2023-2024学年广东省广州市白云区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年广东省广州市白云区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列长度的三条线段能组成一个三角形的是( )
A. 5，10，10B. 5，6，11C. 5，6，12D. 5，6，13
2.计算：(x3)2=( )
A. xB. x5C. x6D. x9
3.石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米.数据0.00000000034用科学记数法表示为( )
A. 3.4×10−9B. 3.4×10−10C. 3.4×10−11D. 0.34×10−9
4.如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件可能是( )
A. ∠A=∠DB. AC//DFC. BE=CFD. AC=DF
5.等腰三角形的一个内角为70∘，则另外两个内角的度数分别是( )
A. 55∘，55∘B. 55∘，55∘或70∘，40∘
C. 70∘，40∘D. 70∘，40∘或70∘，55∘
6.计算：(x+1)(x−5)=( )
A. x2−4x−5B. x2−4x+5C. x2+11x−5D. x2−11x+5
7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是( )
A. 7cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
8.化简a2−aa+1×a2−1a2−2a+1的结果是( )
A. 1aB. aC. a+1a−1D. a−1a+1
9.如图，在△ABC中，∠B=90∘，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC=8cm，BD：CD=3：4，则点D到AC的距离为cm.( )
A. 3B. 4C. 327D. 247
10.如图，某小区规划在边长为x m的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，以下各选项所列式子是计算通道所占面积的为( )
A. 4x+4B. x2−(x−2)2
C. (x−2)2D. x2−2x−2x+22
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当x满足条件______时，分式2x−3有意义.
12.分解因式：a2−2a=__________.
13.分式方程2x=5x−3的解是______.
14.若x2+mx+9能因式分解，则m的值可以是______.(填写一个满足条件的值即可)
15.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30∘，AD⊥AB交BC于点D，BC=12，则BD=______.
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点，AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE=2CF；②AD=DF；③AD+DE=12BE；④AB+BC=2AE.其中正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
分解因式：x2+4x+4.
18.(本小题4分)
yx+y−xyx2−y2.
19.(本小题6分)
如图，已知AC与DB相交于点E，DE=EB，AE=CE.求证：AD//BC.
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,0)，B(2,−4)，C(4,−1).画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
21.(本小题8分)
如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形.
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是______.
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积.
【方法1】S阴影=______；
【方法2】S阴影=______；
(3)观察如图2，写出(a+b)2，(a−b)2，ab这三个代数式之间的等量关系.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD是高，∠BAC=50∘，∠C=70∘.
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BF，分别交AD于点O，交AC于点F；(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.)
(2)在(1)中，求∠DOF的度数.
23.(本小题10分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，EF⊥AD，垂足分别是点E，G，EF与AC相交于点F，连接EF.
问：DF与AC垂直吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.
24.(本小题12分)
某校八年级学生去距学校15km的课外实践基地活动，一部分学生骑自行车先走，过了45min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的4倍，求骑车学生的速度．
25.(本小题12分)
如图，已知在∠AOB中，点M，N分别与OA，OB上的点(M、N不与点O重合).
(1)作∠AOB的平分线OC，(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)在(1)中，若P为OC上的一点，OP=6.
①∠AOB=120∘，∠MPN=60∘，请判断四边形PMON面积是否定值，若是，求该定值；若不是，说明理由；
②若∠AOB=α∘(0<α<180)，是否存在α使△PMN的周长最小值等于12，若存在，求α；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.10+5>10，满足任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第三边，故可组成三角形；
B.5+6=11，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；
C.6+5<12，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形；
D.6+5<13，两边之和不大于第三边，故不可组成三角形，
故选：A.
三角形的任何一边大于其他两边之差，任意两边之和大于第三边，满足此关系的可组成三角形，由此判断选项．
本题考查三角形的三边关系，①三角形任何一边大于其他两边之差，②三角形任意两边之和大于第三边，同时满足①、②公理的才可组成三角形．
2.【答案】C
【解析】解：(x3)2=x6，
故选：C.
根据幂的乘方运算法则进行计算即可．
本题主要考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】解：0.00000000034=3.4×10−10；
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，正确记忆一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴当∠A=∠D时，由ASA可得△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
当AC//DF时，则∠C=∠F，由AAS可得△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
当BE=CF时，则BC=EF，由SAS可得△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
当AC=DF时，不能得出△ABC≌△DEF，故D符合题意；
故选：D.
根据全等三角形的判定，利用ASA、AAS、SAS即可得出答案．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．
5.【答案】B
【解析】解：分情况讨论：
(1)若等腰三角形的顶角为70∘时，底角=(180∘−70∘)÷2=55∘；
(2)若等腰三角形的底角为70∘时，它的另外一个底角为70∘，顶角为180∘−70∘−70∘=40∘.
