2023-2024学年广东省广州市龙涛教育集团八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省广州市龙涛教育集团八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式：x23+1，5+yπ，a+ba−b，1n中，是分式的共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.下面运算正确的是( )
A. 3x2+2x3=5x5B. 2y2+2y=2y2(1+1y)
C. (x3)2=x9D. (2xy)2=2x2y2
4.如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件后，不能证明△ABD≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. ∠BDA=∠CDA
C. BD=CD
D. AB=AC
5.若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为( )
A. 4cmB. 6cmC. 4cm或8cmD. 8cm
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=4cm，则点D到AB的距离DE是( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
7.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65∘，则∠AED′等于( )
A. 50∘B. 55∘C. 60∘D. 65∘
8.已知分式3x2−3x+1的值为0，则( )
A. x=1B. x=−1C. x>1D. x>−1
9.若a−b=3，x−y=2，则代数式a2−2ab+b2−x+y+2023的值是( )
A. 2019B. 2030C. 2024D. 2023
10.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF//AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
①∠AOB=90∘+12∠C；
②AE+BF=EF；
③当∠C=90∘时，E，F分别是AC，BC的中点；
④若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab.
其中正确的是( )
A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：3m3−3m=______.
12.已知点M(−6,2)，则M点关于x轴对称点的坐标是______.
13.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______.
14.已知am=3，an=2，则am−2n的值为______.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，CD是高.若AD=4，则BD=______.
16.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，△ABC面积为16，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(2022+ 2)0+(−3)−2；
(2)计算：a2⋅a4+(a3)2−2a7÷a；
(3)计算：2aa2−b2−1a+b.
18.(本小题8分)
先化简：2a2−4÷(a−2a2−4a+4−1a)，再从−1，0，−2，2中选一个合适的数代入求值.
19.(本小题8分)
如图，已知A(−1,4)，B(−3,2)，C(−2,1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称的图形△A1B1C1，并写出点B的对称点B1的坐标；
(2)点Q在坐标轴上，且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有______个.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在BC上，AC=CD，∠B=30∘，∠ADB=100∘.
(1)作AB的垂直平分线EF，分别交BC、AB于E、F(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连结AE，求∠C与∠AED的大小．
21.(本小题8分)
如图，AE⊥DB，CF⊥DB，垂足分别是点E，F，DE=BF，AB=CD.
求证：∠A=∠C.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，点O在AC的垂直平分线上，
(1)求证：△BOC是等腰三角形；
(2)若∠BAC=80∘，求∠BCO的度数.
23.(本小题8分)
受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．
(1)求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价；
(2)商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？
24.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE.
(1)如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=25∘，则∠DCE=______.
(2)设∠BAC=α，∠DCE=β，当点D在直线BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.
25.(本小题8分)
如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α(0∘<α<90∘)，点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F.
(1)①依题意补全图形；
②求∠BPC的度数；
(2)用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明．
(3)若△PBC是等腰三角形，直接写出α的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：观察四个选项可知，除选项A外，选项B，C，D中的图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，
因此选项A不是轴对称图形，选项B，C，D是轴对称图形．
故选：A.
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：在x23+1，5+yπ，a+ba−b，1n中，是分式的：a+ba−b，1n，共2个．
故选：B.
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
3.【答案】B
【解析】解：A.3x2+2x3，不能合并同类项，此选项不符合题意；
B.2y2+2y=2y2(1+1y)，此选项符合题意；
C.(x3)2=x6，此选项不符合题意；
D.(2xy)2=4x2y2，此选项不符合题意；
故选：B.
分别根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则判断即可．
本题主要考查了整式的运算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则．
4.【答案】C
【解析】解：A、由∠B=∠C∠BAD=∠CADAD=AD，可得到△ABD≌△ACD，所以A选项不正确；
B、由∠BDA=∠CDAAD=AD∠BAD=∠CAD，可得到△ABD≌△ACD，所以B选项不正确；
C、由BD=CD，AD=AD，∠BAD=∠CAD，不能得到△ABD≌△ACD，所以C选项正确．
D、由AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，可得到△ABD≌△ACD，所以D选项不正确；
故选：C.
根据“AAS”对A进行判断；根据“ASA”对B进行判断；根据“SSA”对C进行判断；根据“SAS”对D进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”．
5.【答案】A
【解析】解：①4cm是底边时，腰长为12×(16−4)=6，能组成三角形，
②4cm是腰长时，底边为16−2×4=8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm.
故选：A.
分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过D点作DE⊥AB于E，
因为∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC⊥BC，DE⊥AB，
所以DE=DC=4，
即点D到AB的距离DE是4cm.
故选：C.
