∠ACB=4∠A=4x，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠A=x，根据三角形的内角和定理得出x+x+4x=180∘，再求出x即可；
(2)根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，求出∠ECA=∠A=30∘，求出∠BCE，再根据直角三角形的性质和三角形面积的计算公式得出即可．
本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形DEFG是平行四边形，
理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点，
∴EF=12BC，EF//BC，
同理DG=12BC，DG//BC，
∴EF=DG，EF//DG，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2)∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠BOC=90∘，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OM=4，
∴BC=2EF=8.
【解析】(1)根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答；
(2)根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：20x+40y=152020x−20y=440，
解得：x=40y=18，
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
(2)设学校要求购买文学名著a本，动漫书为(a+20)本，根据题意可得：
a+a+20≥7240a+18(a+20)≤2000，
解得：26≤a≤82029，
因为取整数，
所以x取26，27，28；
方案一：文学名著26本，动漫书46本；
方案二：文学名著27本，动漫书47本；
方案三：文学名著28本，动漫书48本．
【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
(1)设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；
(2)根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．
25.【答案】(1)解：(1)BQ=2×2=4cm，
BP=AB−AP=8−2×1=6cm，
∵∠B=90∘，
PQ= BQ2+BP2= 42+62=2 13(cm)；
(2)解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8−t，
解得：t=83；
即出发时间为83秒时，△PQB是等腰三角形；
(3)解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90∘，
∴∠CBQ+∠ABQ=90∘，
∠A+∠C=90∘，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12，
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=AB⋅BCAC=6×810=4.8(cm)
∴CE= BC2−BE2=3.6(cm)，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【解析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
(1)根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
(2)由题意得出BQ=BP，即2t=8−t，解方程即可；
(3)当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形有三种情况：
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时(图2)，则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时(图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t.