故选：B.
已知给出了一个内角是70∘，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：(x+1)(x−5)=x2−5x+x+5=x2−4x+5，
故选：B.
根据多项式的乘法解答即可．
此题考查多项式乘多项式，关键是根据先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加解答．
7.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9(cm).
故选：C.
由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由AC=5cm，BC=4cm，即可求得△DBC的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等的应用．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用提公因式法和公式法将原式变形后，约分即可得到结果．
【解答】
解：原式=a(a−1)a+1×(a−1)(a+1)(a−1)2=a.
故答案选B.
9.【答案】D
【解析】【分析】
由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【解答】
解：∵BC=8cm，BD：CD=3：4，
∴BD=247(cm)，
∵AD平分∠BAC，∠B=90∘，
∴D到AC的距离等于BD，
∴D点到线段AC的距离为247cm，
故选：D.
10.【答案】B
【解析】解：由图可知边长为xm的正方形场地的面积为：x2，
除去甬道剩余部分的面积为：(x−2)2，
∴甬道所占面积为：x2−(x−2)2.
故选：B.
用正方形场地的面积减去正方形场地除去甬道部分的面积即可．
本题考查了完全平方公式及正方形的面积等知识点，属于基础知识的考查，比较简单．
11.【答案】x≠3
【解析】解：∵分式2x−3有意义，
∴x−3≠0，
即x≠3，
故答案为：x≠3.
根据分式有意义的条件即可求得答案．
本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0得出x−3≠0是解题的关键．
12.【答案】a(a−2)
【解析】【分析】
本题主要考查提公因式法因式分解，正确提取公因式是解题的关键.
观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】
解：a2−2a=a(a−2).
故答案为：a(a−2).
13.【答案】x=−2
【解析】解：2x=5x−3，
方程两边都乘x(x−3)，得2(x−3)=5x，
解得：x=−2，
检验：当x=−2时，x(x−3)≠0，
所以x=−2是分式方程的解．
故答案为：x=−2.
方程两边都乘x(x−3)得出2(x−3)=5x，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
14.【答案】±6
【解析】解：∵(x±3)2=x2±6x+9，
∴在x2±6x+9中，m=±6.
故答案为：±6.
这里首末两项是x和3个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3乘积的2倍，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
15.【答案】8
【解析】解：∵∠B=∠C=30∘，
∴∠BAC=180∘−30∘−30∘=120∘，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=9∘，
∴∠CAD=∠C=30∘，BD=2AD，
∴AD=CD，
∴BD=23BC=8.
故答案为：8.
由已知∠B=∠C=30∘，求得∠BAC=120∘，再由AD⊥AB，得到∠BAD=90∘，即可求得∠CAD=∠C=30∘，且根据直角三角形30∘角所对的直角边是斜边的一半，可得BD=2AD，再由∠CAD=∠C，得到AD=CD，即可得出BD=23BC，计算即可得出答案．
本题主要考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含30∘角的直角三角形的性质，证明AD=CD是解题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：如图，过点A作AH⊥AF，交BF于点H，
∴∠BAC=∠HAF=90∘，
∴∠BAH=∠CAF，
∵∠BAC=90∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=22.5∘，
∵BF⊥CF，
∴∠BCF=67.5∘，
∴∠ACF=22.5∘=∠ABH，
在△ABH和△ACF中，
∠BAH=∠CAFAB=AC∠ABH=∠ACF，
∴△ABH≌△ACF(ASA)，
∴BH=CF，AH=AF，
∵∠HAF=90∘，
∴∠AHF=∠AFH=45∘，
∵∠AHF=∠ABF+∠BAH，
∴∠BAH=22.5∘=∠ABH=∠CAF，
∴AH=BH=CF，
∵∠HAC=67.5∘，∠AEB=∠CAF+∠AFH=67.5∘，
∴∠HAC=∠AEB，
∴AH=HE=CF，
∴BE=BH+HE=2CF，故①正确；
∵AD⊥BF，∠AFH=45∘，
∴∠DAF=∠AFD=45∘，
∴AD=DF，故②正确；
∵AH=AF，∠HAF=90∘，AD⊥HF，
∴AD=HD=DF，
∵AD+DE=HD+HE=DE=12BE，故③正确；
∵AB=AC>AE，BC>AB>AE，
∴AB+BC≠2AE，故④错误；
∴正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
过点A作AH⊥AF，交BF于点H，由“ASA”可证△ABH≌△ACF，可得BH=CF，AH=AF，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质依次判断即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
17.【答案】解：x2+4x+4=(x+2)2.