直接利用角平分线的性质解决问题．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念．
首先根据AD//BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．
【解答】
解：∵AD//BC，
∴∠EFB=∠FED=65∘，
由折叠的性质知，∠FED=∠FED′=65∘，
∴∠AED′=180∘−2∠FED=50∘.
故∠AED′等于50∘.
故选：A.
8.【答案】A
【解析】【分析】
根据分式值为零的条件可得：3x2−3=0，且x+1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【解答】
解：由题可得，3x2−3=0，且x+1≠0，
解得x=±1，x≠−1，
∴x=1，
故选：A.
9.【答案】B
【解析】解：a2−2ab+b2−x+y+2023
=(a−b)2−(x−y)+2023.
∵a−b=3，x−y=2，
∴原式=32−2+2023=2030.
故选：B.
把所给代数式整理成和a−b，x−y相关的式子，然后代入求值即可．
本题考查因式分解的应用．把所给代数式整理成和所给等式相关的式子是解决本题的关键．用到的知识点为：a2−2ab+b2=(a−b)2.
10.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=12∠CBA，∠OAB=12∠CAB，
∴∠AOB=180∘−∠OBA−∠OAB
=180∘−12∠CBA−12∠CAB
=180∘−12(180∘−∠C)
=90∘+12∠C，①正确；
∵EF//AB，
∴∠FOB=∠ABO，又∠ABO=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO，
∴FO=FB，
同理EO=EA，
∴AE+BF=EF，②正确；
当∠C=90∘时，AE+BF=EF∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OD=OH，
∴S△CEF=12×CF×OD+12×CE×OH=ab，④正确．
故选：C.
根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．
本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11.【答案】3m(m+1)(m−1)
【解析】解：原式=3m(m2−1)
=3m(m+1)(m−1).
故答案为：3m(m+1)(m−1).
首先提取公因式3m，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键．
12.【答案】(−6,−2)
【解析】解：点M(−6,2)关于x轴对称点的坐标是(−6,−2).
故答案为：(−6,−2).
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13.【答案】6
【解析】解：设多边形的边数为n，
根据题意得(n−2)×180∘=360∘×2，
解得n=6，
所以这个多边形是六边形．
故答案为：6.
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
14.【答案】34
【解析】解：∵am=3，an=2，
∴am−2n=am÷a2n=3÷(an)2=3÷22=3÷4=34.
故答案为：34.
根据同底数幂的除法法则可得am−2n=am÷a2n，再根据幂的乘方运算法则计算即可．
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：∵CD是高，∠ACB=90∘，
∴∠ADC=90∘=∠ACB，
∵∠B=30∘，
∴∠A=90∘−∠B=60∘，
∴∠ACD=90∘−∠A=30∘，
∵AD=4，
∴AC=2AD=8，
∴AB=2AC=16，
∴BD=AB−AD=16−4=12，
故答案为：12.
求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC=2AD，AB=2AC，求出AB即可．
本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC=2AD，AB=2AC.
16.【答案】8
【解析】解：如图，连接PA.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=4，
∵S△ABC=12⋅BC⋅AD=16，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB=PA，
∴PB+PD=PA+PD，
∵PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴PA+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+4=8，
故答案为：8.
如图，连接PA.利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB=PA，推出PB+PD=PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值为4，由此即可解决问题．
本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)(2022+ 2)0+(−3)−2
=1+19
=119；
(2)a2⋅a4+(a3)2−2a7÷a
=a6+a6−2a6
=0；
(3)2aa2−b2−1a+b
=2a(a+b)(a−b)−a−b(a+b)(a−b)
=2a−a+b(a+b)(a−b)
=a+b(a+b)(a−b)
=1a−b.
【解析】(1)先根据零指数幂、负整数指数幂化简，然后再计算即可；
(2)先算乘方，再算乘法和除法，最后合并同类项即可；
(3)通分化成同分母，再利用同分母分式的减法计算即可．
本题主要考查了零次幂、负整数次幂，整式的混合运算，异分母分式的加减混合运算等知识点，灵活运用相关知识点是解答本题的关键．
18.【答案】解：2a2−4÷(a−2a2−4a+4−1a)
=2(a+2)(a−2)÷[a−2(a−2)2−1a]
=2(a+2)(a−2)÷[2a(a−2)]
=2(a+2)(a−2)⋅a(a−2)2
=aa+2，
∵a+2≠0，a−2≠0，a≠0，
∴将a=−1代入aa+2得：
原式=aa+2=−1−1+2=−1.
【解析】先根据完全平方公式和平方差公式因式分解，再将除法转化为乘法，然后化简，再舍去使分母为0的数，然后代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确记忆相关知识是解题关键．
19.【答案】7
【解析】解：(1)如图所示：
B1的坐标(3,2)；
(2)如图Q点有8个，Q1不合题意，舍去
故答案为：7.
(1)根据关于y轴的对称的特点画出图形解答即可；
(2)在平面直角坐标系中，作线段AC的垂直平分线，与坐标轴有2个交点，分别以A，C为圆心，AC长为半径画弧，与坐标轴的交点有4个，即可得到Q点的数量．
本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，根据等腰三角形的判定解答是解题关键．
20.【答案】解：(1)如图；
(2)∵∠ADB=100∘，
∴∠ADC=80∘，
∵AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=80∘，
∴∠C=20∘，
由(1)知，EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=30∘，
∴∠AED=60∘
【解析】(1)根据垂直平分线的作法作图；
(2)根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质解答．
本题考查了作图--基本作图、线段垂直平分线的性质，要灵活运用以上性质，与等腰三角形的性质结合解答．
21.【答案】证明：∵AE⊥DB，CF⊥DB，
∴∠AEB=∠CFD=90∘，
∵DE=BF，
∴DF=BE，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
AB=CDBE=DF
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠A=∠C.
【解析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CDF，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵D点是AB的中点，OD⊥AB于D，
∴OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∵O点在AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形；
(2)解：∵OA=OB，OA=OC，
∴∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，
∴∠ABO+∠ACO=∠BAO+∠CAO=∠BAC=80∘，
∴∠OBC+∠OCB=180∘−80∘−80∘=20∘，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠BCO=10∘.
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，依题意得：2×8000x=17600x+1.
解得，x=10.
经检验，x=10是原方程的根．
所以该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶；
(2)共获利：(800010+1760010+1−200)×13+200×13×0.9−(8000+17600)=5340(元).
在这两笔生意中商场共获得5340元．
【解析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会设未知数，寻找等量关系，注意解分式方程必须检验．
(1)设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，根据所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元，列出方程即可解决问题．
(2)根据题意分别求出两次的利润即可解决问题．
24.【答案】25∘
【解析】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC=25∘，
∴∠DCE=25∘，
故答案为：25∘；
(2)如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β，理由是：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β.
如图2，当D在线段BC上时，α+β=180∘，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACM=∠B+∠BAC=∠ACE+∠MCE，
∴∠BAC=∠MCE=α，
∵∠DCE=β，
∵∠DCE+∠MCE=180∘，
∴α+β=180∘，
综上所述：α=β，或α+β=180∘.
(1)证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
(2)证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)①图形如图所示：
②连接AP，∵P，B关于AD对称，
∴AP=AB=AC，
∴可以假设∠APC=∠ACP=x，则∠PAC=180∘−2x，
∵∠BAC=60∘，
∴∠PAB=180∘−2x−60∘=120∘−2x，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠ABP=12[180∘−(120∘−2x)]=30∘+x.
∴∠CPB=30∘+x−x=30∘.
(2)结论：CF=AF+2EF.
理由：如图1中，连接BF，在CP上取一点T，使得FA=FT，连接AT.
∵B，P关于AD对称，
∴AE⊥PB，PF=BF，
∵∠EPF=30∘，
∴∠PFE=∠AFT=60∘，BF=PF=2EF，
∵FA=FT，
∴△AFT是等边三角形，
∴∠AF=AT，∠FAT=60∘，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠FAT=60∘，
∴∠FAB=∠TAC，
在△FAB和△TAC中，
AF=AT∠FAB=∠TACAB=AC，
∴△FAB≌△TAC(SAS)，
∴CT=BF，
∴CF=ET+CT=AF+BF=AF+2EF，
∴CF=AF+EF.
(3)①如图2−1中，当BP=BC时，α=∠BAD=30∘.
②如图2−2中，当PB=PC时，α=∠BAD=75∘.
③如图2−3中，当CP=BC时，α=∠BAD=120∘
④如图2−4中，当BP=PC时，α=∠BAD=165∘，
综上所述α的值为：30∘，75∘，120∘，165∘.
【解析】(1)①根据题意画出图形即可；
②点B关于直线AD的对称点为P，得到AP=AB，设∠APC=∠ACP=x，则∠PAC=180∘−2x，用x的代数式表示∠APB即可解决问题．
(2)结论：CF=AF+2EF.如图1中，连接BF，在CP上取一点T，使得FA=FT，连接AT.证明△FAB≌△TAC(SAS)，可得结论．
(3)分四种情形：①如图2−1中，当BP=BC时．②如图2−2中，当PB=PC时．③如图2−3中，当CP=BC时．④如图2−4中，当BP=PC时，利用等腰三角形的性质求解即可．
本题是几何变换综合题，考查了作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．