【解析】根据分解因式的方法分解因式即可．
此题考查因式分解，关键是根据完全平方公式进行解答．
18.【答案】解：yx+y−xyx2−y2
=y(x−y)−xyx2−y2
=−y2x2−y2.
【解析】根据分式的加减法则，先通分，再进行运算即可．
此题考查了分式的加减法，进行计算时要注意先通分，再进行加减运算，最后结果要化简．
19.【答案】证明：在△ADE与△CBE中，
DE=EB∠AED=∠CEBAE=CE，
∴△ADE≌△CBE(SAS)，
∴∠D=∠B，
∴AD//BC.
【解析】根据SAS证明△ADE与△CBE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ADE与△CBE全等解答．
20.【答案】解：如图所示：
A1(0,−1)，B1(−2,−4)，C1(−4,−1).
【解析】根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数．
本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21.【答案】(a−b)(a−b)2 (a+b)2−4ab
【解析】解：(1)a−b；
(2)方法1：S阴影=(a−b)2，
方法2：S阴影=(a+b)2−4ab；
(3)∵(a−b)2与(a+b)2−4ab都表示阴影部分的面积，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(1)观察图意直接得出正方形的边长是a−b；
(2)利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用(1)的条件求出小正方形的面积；
(3)把(2)中的两个代数式联立即可；
此题利用数形结合的思想，来研究代数式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．
22.【答案】解：(1)如图所示，BE即为所求；
(2)∵∠BAC=50∘、∠C=70∘，
∴∠ABC=180∘−∠BAC−∠C=60∘，
由(1)知BF平分∠ABC，
∴∠DBO=12∠ABC=30∘，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
则∠BOD=90∘−∠DBO=60∘，
∴∠DOF=180∘−60∘=120∘.
【解析】(1)根据角平分线的尺规作图可得；
(2)由三角形内角和定理得出∠ABC=60∘，根据BF平分∠ABC知∠DBO=12∠ABC=30∘，从而由AD⊥BC可得∠BOD=90∘−∠DBO=60∘.
本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及三角形内角和定理与直角三角形性质的应用．
23.【答案】解：DF与AC垂直，理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵EF⊥AD，
∴∠AGE=∠AGF=90∘，
在△AGE和△AGF中，
∠EAG=∠FAGAG=AG∠AGE=∠AGF=90∘，
∴△AGE≌△AGF(ASA)，
∴AE=AF，
在△ADE和△ADF中，
AE=AF∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴∠AED=∠AFD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∴∠AFD=90∘，
∴DF⊥AC.
【解析】证明△AGE≌△AGF(ASA)，得AE=AF，再证明△ADE≌△ADF(SAS)，得∠AED=∠AFD，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为4xkm/h，
依题意得：15x−154x=4560，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．
答：骑车学生的速度为15km/h.
【解析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为4xkm/h，利用时间=路程÷速度，结合乘车学生比骑车学生少用45min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出骑车学生的速度．
25.【答案】解：(1)如图所示，OC即为所求：
(2)①四边形PMON面积是定值，理由如下：
如图，过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，则∠PFO=∠PEO=90∘，
∵OC平分∠AOB，
∴PF=PE，∠POB=∠POA=60∘，
∵∠AOB+∠PEO+∠PFO+∠EPF=360∘，
∴∠FPE=60∘，
∵∠MPN=60∘，
∴∠MPN=∠FPE，
∴△PFM≌△PEN(AAS)，
∴S△PEN=S△PFM，
∴四边形PMON面积=四边形PEOF的面积，
∵∠POB=∠POA=60∘，
∴∠OPF=∠OPE==30∘，
∴OF=OE=3，PF=PE=3 3，
∴四边形PMON面积=四边形PEOF的面积=2×12×OF⋅PF=3×3 3=9 3，
∴四边形PMON面积是定值；
②不存在α使△PMN的周长最小值等于12，理由如下：
如图，作点P关于OA的对称点E，作点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于M，OB于N，则此时△PMN的周长有最小值为EF的长，
连接OE，OF，
∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，
∴OE=OP=6，OP=OF=6，
在△EOF中，EO+FO>EF，
∴EF<12，
∴不存在α使△PMN的周长最小值等于12.
【解析】(1)根据角平分线的作法解答即可；
(2)①由“AAS”可证△PFM≌△PEN，可得S△PEN=S△PFM，则四边形PMON面积=四边形PEOF的面积，即可求解；
②作点P关于OA的对称点E，作点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于M，OB于N，则此时△PMN的周长有最小值为EF的长，由轴对称的性质可求OE=OF=6，由三角形的三边关系可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．